第23讲 线段的垂直平分线（四类知识点+十二大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第23讲 线段的垂直平分线（十二大题型） 学习目标 1. 知道线段的垂直平分线的定义，性质及其应用； 2. 掌握线段的垂直平分线的判定； 3. 熟悉线段的垂直平分线有关的尺规作图.； 4. 了解三角形的外心及其性质. 知识点1 线段的垂直平分线及其性质 1.线段的垂直平分线 我们已经知道，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线. 定义 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 2.线段的垂直平分线的性质 如图18-4-1,如果直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O,那么OA=OB,且CD⊥AB. 我们有下面的线段垂直平分线的性质定理： 定理 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 如图18-4-2,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 证明 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,所以MN⊥AB,AC=BC. 如果点P不在线段AB上，由MNLAB,得∠PCA=∠PCB=90°.又因为PC是公共边，由“边角边”,得△PCA≌△PCB.由此推出PA=PB. 如果点P在线段AB上，那么点P与点C重合，仍有PA=PB. 知识点2 线段的垂直平分线的判定 这个定理的逆命题也是成立的，即有： 定理 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图18-4-3,已知：线段AB和一点Q,且QA=QB 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析 要证点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB. 证明 如果点Q在线段AB上，由QA=QB,可知Q为线段AB的中点，即点Q必在线段AB的垂直平分线上. 如果点Q不在线段AB上，过点Q作QC⊥AB,垂足为C(图18-4-4).由QA=QB,QC⊥AB,根据“等腰三角形三线合一”,可得AC=BC,即C是线段AB的中点.由此可见，点Q在线段AB的垂直平分线上. 注：也可以先平分线段AB,如设线段AB的中点为C,连接QC,然后证明QC垂直于线段AB. 知识点3 尺规作图 例1作已知线段的垂直平分线. 如图18-4-5,已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 分析 根据“与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 例2过直线外一点作已知直线的垂线. 如图18-4-7,已知直线l和l外一点P,过点P求作直线L的垂线. 分析 只需在直线l上找出两点A和B,使点P在线段AB的垂直平分线上，就可以将问题转化为作线段AB的垂直平分线. 作法 (1)任意取一点K,使点K和点P分别在直线l的两侧； (2)以点P为圆心、以PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A、B; (3)作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是所求的垂线(图18-4-8). 请自行完成证明. 例3已知底边和底边上的高作等腰三角形. 如图18-4-9,已知线段a、h.求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 分析 先画出符合条件的示意图，根据BC=a,可以确定点B、C的位置.由“等腰三角形三线合一”,作BC的垂直平分线MN,交BC于点D.由AD=h,可知点D到点A的距离为h,这就是说，点A在以定点D为圆心、以h为半径的圆上.因此，这个圆与MN的交点就是A. 作法 (1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D; (3)以点D为圆心、以h的长为半径作弧，交MN于点A; (4)分别连接AB、AC. △ABC就是所求的三角形(图18-4-10). 知识点4 三角形的外心 例4如图18-4-11,已知：在△ABC中，OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在边BC的垂直平分线上. 证明 如图18-4-12,分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA(线段垂直平分线的性质定理). ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上(与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. 【即学即练1】定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是： 【即学即练2】如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【即学即练3】如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【即学即练4】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 【即学即练5】如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，且点是边的中点，连接，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练6】如图，在中，． (1)实践与操作：请用尺规作图法作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接．若，，求的度数． 题型1:根据线段的垂直平分线求长度 【典例1】．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1-2】．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】．如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 题型2:根据线段的垂直平分线求角度 【典例2】．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A．41° B．42° C．43° D．44° 【变式4-1】．如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 题型3:三角形的外心 【典例3】．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【变式3-1】．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 【变式3-2】．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为 （度）． 题型4:根据线段的垂直平分线求周长或面积 【典例4】．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A．16 B．18 C．26 D．28 【变式4-2】．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（    ） A．120 B．50 C．100 D．90 【变式4-3】．如图，在中，于点D，，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 题型5:尺规作图（选填题） 【典例5】．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【变式5-3】．如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 题型6：线段的垂直平分线的判定 【典例6】．如图，在 中，，，， ． 【变式6-1】．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【变式6-2】．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 题型7：线段的垂直平分线的判定与性质综合辨析 【典例7】．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【变式7-1】．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 【变式7-2】．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是(　　)    A． B． C． D．四边形的面积为 【变式7-3】．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 题型8：线段的垂直平分线的判定与性质综合应用 【典例8】．，，若， ． 【变式8-1】．如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 【变式8-2】．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】．在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 题型9：尺规作图（解答题） 【典例9】．在中，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【变式9-1】．如图，已知线段，求作线段的四等分点（不写作法）． 【变式9-2】．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与的周长之差为．（不写作法，保留作图痕迹） 题型10：尺规作图（线段的垂直平分线在等腰三角形的应用） 【典例10】．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【变式10-1】．已知：线段a．请利用尺规作图求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式10-2】．如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式10-3】．小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点D； ②作线段的垂直平分线，直线交线段于点E； ③连接，，则，，即为所求的等腰三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：由作图可知，① ∴________． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（__________）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（__________）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 题型11：最值问题 【典例11】．如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式11-1】．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式11-2】．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 题型12：解答综合题 【典例12】．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由． 【变式12-1】．如图，在中，，，． (1)在线段上求作一点，使（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接 ，求的长． 【变式12-2】．如图，在中，分别以、为边作等边三角形和等边三角形， (1)请说明的理由； (2)如果是的垂直平分线，那么吗？为什么？ 【变式12-3】．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 【变式12-4】．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．    (1)若，，则 ； (2)若，求的度数； (3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【变式12-5】．如图1，P是等边左侧一点，垂直平分于E点，交直线于点M，的平分线交于点F，设． (1)若，直接写出度数； (2)改变P点的位置，当时，的度数是否改变？说明理由； (3)如图2，连接，若，求的长． 一、单选题 1．到三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 2．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 4．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 8．如图，在中，，，，分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点、．直线交于点．则的周长为 ． 9．如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则 度． 10．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，于点E，连接，如果，那么的度数是 ． 11．在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为 ． 12．如图，等腰三角形的底边长为8，面积是64，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 三、解答题 13．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．    14．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 15．在中，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 16．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 17．根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化． 数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________． (3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系； 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 线段的垂直平分线（十二大题型） 学习目标 1. 知道线段的垂直平分线的定义，性质及其应用； 2. 掌握线段的垂直平分线的判定； 3. 熟悉线段的垂直平分线有关的尺规作图.； 4. 了解三角形的外心及其性质. 知识点1 线段的垂直平分线及其性质 1.线段的垂直平分线 我们已经知道，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线. 定义 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 2.线段的垂直平分线的性质 如图18-4-1,如果直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O,那么OA=OB,且CD⊥AB. 我们有下面的线段垂直平分线的性质定理： 定理 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 如图18-4-2,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 证明 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,所以MN⊥AB,AC=BC. 如果点P不在线段AB上，由MNLAB,得∠PCA=∠PCB=90°.又因为PC是公共边，由“边角边”,得△PCA≌△PCB.由此推出PA=PB. 如果点P在线段AB上，那么点P与点C重合，仍有PA=PB. 知识点2 线段的垂直平分线的判定 这个定理的逆命题也是成立的，即有： 定理 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图18-4-3,已知：线段AB和一点Q,且QA=QB 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析 要证点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB. 证明 如果点Q在线段AB上，由QA=QB,可知Q为线段AB的中点，即点Q必在线段AB的垂直平分线上. 如果点Q不在线段AB上，过点Q作QC⊥AB,垂足为C(图18-4-4).由QA=QB,QC⊥AB,根据“等腰三角形三线合一”,可得AC=BC,即C是线段AB的中点.由此可见，点Q在线段AB的垂直平分线上. 注：也可以先平分线段AB,如设线段AB的中点为C,连接QC,然后证明QC垂直于线段AB. 知识点3 尺规作图 例1作已知线段的垂直平分线. 如图18-4-5,已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 分析 根据“与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 例2过直线外一点作已知直线的垂线. 如图18-4-7,已知直线l和l外一点P,过点P求作直线L的垂线. 分析 只需在直线l上找出两点A和B,使点P在线段AB的垂直平分线上，就可以将问题转化为作线段AB的垂直平分线. 作法 (1)任意取一点K,使点K和点P分别在直线l的两侧； (2)以点P为圆心、以PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A、B; (3)作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是所求的垂线(图18-4-8). 请自行完成证明. 例3已知底边和底边上的高作等腰三角形. 如图18-4-9,已知线段a、h.求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 分析 先画出符合条件的示意图，根据BC=a,可以确定点B、C的位置.由“等腰三角形三线合一”,作BC的垂直平分线MN,交BC于点D.由AD=h,可知点D到点A的距离为h,这就是说，点A在以定点D为圆心、以h为半径的圆上.因此，这个圆与MN的交点就是A. 作法 (1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D; (3)以点D为圆心、以h的长为半径作弧，交MN于点A; (4)分别连接AB、AC. △ABC就是所求的三角形(图18-4-10). 知识点4 三角形的外心 例4如图18-4-11,已知：在△ABC中，OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在边BC的垂直平分线上. 证明 如图18-4-12,分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA(线段垂直平分线的性质定理). ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上(与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. 【即学即练1】定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是： 【答案】到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上 【分析】根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【解析】定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质的逆定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质的逆定理． 【即学即练2】如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分，则.利用这一性质和已知的和的长度，可以计算出的长度. 【解析】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 【即学即练3】如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质在实际生活中的应用； 由于各个景点到游客休息厅的距离相等，所以根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知是三边垂直平分线的交点．由此即可确定休息厅的位置． 【解析】解∶ ∵各个景点到游客休息厅的距离相等， ∴休息厅选择三边垂直平分线的交点， 故选：B． 【即学即练4】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为． 【解析】解：是的垂直平分线， ， ，， ． 故选：． 【即学即练5】如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，且点是边的中点，连接，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答． 根据线段垂直平分线性质及三角形中线的特点逐选项分析即可得出正确的答案． 【解析】解∶是的垂直平分线， ，， 选项A、C、D正确，不符合题意； 点是边的中点，不能得出，选项B说法错误，符合题意， 故答案为∶B． 【即学即练6】如图，在中，． (1)实践与操作：请用尺规作图法作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接．若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可； （2）先由三角形的外角性质得，再根据线段垂直平分线的性质，得，然后根据三角形内角和定理列式计算即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【解析】（1）解：根据题意，作图如下： ， 则即为所求． （2）解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 题型1:根据线段的垂直平分线求长度 【典例1】．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”即可求解． 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故选：B． 【变式1-1】．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【解析】解：是的垂直平分线，， ， ． 故选：A． 【变式1-2】．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据此性质得，即可求解． 【解析】解：∵直线为线段的垂直平分线，且，， ∴； 故选：B． 【变式1-3】．如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质及直角三角形的斜边大于直角边是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，根据垂线的性质得到，然后根据直角三角形的斜边大于直角边判断即可． 【解析】解：直线l是边的垂直平分线， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型2:根据线段的垂直平分线求角度 【典例2】．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分，得出，求出，根据，利用等边对等角，最后求出结果即可． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-1】．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【解析】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 【变式2-2】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A．41° B．42° C．43° D．44° 【答案】B 【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解． 【解析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°， ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝7x°， ∵∠B＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∴7x+7x+x＝90， 解得：x＝6， ∴∠C＝7×6°＝42°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键． 【变式2-3】．如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 题型3:三角形的外心 【典例3】．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得． 【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【变式3-1】．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【解析】解：如图所示， 点在，的垂直平分线上， 故答案为：． 【变式3-2】．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为 （度）． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【解析】解：∵分别是边的垂直平分线， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 题型4:根据线段的垂直平分线求周长或面积 【典例4】．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AC=2AE=6cm， 又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm， ∴AB+BD+CD=13cm， 即AB+BC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm． 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键． 【变式4-1】．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A．16 B．18 C．26 D．28 【答案】B 【分析】利用线垂直平分线的性质得,再等量代换即可求得三角形的周长． 【解析】∵是中边的垂直平分线，∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 【变式4-2】．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（    ） A．120 B．50 C．100 D．90 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质得，，等量代换即可求解． 【解析】解：∵、分别是线段、的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故选C． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【变式4-3】．如图，在中，于点D，，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴直线垂直平分线段， ∴， ∴直线是等腰三角形的对称轴， ∴阴影面积等于等腰三角形的面积的一半， ∵，， ∴等腰三角形的面积为， ∴阴影面积为10． 故答案为：10． 题型5:尺规作图（选填题） 【典例5】．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择． 【解析】1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F， 【变式1-1】．过EF作直线即为AB的垂直平分线． 故选C． 【点睛】本题考查了作图--基本作图，熟悉垂直平分线的作法是解题的关键． 【变式5-1】．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可. 【解析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可， 故选：B． 【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 【变式5-2】．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据作图信息，一一判断即可． 【解析】解：由作图可知， 垂直平分线段，故D选项是正确的 ∴，故B选项是正确的； ∴，故C选项是正确的； 则不一定正确的是 故选：A 【变式5-3】．如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解． 【解析】解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∵的周长为， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-4】．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出． 【解析】解：连接、，如图，设， 由作法得垂直平分， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 题型6：线段的垂直平分线的判定 【典例6】．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【解析】证明：，， ， 点D在AC边的垂直平分线上． 【变式6-2】．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，实际上，要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上．证明．得，．再利用线段垂直平分线的判定即可得证． 【解析】∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴，两点都在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， 即是线段的垂直平分线． 题型7：线段的垂直平分线的判定与性质综合辨析 【典例7】．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【答案】A 【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线． 【解析】∵AC＝AD，BC＝BD， ∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上， ∴AB是CD的垂直平分线． 即AB垂直平分CD． 故选A 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【变式7-1】．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①/1 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及其性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可求解． 【解析】解：线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等，故①正确； 因为垂直平分线不一定被线段本身平分，所以线段上任一点到垂直平分线两端的距离不一定相等，故②错误； 经过线段中点的直线有无数条，故③错误； 点在线段外且，过点作直线，当时，则是线段的垂直平分线，故④错误； 过线段的中点才能作这条线段的中垂线．故⑤错误； 故答案为：① 【变式7-2】．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是(　　)    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】根据作图方法可得，进而可得是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，，利用面积公式可计算四边形的面积． 【解析】解：根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故A结论正确； ，则 ，则 ，故C结论正确； ， ，故B结论正确； ，则四边形的面积， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一． 【变式7-3】．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，从而可判断A、B选项正确；通过证明可得，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误． 【解析】解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴筝形是轴对称图形，故A、B选项正确； ∵， ∴， ∴， 即平分一组对角，故C选项正确； ∵直线不是筝形的对称轴， ∴不平分一组对角，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，轴对称的性质，解本题的关键是熟练掌握相关判定定理和性质定理． 题型8：线段的垂直平分线的判定与性质综合应用 【典例8】．，，若， ． 【答案】 【分析】根据，则垂直平分，又，则为等边三角形，即可求得 【解析】， 为等边三角形 ， 点在的垂直平分线上 则垂直平分 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，证明是的垂直平分线是解题的关键． 【变式8-1】．如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，根据题意可得垂直平分，，进而得到，再由的周长为20，推出，据此可得答案． 【解析】解；∵E为边的中点，， ∴垂直平分，， ∴， ∵的周长为20 ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选；C． 【变式8-2】．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【解析】解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 【变式8-3】．在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出是的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 分两种情况：①在内，②在外，先根据线段垂直平分线求出是线段的垂直平分线，即可得出，，即可得到结论． 【解析】解：如图所示， ，， 、都在线段的垂直平分线上， ， 点到的距离为6，点到的距离为4， ，， ①在内， ， ②在外， ． 故选：C． 题型9：尺规作图（解答题） 【典例9】．在中，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，． 【解析】（1）解：如图：即为所求． （2）解垂直平分， ∴， ， ∵， ∴． 【变式9-1】．如图，已知线段，求作线段的四等分点（不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的作法，先作线段的垂直平分线，得出线段的中点M，然后分别作线段和的垂直平分线，得到线段和的F，G，即可求解． 【解析】解：如图所示，点，，即为所求． 【变式9-2】．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与的周长之差为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关作图和性质是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，得，将与的周长之差变形为即可求解． 【解析】解：如图，作的垂直平分线，交于点， 的周长为，的周长为，且， 的周长与的周长之差为． 点为所求． 题型10：尺规作图（线段的垂直平分线在等腰三角形的应用） 【典例10】．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【答案】见解析 【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键． 【解析】解：根据基本作图的步骤，作图如下： （1）作射线； （2）在射线上截取； （3）作的中垂线，交于点D； （4）截取， 则等腰就是所求的三角形． 【变式10-1】．已知：线段a．请利用尺规作图求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线和等腰三角形的判定即可得出答案 【解析】解：如图，△ABC即为所求， 【点睛】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的判定是解题关键. 【变式10-2】．如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，尺规作图， （1）根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定即可得出结果； （2）利用垂直平分线的性质作图即可； 熟记等腰三角形的两腰相等，两底角相等，作已知直线的中垂线是解题关键． 【解析】（1）解：连接，如图 ，， ． 由作图得：， ， ， ， ， 和均为等腰三角形； （2）如图2，点D即为所求． 【变式10-3】．小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点D； ②作线段的垂直平分线，直线交线段于点E； ③连接，，则，，即为所求的等腰三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：由作图可知，① ∴________． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（__________）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（__________）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 【答案】(1)图见详解 (2)；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）按照作图步骤作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质填空即可． 【解析】（1）解：如图所示． （2）证明：由作图可知，① ∴． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（等角对等边）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 故答案为：；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边． 题型11：最值问题 【典例11】．如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点E，交于点F，当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当B、P、Q三点共线，且时，最小， 过点B作于点E，交于点F，如图所示： ∴当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式11-1】．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【解析】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【变式11-2】．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析． 连接交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长． 【解析】解：如图，连接交于点，连接． 是等腰三角形，D是的中点，， ，， ， 解得． 是线段的垂直平分线， ， ， 当点M位于点处时，收得最小值，最小值为的长度． 的周长为， 其最小值为． 故答案为：8． 题型12：解答综合题 【典例12】．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由． 【答案】见解析 【分析】由AB=AC得∠ABC=∠ACB，再由BE平分∠ABC，CE平分∠ACB可求得∠EBC=∠ECB，进而得到EB=EC，从而得AE垂直平分BC，即AD⊥BC． 【解析】证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC=∠ECB， ∴EB=EC， ∵AB=AC， ∴AE垂直平分BC， ∴AD⊥BC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定等知识，熟记线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【变式12-1】．如图，在中，，，． (1)在线段上求作一点，使（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接 ，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)3 【分析】本题考查了用直尺和圆规作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判断与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1） 作线段的垂直平分线，交于点D，根据线段垂直平分线的性质，可知； （2）根据线段垂直平分线的性质，可知，故，因此，根据等腰三角形的判定，可得，从而可得答案． 【解析】（1）如图，点D就是所求的点； （2）由（1）的作法可知，是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【变式12-2】．如图，在中，分别以、为边作等边三角形和等边三角形， (1)请说明的理由； (2)如果是的垂直平分线，那么吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质： （1）利用等边三角形的性质通过证明，推出，即可证明； （2）由线段垂直平分线的性质得出，，进而证明，结合（1）中，可得． 【解析】（1）解：的理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是的垂直平分线， ，， 又， ， 由（1）知， ． 【变式12-3】．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 【答案】(1)FC=AD，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可． 【解析】（1）解：FC=AD，理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE=EC（中点的定义）． 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC=AD（全等三角形的性质）； （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）， ∵BE⊥AE， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∴AB=BC+AD， ∵AB=6，AD=2， ∴BC=4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式12-4】．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．    (1)若，，则 ； (2)若，求的度数； (3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【答案】(1)11 (2) (3)点O在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角等等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，，则，据此可得； （3）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． 【解析】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为20°； （3）解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【变式12-5】．如图1，P是等边左侧一点，垂直平分于E点，交直线于点M，的平分线交于点F，设． (1)若，直接写出度数； (2)改变P点的位置，当时，的度数是否改变？说明理由； (3)如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由线段的垂直平分线的性质可得：，再根据三角形的内角和即可解决问题． （2）在（1）的基础上，设，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和的角度计算即可解决问题． （3）在上截取（如图），易得，再根据等边三角形的性质即可． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵垂直平分于点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：不改变，理由如下： 是等边三角形，垂直平分， 设 ， ， ， ， ， ． （3）解： 平分， ∴垂直平分， ， 在上截取， ， ， 在与中 ∴ ， ， ， 是等边三角形， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练运用线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键． 一、单选题 1．到三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解题关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【解析】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三个顶点的距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 2．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【解析】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，再另一条角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【解析】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【解析】解：垂直平分，且， ， 的周长为， ， ，即， 则的周长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 5．如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线，可知，再结合，可得，接下来根据三角形内角和定理得，然后根据等角对等边得，设，则，最后根据三角形的三边关系得出不等式组，求出解可得答案． 【解析】如图所示，连接， 根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， 当时，，当时，（不符合题意，舍去）， ∴， 即， 解得， 即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形的三边关系，解不等式组，根据三角形的三边关系的很粗不等式组是解题的关键． 6．如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【解析】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即垂直平分， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题 7．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，，，分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点、．直线交于点．则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，得到，即可求出答案，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【解析】解：如图，设交于点， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故答案为：． 9．如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则 度． 【答案】15 【分析】根据，只要求出即可解决问题． 【解析】解：，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， 故答案为15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，于点E，连接，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，则，再由等边对等角得到，根据已知条件可得，据此根据三角形内角和定理建立方程求解即可． 【解析】解：是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为 ． 【答案】4或12 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，先利用，可判断点、都在的垂直平分线上，然后分类讨论：当点在的内部时，易得；当点在的外部时，易得． 【解析】解：， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 所在直线是的垂直平分线， 如图，为直线与的交点， ∵若点到的距离为8，点到的距离为4， ∴，， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，． 综上，的长为4或12． 故答案为：4或12． 12．如图，等腰三角形的底边长为8，面积是64，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】20 【分析】连接，由等腰三角形的底边长为8，面积是64，点D为边的中点，得，由，求得，结合点M是腰的垂直平分线上的点，得到，由，得，则的最小值为20，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接， ∵由等腰三角形的底边长为8，面积是64，点D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是腰的垂直平分线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为20， ∴周长的最小值为20， 故答案为：20． 【点睛】此题重点考查轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 13．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．    【答案】见解析 【分析】由题意易得∠ABC＝∠ACB，则有∠OBC＝∠OCB，进而根据线段的垂直平分线的性质与判定可求证． 【解析】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AD是线段BC的垂直平分线， 即AD⊥BC． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 14．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【解析】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 15．在中，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，． 【解析】（1）解：如图：即为所求． （2）解垂直平分， ∴， ， ∵， ∴． 16．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等腰三角形，见解析 【分析】（1）由平行可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得； （2）结合（1）的结论，可证明，从而证明； （3）由（2）可得，又证明垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【解析】（1）证明：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）可知， 为的中点， 在和中， ， （3）解：由（）可知， ， 由（）可知，， ∴垂直平分， ， ， 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 17．根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化． 数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________． (3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系； 【答案】(1)，证明见解析； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，即可得证； （2）设，则，根据折叠的性质，，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，列出方程，即可求解； （3）延长至，连接，使得，证明，即可得证． 【解析】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴， ∴， 故答案为：； （3），证明如下， 如图所示，延长至，连接，使得 ∵ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，折叠问题，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 55 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$