猜押17题 空间向量与立体几何-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

猜押07 空间向量与立体几何第17题（ 解答题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 空间向量与立体几何 2024年天津卷第17题 2023年天津卷第17题 2022年天津卷第17题 天津高考连续三年对立体几何的考察，主要考察线面平行，直线与平面的夹角，平面与平面所称的角，点到面的距离，难度较低，考察平行的判定定理与性质定理，考察角度的证明与计算求解，考察点到面的距离与体积求解。 预测2025年天津高考，对于立体几何，难度不大，围绕平行，角度，与体积和距离这几方面考察，需要熟练掌握平行的判定定理与性质定理，考察角度的做法与证明，考察体积的计算以及点到面的距离的计算，要熟练各种几何体的空间点线面位置关系与计算推导。 题型一 证明平行（第一问） （解答题） 1．（2025·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，应用向量法得，再由线面平行的判定证明结论； （2）（3）根据（1），应用向量法求线面角、面面角的正余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，因为，所以． 又面面，面，面面， 所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 设为平面的一个法向量，则，得， 令，则，从而． 因为，所以． 因为，所以，又平面，则平面． （2）设与平面的夹角为，则． （3）显然，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则． 2．（24-25高三天津阶段练习）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①取的中点，连接，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证明∥面；②建立空间直角坐标系，通过空间向量可求直线与平面间的距离. （2）设，利用向量法求得正弦值的最大值，即此时的值，从而求得三棱锥的体积． 【详解】（1）①如图，取的中点，连接，有，， 又，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以∥面； ②如图，取的中点，连接， 因为，所以， 由， 四边形是正方形，有， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有， 以坐标原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，知， 从而有，， 有， 设平面的法向量为， 由，取，则， 得平面的一个法向量为， 因为∥面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以与平面间的距离为. （2）， 设， ， 底面的一个法向量为, 设直线与底面所成的角为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以到平面的距离为， 又，所以三棱锥的体积为． 3．（2020·天津·模拟预测）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，且. 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出平面的法向量后，借助向量的数量积为零即可得两向量垂直，即可得线面平行； （2）求出平面的法向量后，结合所得平面的法向量，利用夹角公式计算即可得； （3）假设存在，设出对应未知数，可表示出向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）过作，垂足为，则， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 为的中点，，则， ， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，解得， ，即， 又平面，所以平面； （2）设平面的一个法向量为， 所以 ，令，解得， 所以 ， 即平面与平面所成二面角的余弦值为； （3）存在，且，理由如下： 假设线段上存在一点，设， ， 则 又直线与平面所成角的正弦值为， 平面的一个法向量， ， 化简得，即， ，故存在，且. 4．（2024·天津和平·二模）如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，结合平面，得出平面； （2）利用向量的夹角公式即可求解； （3）利用点到平面的距离的向量法公式，即可求解． 【详解】（1）因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作，则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 设长为，则 ，， 因为，所以，则有，． 所以，，，，，，． 证明：因为，，设平面的法向量为， 则，令，则， 又因为． 所以，所以，又因为平面，所以平面． （2）因为为中点，所以，则， 有，又，设直线与平面所成角为， ， 则直线与平面所成角的正弦值为． （3）因为，平面的法向量为， 所以，点D到平面的距离为． 5．（2024·天津河西·二模）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）由（1）得直线的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解. （3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解. 【详解】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即， 令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 题型二 线与面所成的角（第二问） （解答题） 1．（2025·天津河西·一模）如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）由（1）（2）求出平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出的长. 【详解】（1）由底面，，得直线两两垂直， 以点为原点，直线两两垂直分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 显然是平面的一个法向量，而，， 即，因此平面，又平面， 所以平面.    （2）由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知，，设平面的法向量， 则，令，得， 由（2）知平面的法向量，由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得， 所以线段的长为. 2．（2022·天津津南·模拟预测）如图，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由平面平面进行求证； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量表示求解； （3）求出两个平面的法向量，由面面角的向量表示求解． 【详解】（1）因为，平面平面， 所以平面，同理可知：平面， 因为，所以平面平面， 因为，所以平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 得， 设为平面的法向量， 则有，得，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设为平面的法向量， 则有，得，所以， 所以， 由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 2．（2024·天津·一模）如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，进而利用向量法即可证明平面； （2）利用向量法求解直线与平面所成的夹角的正弦值即可； （3）利用向量法求解平面与平面所成的夹角的余弦值即可. 【详解】（1）在三棱柱中，平面，， 则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图：    由，得，， 在中，且是棱的中点，则也是的中点，即，， 设平面的一个法向量，则 则，令，得， ，因为，所以， 又因为平面，所以平面． （2）由（1）知平面的法向量，又， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的一个法向量， 则，令，得 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值． 3．（2024·天津·一模）如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行. （2）先求出平面的法向量，再利用空间向量线面角的求法，即可求解. （3）利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）取的中点M，连接．因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以．因为，所以． 因为平面，所以两两垂直． 如图，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．   因为， 所以， 显然平面的法向量为，因为， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的法向量为，由得 令，则，所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．直线与平面所成角的正切值为． （3），所以点C到平面的距离为： .所以点C到平面的距离为. 4．（23-24高三上·天津宁河·期末）如图，且，，且，且，平面，，M为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）利用向量求线面角； （3）利用向量求面面角. 【详解】（1）由平面，，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设面的法向量为， 则，取可得， 此时， 所以，又面， 所以平面； （2）设直线与平面所成角为，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）设面的法向量为，， 则，取可得， 设平面与平面夹角为， 所以. 即平面与平面夹角的余弦值. 题型三 面与面所成的角（第二问） （解答题） 1．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出向量，再由向量法求解. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 2．（2025·天津河北·二模）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】先判断的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角、面面角和点到直线的距离. 【详解】（1）由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，， 即直线，，两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，， ，，.    设平面的法向量为 则，令，得， 设直线与平面所成的角为 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面与平面的夹角为 则 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（1）（2）可知，平面的法向量为， 点到平面的距离. 3．（2025·天津河东·一模）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)点为靠近的四等分点 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案； （3）由（2）的空间直角坐标系，表示出直线的方向向量，利用线线角的向量公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图： 因为为的中点，所以，由，则， 因为，所以四边形是平行四边形，则，且， 因为在正方形中，且，即且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）由，则， 在正方形中，，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，由，则. （3）由题意作图如下： 设，则， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得， 即，由，则，即， 故点为靠近的四等分点. 4．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，且，且且平面． (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）利用空间向量的方法证明线面平行； （2）根据二面角的定义得到为平面与平面的夹角或其补角，然后求余弦值； （3）根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后根据求线段. 【详解】（1） 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 因为，而平面， 所以∥平面. （2）连接，过点作于点， 因为，，所以，则共面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面，平面， 所以为平面与平面的夹角或其补角， ，，，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）取中点，连接，， 因为为中点，，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， ，，，所以，， 所以线段的长为. 5．（20-21高三上·天津和平·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，E为CD的中点，M在AB上，且，    (1)求证：平面PAD； (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值； (3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为，求AF的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由已知可得两两垂直，所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可； （3）根据已知条件求出点的坐标，再计算长度即可． 【详解】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，，E为CD的中点，M在AB上，且， 所以． 所以所以，所以，又，所以， 又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD． （2）．设平面的法向量为， 则有，可取 由题意，平面的一个法向量可取，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为， 则，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为． （3）设，，即，可得， 所以，又， 由题意有， 化简得，解得或（舍），所以， 所以. 题型四 点到面的距离（第三问） （解答题） 1．（2023·天津河西·三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.    (1)求证：//平面ABC； (2)求平面CED与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直平面的法向量即可； （2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算； （3）利用点到面距离的向量的公式计算. 【详解】（1）    在直三棱柱中，平面，且， 以点B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 易知平面ABC的一个法向量为，则，故，又因为平面，故//平面 （2）， 设平面CED的法向量为，则， 不妨设，因为， 设平面CED的法向量为，则，不妨设 则因此，平面CED与平面夹角的余弦值为. （3）因为，根据点到平面的距离公式，则 即点到平面CED的距离为. 2．（2023·天津南开·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）（2）（3）根据题意，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】（1）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，，， ， 易知平面的一个法向量为，故， 则， 又平面，故平面． （2）易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 且，， 则，令，则，，， 设平面与平面夹角为，易知为锐角， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为． （3）设平面的法向量为，且， 则，令，则，，故， 设点到平面距离为，． 3．（2023·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. (1)求证：平面平面PAD； (2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值； (3)求B点到平面EAC的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用两向量的数量积的坐标表示及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解； （2）求出平面EAC与平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式及面面角的定义即可求解； （3）根据（2）得出平面EAC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示 则 所以 所以即,所以即, 又,平面PAD,所以平面PAD, 又平面，所以平面平面PAD. （2）设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以，由题意知，平面，平面ACD的法向量为, 设平面EAC与平面ACD夹角的，则， 所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为.（3）由（2）知，平面的法向量为， 设B点到平面EAC的距离为，则， 所以B点到平面EAC的距离为. 4．（2022·天津和平·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点E到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有， ，，， 因为， 所以，而平面， 所以平面； （2）设平面的法向量为， ， 则有， 由（1）可知平面的法向量为， 所以有， 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为； （3）由（2）可知：平面的法向量为， ，所以可得： ， 所以点E到平面的距离为. 5．（2022·天津河西·二模）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1． (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值； (3)求点D到直线BF的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）通过AD∥BC，AE∥CF得到平面BCF∥平面ADE，再由面面平行得到线面平行即可 （2）以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴,建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用向量法求出夹角的余弦值即可 （3）由（2）可求与所成角的余弦值，利用同角三角函数关系式求出直线BF与直线DF所成角的正弦值，然后计算即为点D到直线BF的距离 【详解】（1）证明：∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF⊂平面BFC， ∴AE∥平面BCF， ∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC， 又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE， ∵BF⊂平面BFC，∴BF∥平面ADE； （2）以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1）， 则=（-2，0，2），=（2，-1，1）， ∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为 （3）根据（2）可知=（0，2，1），=（2，-1，1）， 6．（2022·天津河北·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD． (1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值； (2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小； (3)求点C到平面BPQ的距离． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）连接，交于，连接，由平面平面，可推出平面，平面，故即为所求；在中，由可得解； （2）取的中点，连接、，易证，，故即为所求，在中，利用余弦定理求出，即可得到两平面的夹角； （3）由等体积法，即可得解． 【详解】（1）解：连接交于，连接， 四边形是菱形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 即为与平面所成角． 四边形为矩形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，，， 在中，，， 故与平面所成角的正弦值为． （2）解：取的中点，连接、， 由（1）知，平面， 四边形是菱形，四边形为矩形， ，， ，， 即为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理知，， ， 故二面角的大小为，则平面与平面的夹角为． （3）解：设点到平面的距离为，， ，， ，故点到平面的距离为． 题型五 综合条件型点到面距离（第三问） （解答题） 1．（2022·天津滨海新·模拟预测）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）先证明平面平面，再根据面面平行的性质可得平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果； （3）根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果. 【详解】（1）证明：四边形是正方形，，平面，平面．所以平面． 四边形是梯形，， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，，平面平面， 平面，平面． （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，2，，，0，，，2，，，0，， ，2，，，2，，，0，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，，得，1，， 设平面的法向量，，， 则，取，，，得，1，， 设二面角的大小为，由图形得为钝角， 则， 因为为钝角，， 二面角的大小为． （3）点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为， 设则，，，， ， 解得，∴线段的长为． 设平面的法向量，因为，， 则，取，得， 又，所以． 2．（22-23高三上·天津河西·期末）如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点. (1)求证：平面CPM； (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小； (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）连接EM，证得，利用线面平行判定定理即可证明平面MPC； （2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. （3）设，则，从而，由（2）知平面PMQ的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出，进而得到，利用点到平面距离公式求出答案. 【详解】（1）证明：连接EM，因为，， 所以， 又因为，所以四边形PABQ为平行四边形， 因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且， 因为，，F为CD的中点，所以且， 可得且，即四边形EFCM为平行四边形， 所以，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC. （2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 依题意可得，，，，，，， ，，，， 设为平面PQM的法向量， 则，不妨设，可得， 设为平面PMC的法向量， 则，不妨设，可得. 所以， 设平面PQM与平面PMC夹角为， 所以， 即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为. （3）设，即， 则. 从而. 由（2）知平面PMQ的法向量为， 而直线DN与平面PMQ所成的角为， 所以， 即， 整理得，解得或， 因为， 所以，所以，， 由（2）知：为平面的法向量， 故点N到平面CPM的距离为. 3．（2023·天津·二模）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)(3) 【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直. (2)求出平面ACF的法向量，以及的坐标，即可求解. (3)假设线段DE上存在一点，再根据条件求出，再利用向量的投影即可求出点到平面的距离. 【详解】（1）依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得,,,,, . 依题意，,, 从而, 所以，即 （2）依题意，,, 设为平面ACF的法向量， 则， 不妨设可得， 因为, 设直线EC与平面ACF所成角为，则 ， 所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为. （3）假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则. 依题意则，，解得. 所有存在点满足条件，所以可得,由（2）可知平面ACF的一个法向量为， 所以点G到平面ACF的距离为 4．（2023·天津河西·模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面夹角大小； (3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，得出和平面的法向量，即可求出与平面所成角的正弦值； （2）求出平面与平面的法向量，即可得到平面与平面夹角大小； （3）设出，求出平面的法向量，得出点坐标，即可求出点到平面的距离. 【详解】（1）由题意， ∵平面平面，平面平面， ∴平面， ∵底面为菱形， ∴， 以为原点，所在直线为轴，过点作平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系：      则， ∴， 平面的一个法向量是， 设与平面所成的角为，所以， ∴与平面所成的角的正弦值为 （2）由题意及（1）得， ， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 因为， ∴平面与平面的夹角为. （3）由题意，（1）及（2）得， ， 设，， ∵平面，所以，即， 解得：， ∴点为中点，， ∴点到平面的距离为：. 5．（2023·天津和平·二模）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．    (1)证明：平面PAB； (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据，即可证明； （2）根据线面角的向量公式，求点的坐标，再根据二面角的向量公式，计算求值； （3）根据（2）的结果，可知平面的法向量为，代入点面距离的向量公式，即可求解. 【详解】（1）连接OC，因为，所以四边形OABC为平行四边形， 所以，所以，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，． ，，， 设平面的一个法向量为， 则，则，令，， 平面PAB的一个法向量， ，则，又平面PAB，所以平面PAB． （2），设， 则， 因为点M在棱PC上，所以，， 即， 所以，所以， 平面ABCD的法向量为， 因为直线BM与底面ABCD所成角为， 所以， ， 解得，所以， 设平面MAB的法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以平面MAB与平面ABD夹角的余弦值． （3） ，点D到平面MAB的距离． 题型六 综合求体积与长度型 （第三问）（解答题） 1．（2023·天津北辰·三模）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可. 【详解】（1）因为底面，， 建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得 ， 又， 可得，因为平面， 所以平面 ， （2）因为， 所以点到直线的距离. （3）设，，则， 设平面的法向量为， 则令，则， 所以， 即，解得或（舍去），所以. 2．（2023·天津西青·模拟预测）如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由，，可证得平面，得，又，即可证得结论； （2）设，为的中点，是中点，得，则是异面直线与所成角，即可求解； （3）可证得平面，则三棱锥的体积：，计算即可． 【详解】（1）四边形为正方形，， 四边形为平行四边形，， ，，， ，平面，平面， 平面，， ，，平面，平面．    （2）四边形为平行四边形，，，， ，， 四边形为正方形，平面平面，平面平面， ，平面， 平面，平面，， 为的中点，， 设，为的中点，是中点，， 是异面直线与所成角， ， ，， 异面直线与所成角的正切值为． （3）平面平面，平面平面，，平面， 平面，， 三棱锥的体积：． 2．（2021·天津蓟州·模拟预测）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，直线与底面所成的角，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求二面角的余弦值； (4)若，求棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)；(4). 【分析】（1）连接交与，连接，证明即可； （2）证明平面PAD即可； （3）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，设棱形边长为a，后利用向量法可得答案. （4）由，可得棱形边长，后由体积公式可得答案. 【详解】（1）证明：连接交与，连接 四边形是菱形，是的中点，又是的中点， ，平面，平面， 平面． （2）证明：平面， 平面，， 四边形是菱形，， 是等边三角形，， 是中点，， ，又，平面，平面 平面，平面， ． （3）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 平面，为直线与平面所成的角， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令得． 设平面的法向量为 则，令得 则. 二面角的余弦值为． （4）平面，为直线与平面所成的角， ， ， 3．（2024·天津·二模）如图，平面，，，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）建立坐标系，利用，即可证明； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用法向量即可求解； （3）设，借助，求得值，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由已知可得，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以. （2），， 设平面的法向量，则 ，即，令得， 所以． 平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设且（）， ，则，，， 所以，所以，， 所以， 化简得， 解得或（舍）， 因为，所以． 4．（2024·天津河东·一模）在正方体中（如图所示），边长为2，连接    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，3. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，得到平行关系； （2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值； （3）设，且，利用线面角的正弦值得到方程，求出或，求出. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，    则． 平面的法向量为， ，令，则， ， 平面； （2）平面的法向量为， ，令，则， 平面与平面夹角为， ； （3）设，且， 与平面所成角为， ， 即， 解得或，故或， 所以. 5．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可； （2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可； （3）利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 又因为，则，即， 由平面，所以平面. （2）设平面与平面的夹角为， 平面的法向量，平面的法向量, 所以，， 则平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设长度为，， 设直线与平面所成角为， 因为， ， 解得，此时的长度为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押07 空间向量与立体几何第17题（ 解答题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 空间向量与立体几何 2024年天津卷第17题 2023年天津卷第17题 2022年天津卷第17题 天津高考连续三年对立体几何的考察，主要考察线面平行，直线与平面的夹角，平面与平面所称的角，点到面的距离，难度较低，考察平行的判定定理与性质定理，考察角度的证明与计算求解，考察点到面的距离与体积求解。 预测2025年天津高考，对于立体几何，难度不大，围绕平行，角度，与体积和距离这几方面考察，需要熟练掌握平行的判定定理与性质定理，考察角度的做法与证明，考察体积的计算以及点到面的距离的计算，要熟练各种几何体的空间点线面位置关系与计算推导。 题型一 证明平行（第一问） （解答题） 1．（2025·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 2．（24-25高三天津阶段练习）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 3．（2020·天津·模拟预测）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 4．（2024·天津和平·二模）如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点D到平面的距离． 5．（2024·天津河西·二模）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 题型二 线与面所成的角（第二问） （解答题） 1．（2025·天津河西·一模）如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 2．（2022·天津津南·模拟预测）如图，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 2．（2024·天津·一模）如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（2024·天津·一模）如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)求点C到平面的距离. 4．（23-24高三上·天津宁河·期末）如图，且，，且，且，平面，，M为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 题型三 面与面所成的角（第二问） （解答题） 1．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 2．（2025·天津河北·二模）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 3．（2025·天津河东·一模）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 4．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，且，且且平面． (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 5．（20-21高三上·天津和平·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，E为CD的中点，M在AB上，且，    (1)求证：平面PAD； (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值； (3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为，求AF的长． 题型四 点到面的距离（第三问） （解答题） 1．（2023·天津河西·三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.    (1)求证：//平面ABC； (2)求平面CED与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．（2023·天津南开·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 3．（2023·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. (1)求证：平面平面PAD； (2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值； (3)求B点到平面EAC的距离. 4．（2022·天津和平·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点E到平面的距离. 5．（2022·天津河西·二模）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1． (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值； (3)求点D到直线BF的距离． 6．（2022·天津河北·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD． (1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值； (2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小； (3)求点C到平面BPQ的距离． 题型五 综合条件型点到面距离（第三问） （解答题） 1．（2022·天津滨海新·模拟预测）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点A到平面的距离． 2．（22-23高三上·天津河西·期末）如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点. (1)求证：平面CPM； (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小； (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离. 3．（2023·天津·二模）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 4．（2023·天津河西·模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面夹角大小； (3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离. 5．（2023·天津和平·二模）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．    (1)证明：平面PAB； (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离． 题型六 综合求体积与长度型 （第三问）（解答题） 1．（2023·天津北辰·三模）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由． 2．（2023·天津西青·模拟预测）如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2021·天津蓟州·模拟预测）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，直线与底面所成的角，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求二面角的余弦值； (4)若，求棱锥的体积． 3．（2024·天津·二模）如图，平面，，，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 4．（2024·天津河东·一模）在正方体中（如图所示），边长为2，连接    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由． 5．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$