精品解析：浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

浙江省金兰教育合作组织2024学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试题 命题学校：宁波二中 审题学校：姜山中学；浒山中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，若，则的值为（ ） A B. C. D. 2. 若，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 4. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边的中点，且，则边的高为（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（ ） A. -8 B. -4 C. -2 D. 2 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 11. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（ ） A. “等腰四面体”各个面都是全等锐角三角形 B. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是 C. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为 D. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示） 13. 已知，复数，，且，若，则的最小值______. 14. 正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，且为纯虚数 （1）求实数及； （2）若是关于x的方程的一个根，求的值. 16. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. （1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； （2）过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 17. 如图，在中，，，，是中点，点满足，与交于点. （1）设，求实数的值； （2）设是上一点，且，求的值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 19. 将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. （1）求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； （2）已知，，试推导复数的三角形式； （3）在单位圆内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省金兰教育合作组织2024学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试题 命题学校：宁波二中 审题学校：姜山中学；浒山中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，若，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得， 即可得，解得. 故选：D 2. 若，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算可求得，再由虚部定义可得结果. 【详解】易知， 因此可得复数的虚部为. 故选：C 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱定义可知A错误，再由六棱锥性质可判断B错误，棱台是由棱锥截得的，可知C正确，直角梯形的直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，即D错误. 【详解】对于A，如下图所示： 显然该几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，即A错误； 对于B，易知正六边形的中心与相邻两顶点构成的三角形即为正三角形，如下图， 显然正六棱锥的侧棱比底边长，因此其侧面不可能是正三角形，即B错误； 对于C，根据棱台定义即可判断C正确； 对于D，直角梯形中，如下图所示： 以直角梯形直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台， 若以直角梯形的腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，即D错误. 故选：C 4. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，令，，， 则. 故选：A. 5. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，接着由求得，再结合向量数量积运算律和模长公式即可计算得解. 【详解】由题得向量在向量上的投影向量为， 所以，又，故， 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B. 6. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边的中点，且，则边的高为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，由直观图的斜二测画法可求边的高. 【详解】因为是等腰直角三角形，且，所以可得， 又因为轴，则在原图形中，轴， 所以，由直观图的斜二测画法可得. 故边的高为. 故选：A. 7. 已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（ ） A. -8 B. -4 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，当过时，可取得最小值，利用基本不等式可求得，可求的最小值. 【详解】由平面向量的平行四边形法则可得， 所以， 所以， 所以， 所以，当过时，可取得最小值， 又，又， 可得，取等号，此时， 此时与共线反向，此时最小，最小值为. 故选：B. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 可得，解得， 因为，所以； 如图所示，设，延长交于点， 则， 所以，同理可得， 过点作， 则 又由，所以, 所以，可得， 即， 因为为的外心，设的内切圆的半径为， 可得， 可得，即， 又因为，即，可得， 由正弦定理得, 又因为，可得，因为且，所以，可得， 所以，可得，. 故选：D. 二、多项选择题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相等向量的定义可判断A、B；根据平行向量的定义结合向量的数量积的性质可判断C、D. 【详解】对于A，，但与方向未必相同，所以不一定有，故A不正确； 对于B，由知与方向相同、模长相等，故B正确； 对于C，若，由知，若与同向，；若与反向，，故C不正确； 对于D，由得，若，则中至少有一个零向量，得到；若，则，因为，所以，故，所以D正确； 故选：BD. 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 11. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（ ） A. “等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形 B. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是 C. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为 D. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为,与之对应的长方体的长宽高分别为，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，与之对应的长方体的长宽高分别为， 则，解得， 所以， 不妨设构成的三角形为， 由余弦定理可得，同理可得， 从而可得均为锐角，故A正确； 当三组对棱长度分别为5，6，7，则， 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积， 所以等腰四面体的体积，故B错误； 设在四面体的一个面中7所对的角为， 可得，所以一个面的面积为， 设内切球的半径为，则可得，解得，故C正确； 等腰四面体的外接球即为对应的长方体的外接球， 所以外接球的半径为，故D正确. 故选：ACD.. 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示） 【答案】 【解析】 【分析】由，结合正弦定理可得，可得结论. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 故答案为：. 13. 已知，复数，，且，若，则的最小值______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数加减法则运算可得，再由二次函数性质计算可得当时取得最小值. 【详解】由可得，即可得； 因此； 当时，取得最小值. 故答案为： 14. 正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在为直径的圆上的点，记线段，，的中点为，由题意可得，进而可求模的最大值. 【详解】因为，所以在为直径的圆上的点， 记线段，，的中点为， 由题意，可得，，， 则， 当为的延长线与圆的交点时，可使的模最大， 同时共线同向，可使最大， 由平面几何知识可求得，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，且为纯虚数 （1）求实数及； （2）若是关于x的方程的一个根，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简，结合纯虚数的定义求出，再利用复数的模长公式即可； （2）将代入一二次方程中，再利用复数相等的概念列出方程组即可求出 【小问1详解】 由题意可知，， 则 因是纯虚数，则且，得 则，得. 【小问2详解】 由题意可知，， 则， 则且， 得，，故. 16. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. （1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； （2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解； （2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积. 【小问1详解】 由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得 所以爬行最短路程为； 【小问2详解】 因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为， 从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为， 又圆锥的表面积为， 所以剩下几何体的表面积， 剩下几何体的体积为. 17. 如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点. （1）设，求实数的值； （2）设是上一点，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）设，，得到，，计算得到答案. （2），代入数据化简得到答案. 【详解】（1）设，，因为，是的中点， 所以.① 设，， 故，整理得， 又，即， 所以.② 联立①②，据平面向量其本定理，得解得，， 所以实数的值为. （2）因为，所以，即， 所以 . 【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综合应用能力. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得，利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由得，利用向量求，最后由三角形的面积公式即可求解； （3）由已知有得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由由正弦定理有 ， ∵，，∴，整理得. 又∵，，，∴. 【小问2详解】 由 ∵，，，即 ∴， 解得（舍）或. ∴； 【小问3详解】 由已知有： ， 得，整理得 当且仅当时取到最小值，即取等号. 19. 将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. （1）求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； （2）已知，，试推导复数的三角形式； （3）在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】（1），，， （2） （3）为正三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【小问1详解】 由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$