精品解析：甘肃省会宁县第一中学2025届高三下学期高考模拟测试（二模）数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为，， 则． 故选：B. 2. 下列抛物线中，准线方程为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线准线方程可判断选项正误. 【详解】对于A，准线为，故A错误； 对于B，准线方程为，故B错误； 对于C，，则其准线方程为：，故C正确； 对于D，，则其准线方程为：，故D错误. 故选：C 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则，求得复数z，再根据复数模的计算公式求得答案. 【详解】因为复数z满足， 则， 所以． 故选：B. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 （ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得，代入题目数据可判断选项正误； 【详解】由题意知，又，. ，则． 故选：A 5. 已知，则下列四个点中，在角的终边上的可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题结合倍角公式可得，可得，据此可判断选项正误. 【详解】由倍角公式得， 解得或 （舍去）， 设角的终边经过的点，则，即. 对于A，对于B，；对于C，；对于D，. 故选：C． 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据余弦定理求，再结合图形，通过所设边长，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，． 设，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示， 不妨设，则，，则，，， 由，解得． 故选：D 7. 在三棱柱中，过的平面与AB，AC分别交于点E，F，且该平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用面面平行的性质定理求证，设，再求证为三棱台，再计算三棱台的体积，结合题意即可求得. 【详解】因平面平面，平面平面， 平面平面，则， 设，，， 因，，则， 因，则，则重合， 则为三棱台， 记三棱柱的高为h，的面积为S，的面积为， 易知， 则三棱台的体积为， 由题意得，化简得， 解得 （负值舍去），故． 故选：A 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知和函数的性质，若，则和都是增函数，它们的解相同，可得，即，代入构造函数，利用导数即可求得的最小值，即为答案. 【详解】函数的定义域为，函数是增函数，且， 当时，，不合题意，故，函数是增函数， 令，得，由题意， 并结合，的图象， 则，即， 则，设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即的最小值为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一批产品的某项质量指标，且，现从该批产品中随机取4件产品，变量Y表示这4件产品的质量指标的产品件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的概念即可判断A选项，根据即可判断C选项，求出1件产品的质量指标的概率，判断服从的分布即可判断B和D选项. 【详解】由正态分布的概念知，A项正确； ，C项正确； 易知1件产品的质量指标的概率， ，则，B项不正确； ，D项正确． 故选：ACD. 10. 已知函数，，则下列结论一定正确的有（ ） A. 若，则与有相同的零点 B. 若，则与的图象关于y轴对称 C. 若，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象 D. 若，则与有相同的单调区间 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，令函数等于零，求出即可判断；对于B，由代入，可得，即可判断；对于C，由，利用平移变换可得，即可判断；对于D，将代入，可得，即可判断. 【详解】对于A，若，令，得，，令，得，，则与没有相同的零点，故A不正确； 对于B，若，则，则， ，则与的图象关于y轴对称故B正确； 对于C，若，则，将的图象向右平移个单位长度, 则，故C正确； 对于D，若，则， 则，则与单调性相反，与没有相同的单调区间，故D不正确． 故选：BC. 11. 已知双曲线与动圆恰有两个交点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C. 双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D. 过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先由圆与双曲线方程联立，由交点个数确定，即可求解双曲线方程，判断A，代入直线与圆相交的弦长公式，即可判断B，根据点差法，结合点与双曲线的位置关系，即可判断C，根据AB，结合集合关系，即可判断D. 【详解】A.联立C与M的方程，消去x，得，即， 由题意得， 由m的任意性，解得，则，离心率，A项正确； B.直线是双曲线C的一条渐近线，圆心到该渐近线的距离为， 圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为2，B项正确； C.设中点为的弦所在的直线与C交于，两点， 则，，且由点差法化简得， 所以中点弦所在直线方程为，即， 联立，得，，方程无解， 所以不存在，C项不正确； 不妨设，根据AB可知，， 则，，D项正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的公差，，则的前5项和______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等差数列基本量法，即可求解. 【详解】由，且，得．则． 故答案为： 13. 已知函数（，）的图象关于点中心对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简，因该式子恒成立，与无关，即可列出关于的方程组. 【详解】因关于点中心对称，则， 即， 该式成立与x的取值无关，则，且， 因，则，则． 故答案为： 14. 已知身高互不相同的6个人排成一排，记，，…，是对应站位为1，2，…，6的各人的身高数据的一个排列，则对任一组和（），各组中的两个不等关系至少有一个成立的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出6个人排成一排的方法数，假设甲身高最高，通过分类讨论甲在不同位置时的情况，即可得出结论. 【详解】由题意， 6个人排成一排，共有种方法．设6个人中甲的身高最高， 当甲站首位时，，则有共1种方法； 当甲站第2位时，且，则有，，， 即从5个人中任选1人站首位，另外4人从高到矮定序排队，有三种方法； 当甲站第3位时，且，则有，且， 只需从5个人中任选2人定序站1，2位，另外3人定序排队，有种方法； 同理，当甲站第4位时，有种方法；当甲站第5位时，有种方法； 当甲站末位时，需，有1种方法． 故共有种方法， 则概率． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司组织户外拓展活动，为探究员工参与该活动的积极性与员工的性别是否有关，对公司员工进行了简单随机抽样，得到如下列联表： 参与户外拓展活动的积极性 性别 合计 女 男 积极参与 75 e h 不积极参与 m f 35 合计 100 g 200 （1）求m，e，f，g，h； （2）在公司员工中任选1人，记事件A为“选到的员工是男性”，事件B为“选到的员工积极参与户外拓展活动”，估计的值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否积极参与户外拓展活动与性别有关? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），，，，． （2） （3）有关联 【解析】 【分析】（1）完善列联表； （2）根据条件概率的公式即可求解； （3）先计算，再结合独立性检验的原理即可求解. 【小问1详解】 由列联表得，，， ，． 【小问2详解】 通过样本频率估计总体概率，从200员工中任选1人，，且 ，测估计． 【小问3详解】 零假设为：积极参与户外拓展活动与性别无关． 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为是否积极参与户外拓展活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于． 16. 已知函数，函数的导函数为． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】由，可得或，然后由点斜式可得答案； （2）由题可得，令，可得时，有极小值，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，，令， 化简得，解得或． 当切点为时，所求切线方程为， 即； 当切点为时，所求切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，， ， 因为，所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．因此，当时，有极小值. 由题意，，则． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面. （1）证明：． （2）求三棱锥的外接球的表面积． （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：∵，∴， ∵，∴． ∵平面，平面，且平面平面， ∴，∴． ∵O为的中点，，∴， 又∵平面平面，平面平面， ∴平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 平面，∴． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明平面，根据线面垂直的判断定理，结合垂直关系，即可证明； （2）首先根据几何关系，找到三棱锥外接球的球心，再根据半径求外接球的表面积； （3）方法一：首先根据几何关系，证明，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据几何关系，写坐标，再分别求平面和平面的法向量，根据向量公式，即可求解； 方法二：根据二面角平面角的定义，结合几何关系，证明，构造二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，的外接圆为圆O， 此时，等边的外接圆圆心即为球心Q， ，由正弦定理可得外接圆半径， 则球Q的表面积为． 【小问3详解】 连接，中，为的中点，则， 又，所以， 为公共边，得，则，则是等边三角形， 由（1）知，则，即． （方法一）以O为坐标原点，垂直于的直线为x轴，，所在直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，． 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面PCD的法向量为， 则，即，令，则． ，故二面角的正弦值为． （方法二）易得，又，PC为公共边，则，又， 所以平面，则，易得． 在直角中，作，垂足为E，连接BE，易知， 则为二面角的平面角． 在直角中，由等面积法易求得，则在中， ，故二面角的正弦值为． 18. 已知数列的前n项和为，且，． （1）证明：数列是等比数列． （2）设，求数列的前n项和． （3）设，证明：． 【答案】（1） 当时，，得． 当时，，结合题设式可得， 即，当时也成立，， 则数列是首项为2、公比为2的等比数列． （2） （3） 由（1）知，， ， 欲证，即证， 即证，即证，该式显然成立， 即恒成立． 当n为奇数， ， 当n为偶数时， ． 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系得到，再利用等比数列的定义证明即可. （2）利用给定条件求出，再利用错位相减法结合公式法求和即可. （3）先表示出，再分析得到，再对分奇偶数讨论证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则，， 设记为①， 记为②， ①－②得，， 设，则． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为． （1）求椭圆E的标准方程． （2）过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点． （i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程； （ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设，，直线，与E的方程联立，消去y得 ， 则，则． 设直线，与直线的方程联立，可得， 则，得， 同理，直线的斜率也满足该式，即，是关于x的方程的两个根， 则，得， 直线，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式可求得，再由离心率可得，由椭圆中的平方关系可得，由此可得椭圆E的标准方程； （2）（i）由的面积可求得点B到直线的距离为，由此可设与直线平行且距离为的直线方程为，利用两平行直线的距离解出，代入验证可求得点坐标，再筛选符合题意的点即可求得直线的方程；（ii）设直线，与E的方程联立，消去y可得点的横坐标，另一方面， 设直线，与直线的方程联立，也可得点的横坐标，二者相等可得关于直线的斜率的方程， 同理直线的斜率也满足该方程，即，是该方程的两根，利用两根之为2可得之间的关系，由此可证得直线过定点. 【小问1详解】 由题意知椭圆E的左顶点的坐标为，则，解得， 又，，解得，，则椭圆E的标准方程为． 【小问2详解】 （i）易知直线MN的方程为，即，， 由的面积为，得点B到直线的距离为， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 由，解得或． 当时，由，得， 显然，此时该直线与椭圆无交点； 当时，由，得，解得或 当点B的坐标为时，直线的斜率为2， 此时直线的斜率为0，此时直线与椭圆只有一个交点，不合题意； 当点B的坐标为时，直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，即； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列抛物线中，准线方程为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 （ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 已知，则下列四个点中，在角的终边上的可以是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （ ） A. B. C. D. 7. 在三棱柱中，过的平面与AB，AC分别交于点E，F，且该平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一批产品的某项质量指标，且，现从该批产品中随机取4件产品，变量Y表示这4件产品的质量指标的产品件数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则下列结论一定正确的有（ ） A. 若，则与有相同的零点 B. 若，则与的图象关于y轴对称 C. 若，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象 D. 若，则与有相同的单调区间 11. 已知双曲线与动圆恰有两个交点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C. 双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D. 过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的公差，，则的前5项和______． 13. 已知函数（，）的图象关于点中心对称，则______． 14. 已知身高互不相同的6个人排成一排，记，，…，是对应站位为1，2，…，6的各人的身高数据的一个排列，则对任一组和（），各组中的两个不等关系至少有一个成立的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司组织户外拓展活动，为探究员工参与该活动的积极性与员工的性别是否有关，对公司员工进行了简单随机抽样，得到如下列联表： 参与户外拓展活动的积极性 性别 合计 女 男 积极参与 75 e h 不积极参与 m f 35 合计 100 g 200 （1）求m，e，f，g，h； （2）在公司员工中任选1人，记事件A为“选到的员工是男性”，事件B为“选到的员工积极参与户外拓展活动”，估计的值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否积极参与户外拓展活动与性别有关? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数，函数的导函数为． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面. （1）证明：． （2）求三棱锥的外接球的表面积． （3）若，求二面角的正弦值． 18. 已知数列的前n项和为，且，． （1）证明：数列是等比数列． （2）设，求数列的前n项和． （3）设，证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为． （1）求椭圆E的标准方程． （2）过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点． （i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程； （ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $