专题07 导数中的切线问题全题型归纳（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题07 导数中的切线问题全题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 在曲线上一点（切点）的切线方程】 2 【题型二 求过某一点（非切点）的切线方程】 2 【题型三 有一个切点的公切线问题】 3 【题型四 有两个切点的公切线问题】 3 【题型五 切线的条数问题】 4 【压轴能力测评（14题）】 5 提示：本专题内容已经涉及导数后面章节的内容 一、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 二、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 三、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 【题型一 在曲线上一点（切点）的切线方程】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽马鞍山·阶段练习）曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A．1 B．3 C． D． 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【题型二 求过某一点（非切点）的切线方程】 一、单选题 1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 5．（2025高二·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型三 有一个切点的公切线问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型四 有两个切点的公切线问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线与曲线都相切，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建·阶段练习）函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【题型五 切线的条数问题】 一、单选题 1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（24-25高二上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江西·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．1 4．（24-25高二上·河南周口·期末）以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）若曲线和在公共点处的切线互相垂直，则（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 7．（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 11．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 12．（24-25高二上·山西·阶段练习）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·山东临沂·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 导数中的切线问题全题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 在曲线上一点（切点）的切线方程】 2 【题型二 求过某一点（非切点）的切线方程】 4 【题型三 有一个切点的公切线问题】 6 【题型四 有两个切点的公切线问题】 8 【题型五 切线的条数问题】 10 【压轴能力测评（14题）】 14 提示：本专题内容已经涉及导数后面章节的内容 一、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 二、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 三、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 【题型一 在曲线上一点（切点）的切线方程】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】，， ， 所以切线方程为，即. 故选：B 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 3．（24-25高二下·安徽马鞍山·阶段练习）曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直可得切线斜率为，再对曲线求导，根据导数的几何意义有，进而可求. 【详解】因为直线的斜率为， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又，所以，所以，解得. 故选：D. 4．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，得到曲线在点处切线的斜率大于等于-1，结合的范围，得到答案. 【详解】，设， 则曲线在点处切线的斜率为， 则，又，切线斜率存在，故， 则. 故选：B 5．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C. 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知的斜率为，由得，进而可得直线的方程为：，进而由平行线间的距离公式可得. 【详解】由题意，切线的斜率为，则，得， 故，故切线的方程为：，即， 直线，即， 故两直线的距离为， 故选：B 【题型二 求过某一点（非切点）的切线方程】 一、单选题 1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 3．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出. 【详解】设切点为 因为切线， 所以， 解得（舍去） 代入曲线得， 所以切点为 代入切线方程可得，解得. 故选：D. 4．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 5．（2025高二·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数表示出在点处的切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果. 【详解】设，由，得， 曲线在点处的切线方程为， 把代入切线方程，得， 化简得， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 都满足直线， 直线的方程为. 故选：A 【题型三 有一个切点的公切线问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案. 【详解】因为，，则，， 可得，，，， 因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率， 所以，解得，所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，得到且，根据题意，得到与相切于，且，再由为偶函数，求得，且，进而求得切线方程. 【详解】由函数，可得，所以且， 因为函数与偶函数在交点处的切线相同， 所以函数与相切于，且， 又因为为偶函数，所以，且， 所以函数在处的切线方程为，即． 故选：D. 3．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】由，， 则，， 设切点P的横坐标为（），则根据题意可得， 得，即， 设，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以方程有唯一解， 所以切点P坐标为，切线斜率， 则切线方程为. 故选：D. 【题型四 有两个切点的公切线问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果. 【详解】的导数，令，则， 所以曲线在处的切线方程为， 即 的导数，设直线与曲线切于点， 则曲线在点处的切线方程为， 即，所以解得． 故选：D 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线与曲线都相切，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解. 【详解】由得，由得， 设过原点的直线分别与曲线相切于点， 则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为， 所以，所以，所以，即， 代入得. 故选：D 4．（24-25高二下·福建·阶段练习）函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为， 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即， 又易知，整理可得， 即，即，解得或， 因此可得斜率为或， 故选：C. 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 【题型五 切线的条数问题】 一、单选题 1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 2．（24-25高二上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程结合切线有且仅有1条，令判别式为即可求解. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为， 因为直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 故选：A 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得导函数，设切点写出切线方程，则切线方程过点，得到带参数的关于的一元二次方程，因为存在两条切线，即方程有两个不等的实根，即，注意实根不能为，由此求得 的取值范围. 【详解】由题意可得，设切点为， 则切点处的斜率为，则切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，因为 存在两条过点的切线， 所以方程有两个不等的实根， 若，则，原方程有两个相等的实根，不符合题意； 故，解得或. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，根据条件，利用导数的几何意义，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，利用零点存在性原理，可得只有一解，即可求解. 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 5．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，表示出切线方程，将点代入，则关于切点横坐标的方程有三个实根，通过分离参数，将问题转化为两个函数图象有三个不同交点的问题求解即可． 【详解】由，得， 设切点为,，过切点的切线方程为， 代入点坐标化简为，即这个方程有三个不等式实根， 令，求导得到， 由，得，由，得，或， 故函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故得,结合，， 当时，，时，， 得， 故选：D．    6．（24-25高二下·江西·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】由题可得， 则， 故切点为，切线在该点处的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故选：A. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由导函数求出图像在点切线的斜率，由直线垂直建立方程，解得的值. 【详解】由题意可知，，， 因为的图像在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南周口·期末）以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义确定切线斜率的取值范围，再分类讨论求倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以， 设，则以为切点的直线的斜率. 当时，直线的倾斜角； 当时，直线的倾斜角. 综上直线的倾斜角. 故选：A 5．（2025高二·全国·专题练习）若曲线和在公共点处的切线互相垂直，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设两曲线公共点的横坐标为，得到，，根据公共点处的切线互相垂直，得到，求得，结合，求得的值，即可得到答案. 【详解】由函数和，可得，， 设两曲线公共点的横坐标为，可得，， 因为公共点处的切线互相垂直，可得，即，解得， 又由，可得，解得. 故选：C. 6．（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可. 【详解】因为，所以， 令，得到， 化简得，解得， 代入回原函数得到， 而，故切点为， 而，， 设曲线在处的切线斜率为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，化简得， 令，得到，所以与轴交点为， 令，得到，所以与轴交点为， 且设三角形面积为，故，故A正确. 故选：A 7．（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用导数求两函数曲线在交点处的公切线斜率，结合代入交点坐标计算，联立方程组，可解出参数，求和即可. 【详解】由题意，，则， ，则， 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 则有，即，解得. 所以. 故选：A. 8．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果. 【详解】因为，所以， 设所求切线的切点为，则， 由题知，，解得，所以切线斜率为， 故所求切线方程为. 故选：C. 9．（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 10．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，解方程可得，可得结果. 【详解】设切点坐标为， 易知，因此， 所以切线方程为，即， 可得，即，可得， 所以. 故选：D 11．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A 12．（24-25高二上·山西·阶段练习）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义分别求的切线，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 由题意可得：，解得， 所以公切线的斜率为. 故选：A. 13．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出过点P的切线方程，代入点P坐标，化简为，根据这个方程有三个不等根即可求解. 【详解】设切点为，过点P的切线方程为， 代入点P坐标可得， 化简为， 过点可以作三条直线与曲线相切，即这个方程有三个不等根. 令，求导得：. 令，解得：，所以在上递增； 令，解得：或， 所以在和上递减. 有极小值，有极大值 要使方程有三个不等根即可. 只需，即. 故选：D 14．（23-24高二下·山东临沂·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出切线方程，然后对进行讨论即可. 【详解】设切点为 , 对 求导可得： , 切线的斜率为 , 可得切线方程为： , 把点 代入可得 , 化为 , 令 , , 令得;令得 所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减, 可得 时函数 取得极大值. 当 时, , 当 时, . 时， 与函数 的图象最多有一个交点, 不符合题意, 舍去. 时, 由过点 可以作曲线 的两条切线, 与函数 的图象有两个交点, . 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$