精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

长沙市第一中学2024—2025学年度高一第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再判断即可. 【详解】因为，所以，则. 故选：B 2. 设，向量，，，且，，则 ＝ A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即， ∴，∴，∴． 考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模． 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B． 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 5. 已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数，确定函数的奇偶性及在上的单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 则函数在区间上单调递减， 又，即是偶函数， ，又在上递增，则， 而在区间上单调递增，则， 因此，则， 所以. 故选：B 6. 已知向量与夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及运算律，结合投影向量的定义求解. 【详解】由向量与的夹角为，且， 得， 则， 所以在上的投影向量为. 故选：D 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形. 故选：D 8. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内动点.若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出平面EFG与正方体部分棱的交点，再判断点P所在的位置，利用等体积法计算作答. 【详解】在正方体中，连接，如图， 因F，G分别是棱BC，的中点，则，延长FE交DA延长线于M，取中点N，连MN， 因E是棱AB的中点，则，而，则四边形是平行四边形，， 即直线MN与FG确定一个平面，而点E，F，G均在此平面内，又不共线三点E，F，G确定一个平面，因此，它们是同一平面， 平面，而平面，则有平面，连AC，有， 平面，而平面，则有平面，又，平面， 因此平面平面，而直线与平面EFG不存在公共点，又平面， 从而有平面，即点平面，又点P在平面内，平面平面， 于是得点P在直线AC上，连，则，平面，平面，即有平面， 则有点P与点A到平面距离相等， 于是得， 所以棱锥的体积为. 故选：D 【点睛】方法点睛：作截面的常用方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交， 或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分） 9. 关于复数z，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC，通过举特特例可判断选项正误；对于BD，设，由题意结合复数模计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A， 当 时，，故A错误； 对于B，设，由题可得，则.故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设，则 ，故D正确 故选：BD 10. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则（ ） A. PC与MO是异面直线 B. 直线NO与PC的夹角为 C. D. 四棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先连结，利用中位线可判断，，再根据四棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】对于A,连接AC，BD，PO，分别是的中点，所以，A错误； 对于B，，故所求为直线PD与PC的夹角，为，B正确； 对于C，由于，，所以，又，故，C正确； 对于D，易知，故四棱锥的外接球的表面积为.D正确. 故选：BCD 11. 定义：一个正整数n的划分是指将n写成若干个正整数和的一个式子，而且这些正整数是无序的，其划分个数记为.例如： 1的划分只有一个：1；. 2的划分有两个：2，；. 3的划分有三个：3，，；. 记为将表示成个正整数之和的方法数；为将表示成和式中最大正整数为的方法数；为将表示成不多于个正整数之和的方法数；为将表示成任意个不大于的正整数之和的方法数.下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，可列举出5的划分共有7个；对于B，可以将划分和划分构造出一种形式，它们是一一对应的，故有； 对于C，由题知，， 结合B选项分析可判断正误； 对于D，若的拆分中含有1，则此类拆分的方法数恰为，若的拆分中不含1，取为奇数， 可以列举出几类拆分方法，发现，故D不正确. 【详解】对于A，5的划分有7个：5，，，，，， ，故A正确； 对于B：记将表示成个正整数之和的方法的集合为，将表示成和式中最大正整数为的方法的集合为， 一方面，，设，其中，，，…，均为正整数， 则由拆分可以转化成如下拆分， 即个k，个，…，个1相加，此即为将表示成和式中最大正整数为的一种方法， 而对于，其中，，…，与，，…，不完全相等， 则，，…，与，，…，不完全相等， 故转化后的拆分也互不相同，所以可以得到从到的一个对应， 另一方面，，设，其中，，，，…，均为正整数. 则同样也可以转化成如下拆分h，， 即个s，个，…，个1相加， 此时拆分的正整数个数为个，此即为将表示成个正整数之和的一种方法， 同理可以说明转化后的拆分互不相同，这样，也得到了从到的一个对应， 所以它们是一一对应的，故有，故B正确； 对于C：由题知，，， 由B结论知，C亦正确； 对于D：若的拆分中含有1，则此类拆分的方法数恰为， 若的拆分中不含1，我们取为奇数，则可以列举出几类拆分方法： ①，共有种拆分方法； ②，共有种拆分方法； ③，共有种拆分方法， 故，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数和对数运算法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，为单位向量，且，则_________.. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向量，则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是_________.. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理与正弦定理化简可得，则，利用换元法结合函数的单调性即可求得范围. 【详解】因为，又由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得， 又中，， 所以， 所以或（舍去）， 所以. ，，， 则， 令， 设，易知其在区间上单调递增， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. （1）求证：平面； （2）若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【小问1详解】 因为，平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 16. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （2）若方程在上的解为，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的解析式，再根据代入法，转化为，有两个不等的实根，结合三角函数的图象，即可求解； （2）利用对称性求得，代入，根据函数解析式，即可求解. 【小问1详解】 由平移规律可知，， 当时，， 当时，单调递增，值域是， 当时，单调递减，值域是， 方程有两个不等的实根，则，有两个不等的实根， 则，得； 【小问2详解】 由条件可知，，即，， ，， 当，单调递增，当，单调递减， ，有两个实数根，则， 即，即，则， . 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，求面积S的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，利用三角函数恒等式化简方程，可得答案； （2）由平面向量共线定理的推论，利用向量数量积的运算律，根据基本不等式与三角形面积计算，可得答案. 【小问1详解】 由已知得，， 由正弦定理可得，， 因为，所以， 代入上式，整理得， 因为，，所以，即， 又因为，所以，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 故，， 当且仅当且，即时取等号 即的最大值为. 18. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由余弦定理可得，，又，结合题目数据可得，最后在中，由余弦定理可得答案；②如图，以为原点，建立平面直角坐标系，由可得M坐标，然后由数量积坐标表示可得答案； （2）由余弦定理可得，结合及三角函数值域可得，据此可得答案. 【小问1详解】 ①如图，在中，，，， 由余弦定理可得， 注意到，所以， 又，得， 即， 又因为四边形ABCD为凸四边形，，故， 则在中，由余弦定理可得，所以. ②由①，如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 所以，，，D，则. 设，由， 得， 则 则. 【小问2详解】 在三角形和三角形中，由余弦定理得， 则， 四边形面积为：， 即，所以 ， 当且仅当，即，时，取最小值， 则， 所以四边形面积的最大值为. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. （1）利用结论，求出的值；（提示：） （2）在切比雪夫多项式中证明：； （3）设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，建立方程，根据同角三角函数平方式，化简方程为一元二次方程，可得答案； （2）利用赋值法，表示出常数项与各项系数和，根据绝对值不等式，可得答案； （3）由参数表示函数在给定区间上的最值，根据绝对值不等式，可得答案. 【小问1详解】 ，，， 所以， 即，由，解得. 【小问2详解】 由题意可知， 令，则；令，则， 所以. 【小问3详解】 法一： 由题意可知. 其中表示在上的最大值，是一个含有a，b的表达式. 是关于a，b函数的最小值. 令，则时，，， 当且，即且时， 由切比雪夫多项式的定义可知道时，. 结合切比雪夫多项式，. 当或时，， ， 故，当且仅当，时取到等号. 综上可得，实数的取值范围是. 法二： 记，则，，， 所以， 从而，当且仅当，时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2024—2025学年度高一第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，，且，，则 ＝ A. B. C. D. 10 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A 1 B. C. D. 3 5. 已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内动点.若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分） 9. 关于复数z，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 10. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则（ ） A. PC与MO是异面直线 B. 直线NO与PC的夹角为 C. D. 四棱锥外接球的表面积为 11. 定义：一个正整数n的划分是指将n写成若干个正整数和的一个式子，而且这些正整数是无序的，其划分个数记为.例如： 1的划分只有一个：1；. 2的划分有两个：2，；. 3的划分有三个：3，，；. 记为将表示成个正整数之和的方法数；为将表示成和式中最大正整数为的方法数；为将表示成不多于个正整数之和的方法数；为将表示成任意个不大于的正整数之和的方法数.下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：________． 13. 已知，为单位向量，且，则_________.. 14. 在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是_________.. 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. （1）求证：平面； （2）若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 16. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （2）若方程在上的解为，，求． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，求面积S的最大值. 18. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等两部分，且； ①求CD长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. （1）利用结论，求出的值；（提示：） （2）在切比雪夫多项式中证明：； （3）设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $