数学（天津卷03）-学易金卷：2025年高考押题预测卷

2025年高考押题预测卷 高三数学（天津卷）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可解得，所以， 由可解得，又，所以， 所以. 故选：A． 2．已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】，，或，充分性不成立； ，，和相交、平行或异面，必要性不成立. 故选：D. 3．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于C：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误； 故利用排除法可知选项B符合题意. 故选：B 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知， 则. 故选：A. 5．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 【答案】C 【详解】根据已知条件第一组数据的个数为个，且， 所以， ， 第二组数据的个数为个，且平均数， ， 因为， 所以. 故选：C 6．已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 7．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因直三棱柱中，， 则两个底面三角形的外接圆圆心分别为的中点， 如图所示，. 设棱柱的外接球的半径为，圆心为， 由，可得，由对称性知，O为中点， 由图，解得. 因侧面绕直线旋转一周后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱， 其体积为. 故选：B 8．已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的内切圆分别切于点， 则，， 因为， 所以，得， 所以，即，① 因为，所以， 即，②， 所以①②，得，得， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 即. 故选：D    9．已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴， 当时，则恒成立， 在上单调递减， 由一次函数与函数一定存在交点可知函数存在零点， 即存在，使得时，，时，， 不符合题意，舍去. 当时， 设直线为函数切线，设切点为 则，即，则，， ①当时，函数存在两个零点， 令，则， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，∵， ∴，即恒成立. 此时无法满足题意，舍去； ②当时，由①可知，，满足， ③当时，恒成立，要使得恒成立，则需要恒成立，由①得，∴，即. 综上所述. 故选：D. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 11．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为 【答案】 【详解】由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为， 令得，展开式中所有项的系数和为， 由题意知它们相等得，， 再根据展开式通项公式：， 当时，解得， 所以展开式中的常数项为， 故答案为：. 12．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆交于A，B两点，则当最大时， . 【答案】2 【详解】易知圆心，半径， 又因为都在圆上，可知，如图所示： 当公共弦长最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，， 所以. 故答案为：2 13．某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为 ，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ． 【答案】 【详解】甲在首轮遇到乙的概率为，此时甲获胜的概率为， 甲遇到其他6名选手的概率为，此时甲获胜的概率为， 所以甲获胜概率为：； 第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为, 进入第二轮的4人中，甲和乙不相遇的概率为，且两人均击败对手的概率为， 故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为， 所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为. 故答案为：； 14．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意可知， 又，， 所以 则向量在向量上的投影向量为； 以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 由，可得，且， 所以， 又，所以； 设，所以，由可得； 又，所以； 因此； 可得， 显然当时取得最小值，最小值为. 故答案为：； 15．设函数，函数．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令函数， 函数在R上单调递增，而，则当时，， 当时，，因此， 令函数，由恰有两个零点，得函数的图象与直线有两个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 直线恒过定点，观察图象， 当时，函数的图象与直线恒有两个交点，则； 当直线过点时，函数的图象与直线有两个交点，则； 当直线与曲线相切时，函数的图象与直线有两个交点， 设切点坐标为，，于是，解得，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（14分） 在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，， 则有，故.（6分） （2）因为为锐角三角形，则，所以，， 所以，，则，（9分） 由正弦定理可得， 所以，，（13分） 即的取值范围是.（14分） 17．（15分） 如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面.（4分） （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，..轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以，（6分） 由（1）知平面CDE的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以.（8分） 故c， 平面CDE与平面ABE夹角的余弦值为；（10分） （3）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 ,（12分） 解得或.（13分） 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为.（15分） 18．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与交于两点. ①若的面积为2，求直线的方程； ②记外接圆的圆心为，平面上是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出两定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意知；解得， 所以的方程为.（4分） （2）设，如下图所示： 联立得， 则.（6分） ①所以 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，即直线的方程为或.（9分） ②所以的中垂线方程为：，即 同理可得的中垂线方程为： 由两式可得. 所以外接圆圆心的横坐标，（11分） 其中， ， 所以（12分） 又的中垂线方程为，即， 所以圆心的纵坐标为， 所以，（13分） 即圆心在双曲线上， 易知双曲线两焦点为， 由双曲线定义可知存在定点或满足题意； 所以存在定点或，使得.（15分） 19．（15分） 已知数列的前项和，，，.设数列的前项和为，且， (1)求的通项公式； (2)求； (3)求证：. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减，得，而，则， 由，得，因此数列都是公差为4，首项分别为1，3的等差数列， ，即当为奇数时，； ，即当为偶数时，， 所以的通项公式是.（5分） （2）由（1）知，， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以.（10分） （3）依题意，，而， 因此，解得，（12分） 当时，，满足上式，则， 当时，， 当时， ，而， 所以.（15分） 20．（16分） 已知函数. (1)若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； (2)试利用（1）结论，证明：； (3)若，且，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时，， ，由已知，所以， 即，因为， 所以，当时，，当时，， 因此，的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 当时，函数取得极大值，无极小值.（6分） （2）证明：由（1）可得当时，，即 令，可得，所以， 所以， ，原式得证.（9分） （3）已知，则，不等式为， 即桓成立， （i）当时，任意，因此满足条件.（11分） （ii）当时，，不等式两侧同时取对数， 有，等价于①， 构建新函数，令，①式等价于恒成立， 而，函数在其定义域上单调递增，因此对任意，有 成立，即任意，有，（14分） 等价于②，设， 当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调逆减， 所以，因此由（2）式可得. 综上，正实数的取值范围为.（16分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学（天津卷）·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A D B A C D B D D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12．2 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，， 则有，故.（6分） （2）因为为锐角三角形，则，所以，， 所以，，则，（9分） 由正弦定理可得， 所以，，（13分） 即的取值范围是.（14分） 17．（15分） 【解析】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面.（4分） （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，..轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以，（6分） 由（1）知平面CDE的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以.（8分） 故c， 平面CDE与平面ABE夹角的余弦值为；（10分） （3）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 ,（12分） 解得或.（13分） 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为.（15分） 18．（15分） 【解析】（1）由题意知；解得， 所以的方程为.（4分） （2）设，如下图所示： 联立得， 则.（6分） ①所以 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，即直线的方程为或.（9分） ②所以的中垂线方程为：，即 同理可得的中垂线方程为： 由两式可得. 所以外接圆圆心的横坐标，（11分） 其中， ， 所以（12分） 又的中垂线方程为，即， 所以圆心的纵坐标为， 所以，（13分） 即圆心在双曲线上， 易知双曲线两焦点为， 由双曲线定义可知存在定点或满足题意； 所以存在定点或，使得.（15分） 19．（15分） 【解析】（1）数列中，，当时，， 两式相减，得，而，则， 由，得，因此数列都是公差为4，首项分别为1，3的等差数列， ，即当为奇数时，； ，即当为偶数时，， 所以的通项公式是.（5分） （2）由（1）知，， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以.（10分） （3）依题意，，而， 因此，解得，（12分） 当时，，满足上式，则， 当时，， 当时， ，而， 所以.（15分） 20．（16分） 【解析】（1）当时，， ，由已知，所以， 即，因为， 所以，当时，，当时，， 因此，的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 当时，函数取得极大值，无极小值.（6分） （2）证明：由（1）可得当时，，即 令，可得，所以， 所以， ，原式得证.（9分） （3）已知，则，不等式为， 即桓成立， （i）当时，任意，因此满足条件.（11分） （ii）当时，，不等式两侧同时取对数， 有，等价于①， 构建新函数，令，①式等价于恒成立， 而，函数在其定义域上单调递增，因此对任意，有 成立，即任意，有，（14分） 等价于②，设， 当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调逆减， 所以，因此由（2）式可得. 综上，正实数的取值范围为.（16分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考押题预测卷 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12. ____________________ 13. ____________________ ____________________ 14.____________________ ____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学（天津卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 6．已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数 ． 11．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为 12．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆交于A，B两点，则当最大时， . 13．某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为 ，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ． 14．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 15．设函数，函数．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（14分） 在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 17．（15分） 如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与交于两点. ①若的面积为2，求直线的方程； ②记外接圆的圆心为，平面上是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出两定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 19．（15分） 已知数列的前项和，，，.设数列的前项和为，且， (1)求的通项公式； (2)求； (3)求证：. 20．（16分） 已知函数. (1)若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； (2)试利用（1）结论，证明：； (3)若，且，不等式恒成立，求的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考押题预测卷 高三数学（天津卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 6．已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数 ． 11．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为 12．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆交于A，B两点，则当最大时， . 13．某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为 ，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ． 14．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 15．设函数，函数．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（14分） 在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 17．（15分） 如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与交于两点. ①若的面积为2，求直线的方程； ②记外接圆的圆心为，平面上是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出两定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 19．（15分） 已知数列的前项和，，，.设数列的前项和为，且， (1)求的通项公式； (2)求； (3)求证：. 20．（16分） 已知函数. (1)若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； (2)试利用（1）结论，证明：； (3)若，且，不等式恒成立，求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$