专题二 事件的相互独立性，频率与概率-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

17.【解】(1DP(A)=1000 1 有4人成绩在90分以上，记为B1,B2,B3,B4, 从“倪秀市民”中任选两名参加座谈会，用集合{m,n}表 10 1 P(B)=1000-100' 示这个试验的一个样本，点， 501 因此该试验的样本空间为2=({m,n}|m,n∈{A1, P(C)=100020 A2,A3,A4,A5A6A7,A8,B1,B2,B3,B}, (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“】 其中n(2)=66, 张奖券中奖”为事件M,则M=AUBUC. 事件M=“两名市民至少有一人获得90分及以上”，则 ,A,B,C两两互斥， M={m,n}|m,n∈{A1·A2,A3A4A5·A6,A7 ..P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)= A8},其中n(M)=28, 1+10+5061 1000 =1000 P(0=1-0-1-器-是 故1张关参中关的能岸为8品。 n(2) 66331 (3)设“】张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则 专题二事件的相互独立性，频率与概率 事件V与“1张奖券中特等奖或一等奖”为对立事件， 1.B互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事 N)(AUB1-00 件，故A错误，B正确： 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生， 故1张关条不中特等关且不中一等关的能拿为，品 所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也 18.【解】(1)摸球结果(a,b)全部可能的结果是(1,1)，(1， 可能不互斥，故C,D均错误 2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2, 故选：B 5),(3,1)(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4, 2.B两辆车不同时出现故障的概率为1一(1一p)2=2p 3),(4.4),(4,5),(5,1).(5,2),(5,3),(5,4),(5,5).共 -p2. 25种， 故选：B 其中a十b=5的结果为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4 3.A对于选项A,由题意得事件A的发生与否对事件B 种，故由古典概型的概率计算公式可得P(a十h=5)=25: 4 没有影响，∴A与B相互独立，∴A正确.对于选项B,C, 由于事件A与B可以同时发生，∴.事件A与B不互斥， (2)这种游戏规则不公平，理由如下： ∴B,C不正确.对于选项D,由于A与B相互独立，因此 设甲赢为事件A,乙赢为事件B,则A,B为对立事件， 由题意事件A包含的基本事件(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3， PAB)=PAP(B)=子D不正确，故选A 3),(3,4),(3,5).(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5 4.B对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整 2),(5,3),(5,4),(5,5),共15个， 个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误： 由古共概型的耗率计年公式可得PCA)-是-是 对于B,明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大， 故B正确： aPB)=1-PA)-号 对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C ,P(A)>P(B),故这种游戏规剩不公平。 错误： 19.【解】(1)由频率分布直方图可知：0.004×10+10.x十 对于D,降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以 0.04×10+0.016×10+0.008×10=1, 及有效覆盖面积（即下雨的区城在该所参考区域的面积） ∴.x=0.032 会影响降雨量，故D错误 (2)由x-之xp,得：x=0.04×5+0.32×65+0.4×75 故选：B +0.16×85+0.08×95=74.2, 5.D设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件A,B, 设市民党赛成绩的上四分位数为a, 事件“至少有一人命中”为事件C,P(C)=P(AB十AB+ 则0.08+0.16<0.25,0.08+0.16+0.4>0.25， AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB) .70<u<80 =P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B) .(80-a)×0.04+0.08+0.16=0.25, =0.9×0.2+0.1×0.8+0.9×0.8=0.98. ∴.a=79.75. 故选：D (3)由频率分布直方图可知：50名市民中有“优秀市民” 6.C由30组随机数，采用三局两胜制得到B获胜满足的 12人， 基本事件有：698,959，共2个，用频率估计B获胜的概率 其中8人成绩不高于90分，记为A1,A2,A3,A:,A5 A6,A7,A8 近很为品-品故选C 144 1.B由随可知甲在每个十字路口遇到红灯的极率都是号 复的概率约是0.03，故③正确 3 在每个十宇路口爱有道到红灯的视率都是1一弓=号， 13.20 5 设三个箱子中的球的个数分别为5n,4n,6m,所 以总数为151， .甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路 则第一个箱子中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数 口才通到红灯的机率是号×号×号一京故选B 为3m: 8.D设甲失败的事件为A,乙失败的事件为B,丙失败的 第二个箱子中黑球个数为25%×4n=1,白球个数为3： 事件为C,甲最终获胜事件为N, 第三个箱子中黑球个数为50%×6n=3m,白球个数 则甲最终获胜的概率为P(V)=P(BCBC)+P(BCBAC) 为3m: +P(BCABC) 由古典概型的概率公式知，三个箱子中取到黑球的概率 +P(BCACB)+P(BABCC)+P(BACBC)+P(ACBCB)+ 分别为号日 P(ABCBC) 记“从三个箱子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事 =(2)广+（侵）°+(2)+(2》°+（侵）°+(3)°+ 件A,因为从三个箱子中取球相互独立，所以，P(A) ()+()°-品 号×}×动 故选：D 记“三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一 9.BCD在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率 个白球”为事件B, 会很接近于这个事件发生的概率，A正确：某人打把，射 黑球总共有2n+n十3n=6n个，白球共有9n个， 击10次，击中7次，那么此人中靶的频率为0.7，概率不 所以由古典概型的概率公式从知，P(B)=册哥 能确定，B错误：一位同学做掷硬币试验，掷6次，不一定 故答案为：0.05：0.6. 有3次正面朝上，C错误：买这种彩票，中奖或者不中奖都 14.0.18记事件M为“甲队以4：1获胜”，则甲队共比赛 有可能，但事先无法预料，D错误.故选BCD. 五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场， 10.ACDP(B)=1-P(B)=是，截A正确： .P(M0=0.6×(0.6×0.52×2+0.6×0.4×0.52×2)= 因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(AUB)=P(A)十 0.18 P(B)=是故B错误： 15.【解】 (1)降尘率在10%以下的概率约为10+15= 100 0.25 若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B相互 (2)降尘率达到18%以上分为(18,20)，[20,35]两类. 独立， :第4组为[15,20)，且频数为25，.降尘率在(18,20) 所以P(AB)=P(A)·P(B)=2,故C正确： 内的频率约为20与8×0,25=0,1. 国为P(A)=1-P(A)=号所以P(A)P(B)=吉× ∴.降尘率在18%以上的频率约为0.1十0.2十0.15+ 是-}-PAB) 0.05=0.5.以频率估计概率，∴.该雾地机除尘有效的概 率约为0.5. 所以事件A与事件B相互独立，所以事件A与事件B 16.【解】(1)设甲，乙，丙三人独自答对这道题分别为事件 相互独立，故D正确。 A,B,C,乙答对这道题的概率P(B)=x 故选：ACD. 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A,B,C 11.ABD由题意知，甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁 是相互独立事件。 比赛丙获胜的概率是0,5，甲、丙决赛甲获胜的概牵 由题意，得PA·B)=PAP(B)=(1-子)X1-x)= 是0.3， ∴.甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045. 立解得一号 故选ABD. 、2 3000 1 12.③①”g000+3000=年每天生产的播救器有四 “乙答对这道题的概率P(B)= (2)设“甲，乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事 分之一是影片播放器，故①错误：②在任何一批数量为 件M,丙答对这道题的概率P(C)=y. 100的影片播放器中，恰好有4个是故障的是错误的， 4%是就率意义上的估计值，并不能保证每100个影片 由I.得PB0)=P(BP(C)=号×y= 播放器中都恰有4个是出现故障的，故②错误：③，”音 乐播放器每天的平均故障率为3%，·从某天生产的音 解得=骨 乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 145 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=（1-)×(（1-号)X (1-0.62)×0.62=0.2304. 所以乙晋级复赛的概率为P2=0.3024十0.2304=0.5328， (-)=品 因为P2>P1,所以乙更容易晋级复赛。 事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三 章末综合检测卷 人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， P0=1-品-器 1.D概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之 一，每一次发生都是随机的， 17.【解】(1)设元件4，b,c正常工作分别为事件A,B.C 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生 则A,B,C相互独立且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)= 1次 0.8. 故选：D 故P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.5×0.6X0.8=0.24, 2.BA=A1UA2UA3表示击中1发或2发或3发，即至 P2=P(A·(B+C)=P(A)[1-P(BC)]=0.5X(1 少击中1发 0.4×0.2)=0.46. 故选：B. (2)P(A)=P(B)=P(C)=p, 3.A甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场輸且第 P=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=, 二场赢。甲第一场赢的概率为，甲第一扬输第二场赢的 P2=P(A·(B+C)=P(A)[1-P(C)]=p[1-(1-p)2] =-pm2p,P1-P2=p3-p[1-(1-p)2]=2p3-2p2= 概率为号×(1-2）=子.故甲减得冠军的概率为号+ 2p2(p-1). 0<p<1.P1-P2<0,.P1<P2 }=故选N 18.【解】(1)样本中体质健康等级是合格的学生人数为 4.C3封内容不同的信分别为A,B,C,对应的3个信封分别 5十2十4+4十8十11=34，样本总数为20+20=40， 为a,b,c,全部情况为{A一a,B-b,C-c,{A一a,B-c,C 这名学生体喷能康等复是合格的概率为酷-品 b),(A-6,B-a.C-c),(A-6,B-c.C-a),(A-c,B-6, C-a},{A一c,B一a,C-b},共6种情况，故全部装错的 (2)设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健 情况为{A-b,B-c,C-a},或{A-c,B-a,C-b},共2 康等级是优秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一 51 人，其体质健康等级是优秀”，则P(A)=20: 补，故金部装错的概率为号-司 故选：C PB)=易- 5.A由题意样本空间2=(11,12,13,14,21,22,23,24， 31,32,33,34,41,42,43,44}, :A,B为相互独立事件， A1={21,22,23,24,41,42,43,44,A2=(31,32,33,34, ∴.所求概率为PAB+AB)=P(AB)+P(AB)= A3={14,23,32,41),A4={34.43}, PMI-PrB]Hi-NBD-×号+X品器 对于A:由古共概率概率公式可知P(A)-景-之PCA) 19.【解】(1)对A类的5个问题进行编号：a,b,c,d,e,其 中甲能答对的4个问题的编号为a,b,c,d, 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两 则P(A1A3)=P(A1)P(A),故A1与A3为相互独立 个题的情况为： 事件，正确： ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种， 其中得0分的情况有：ae,be,ce,de4种， 对于CP)-高-P(A)-品-gPA) 所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为品=0,4： 则P(A2A1)≠P(A2)P(A), 故A2与A:不是相互独立事件，错误： (2)甲晋级复赛分两种情况： 对于B:当第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出 甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：(1一 的卡片上的数字为4时， 0.4)×[1-(1-0.4)2]=0.384, 事件A2与A,同时发生，故两个事件不是互斥事件， 甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：0.4×0.4 错误： =0.064, 对于D:因为A3∩A=☑，4gUA≠2，所以A3与A不 所以甲晋级复赛的概率为P1=0.384十0.064=0.448： 是对立事件，错误 乙晋级复赛分两种情况： 故选：A 乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为： 0.62×[1-(1-0.6)2]=0.3024 6.D根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为2 乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为： 假设两人继续进行比赛， 146专题二 事件的相互独立性,频率与概率 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.下列关于互斥事件、对立事件、独立事件(上述事件的概率都大于零)的说法中正确的是 ~ A.互斥事件一定是对立事件 B.对立事件一定是互斥事件 C.互斥事件一定是独立事件 D.独立事件一定是互斥事件 2.某车队派出两辆车参加比赛,假设这辆车在比赛中不出现故障的概率均为,则比赛结束时两 辆车不同时出现故障的概率为 ) B.2/-/} A.2 C1-2} D.-2/2} 3.将一枚质地均匀的般子掷两次,记事件A为“第一次出现奇数点”,B为“第二次出现偶数点” 则有 ) A.A与B相互独立 B.P(AUB)-P(A)+P(B) C.A与B互斥 4.气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%,郊区的降雨概率为70%,”基于这些信息; 关于明天降雨情况的描述最为准确的是 . ) A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B. 明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C. 只有郊区可能出现降雨,而中心城区将不会有降雨 D. 如果明天降雨,郊区的降雨量一定比中心城区多 5.已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9,0.8,且两人罚球是否命中相互独立,若甲、乙 各罚球一次,则至少有一人命中的概率为 - A.0.26 C.0.72 B.0.28 D.0.98 6.A,B两人进行一局围棋比赛,A获胜的概率为0.8.若采用三局两胜制举行一次比赛,现采用 随机模拟的方法估计B获胜的概率,先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机 数,用0,1.2,3.4.5,6,7表示A获胜;8,9表示B获胜,这样能体现A获胜的概率为0.8.因为 2斑 采用三局两胜制,所以每3个随机数为一组,例如,产生30组随机数; 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 2616804 560 111410 959 774246 762 428 3 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计,B获胜的概率为 ) A. C 班 7. 甲骑自行车从A地到B地,途中要经过4个十字路口,已知甲在每个士字路口遇到红灯的概率 都是,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直 到第三个路口才遇到红灯的概率是 ) C. A. B7 D 8.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛 的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场比赛轮空,直至有一人 被淘汰:当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束 __ C 7 97 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.下列说法错误的是 ) A.随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值 B.某人打靴,射击10次,击中7次,那么此人中肥的概率为0.7 C.一位同学做挪硬币试验,掷6次,一定有3次正面朝上 D.某地发行福利彩票,回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报 f 则下列说法正确的是 ) A.P(B)_3 B.若事件A与事件B是互斥事件,则P(AUB)三 C.若事件A与事件B相互独立,则P(AB)= 12 D.若P(AB)-1,则事件A与事件B相互独立 11.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,两组的胜者进入决 赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军,4个人相互比赛的获胜概率如表所示,表中的数字表示 所在行选手击败所在列选手的概率 乙 甲 0.3 0.③ 0.8 一E 0.7 0.6 0.4 0.7 0.4 0.5 0.2 0.60.5 那么不是甲得冠军且丙得亚军的概率的是 ) A.0.15 C.0.045 B.0.105 D.0.21 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.某公司制造两种电子设备:影片播放器和音乐播放器,在每天生产结束后,要对产品进行检 测,出现故障的播放器需要进行修复,下表是各种播放器每天的平均产量以及平均故障率。 每天的平均产量 每天的平均故障率 影片播放器 3000 4/ 音乐播放器 9000 3% 下面有关叙述中 ①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器; ②在任何一批数量为100的影片播放器中,恰好有4个是出现故障的; ③如果从某天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测,则此产品需要进行修复的概率约是0.03 其中正确的是 13.已知有黑、白两种除颜色外完全相同的若于小球,放入三个相同的空箱子中,已知三个箱子中 小球的数量之比为5:4;6,其中黑球占比分别为40%,25%,50%,若从三个箱子中各取一 球,则取得的球均为黑球的概率为 ;若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内,则从中 取得一个白球的概率为 14.甲、乙两队进行箭球比赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根 据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”,设甲队主场取胜的概率为 0.6.客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是 98 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)减轻雾霾的雾炮机的工作原理与建筑工地上用高压水枪除尘的原理相似,某公司为 测试它们的雾炮机的除尘效果,经过100次测试得到了某雾炮机降尘率的频数分布表; 降尘率/% [0.5) [5.10) [10.15) [15,20) [20.25) [25,30) [30,35] 频数 10 15 10 25 20 15 5 (1)估计降尘率在10%以下的概率 (2)若降尘率在18%以上,则认定雾炮机除尘有效,请根据以上数据估计该雾炮机除尘有效的概率 16.(15分)某中学举办了一场关于垃圾分类知识的竞赛,甲、乙、丙三人同时回答一道有关垃圾 分类知识的问题,已知甲答对这道题的概率是3,甲、乙两人都回答错误的概率是 人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立. (1)求乙答对这道题的概率 (2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率 17.(15分)如图,用a,.c三类不同的元件连接成两个系统N.N..当元件a..c都 --回回一 正常工作时,系统N正常工作;当元件。正常工作且元件6,c至少有一个正常 工作时,系统N。正常工作.系统N,N。正常工作的概率分别为P,P。. (1)若元件a,,c正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.8,求P,P。; (2)若元件a,b,c正常工作的概率都是(0< 1),求P,P。,并比较P,P。的大小. 9 18.(17分)某学校为了了解高一新生的体质健康状况,对学生的体质进行了测试.现从男、女生 中各随机抽取20人,把他们的测试数据(满分100分),按照《国家学生体质健康标准》整理成 下表,规定:总分二60,体质健康为合格。 等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90,100] 5 91.3 2 91 良好 [80,89 4 83.9 84.1 70 8 及格 [60,79] 70.2 * 不及格 60以下 19.6 3 4.1 总计 20 20 (1)从样本中随机选取一名学生,求这名学生体质健康等级是合格的概率; (2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人,求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率 19.(17分)为进一步加强高层住宅小区消防安全管理,有效保障高层建筑消防安全及设施完好 有效,督促物业服务单位落实消防安全责任,全面提升小区火灾抗御能力,南京某消防救援大 队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛,规则如下; 在初赛中有两轮答题:第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,若两题都答对,则得20分, 否则得0分;第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答,每答对一题得20分,答错得0 分,若两轮总得分不低于40分,则晋级复赛,甲和乙同时参赛,已知在A类的5个问题中,甲 只能答对4个问题,在B类的4个问题中,甲答对的概率都为0.4;乙答对每个问题的概率都 为0.6.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响. (1)求甲在第一轮比赛中得0分的概率; (2)以晋级复赛的概率大小为依据,甲和乙谁更容易晋级复赛? 100 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 专题二 事件的相互独立性,频率与概率 姓 名 准考证号{ 考生条形码粘贴处 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1.答题前,考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 = 正确填涂 注 贴的条形码; 涂 意 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 出 错误填涂 工整,笔迹清楚; 乙X ■C 项 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效:在草稿纸,试题卷上答题无效。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.[A][B][C][D] 4. [A[B[C[D 7.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 5.[A][B][C[D 8.[A][B][C[D] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 1A. 13. 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 101 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题:本题共5小题,共77分 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 102 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 103 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 104