专题一 基本立体图形、直观图和表面积与体积-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

第八章 立体几何初步 专题一 基本立体图形、直观图和表面积与体积 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 ( 1.图①②中的图形折叠后的图形分别是 ) 甜 B.圆锥、校锥 C.球,校锥 A.圆锥、校柱 D.圆锥、圆杜 2.如图,在长方体ABCDA.B.CD 中,AB=AD=6,AA.一4,则三校锥 D. D.-AB.D的体积为 A.8 B.12 C.24 D.36 3.如图所示,几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体,现用一个 平面截它,所得截面图形不可能是 ( - 。寸 2 B D 4.一水平放置的平面四边形OABC的直观图OAB'C'如图所示,其中 OA'-OC'-1,OC'1x'轴,A'B'1x'轴,BC'/y'轴,则四边形OABC “斑 的面积为 ( ) A. 3/2 22 B.3/2 D C.3 5.已知圆柱的侧面展开图是边长分别为2a,a的矩形,则该圆柱的体积为 ( ) 2 C 班 6.一个无盖的器血是由梭长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底 面圆在正方体的上底面,球心为上底面的中心),则该器I的表面积为 - A.r十45 B.2π十45 C.r十54 D.2n十54 7.如右图所示,边长为a的正方体成周期性排列,在正方体的各个角以及每个面 的中心有原子分布的晶体结构,我们称之为面心立方结构,Ca和A1等部分金 属就属于这种结构,若将原子认为是如此分布的等大实心球,使得最近的两个 原子球恰好相切,那么一个边长为a的面心立方正方体品格内被原子球所占 据的部分的体积是 ( C77 2 41 8.一个五面体ABC一DEF.已知AD/BE/CF,且两两之间距离为1.并已知 AD-1,BE-2,CF-3.则该五面体的体积为 # ) D.331 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 ( 9.关于斜二测画法,下列说法正确的是 _~ A.在原图中平行的直线,在对应的直观图中仍然平行 B.若一个多边形的直观图面积为S,则原图的面积为2/25 C.一个梯形的直观图仍然是梯形 D.在原图中互相垂直的两条直线,在对应的直观图中不再垂直 10.某工厂生产出一种机械零件,如图所示,零件的几何结构为圆台OO。,在 轴截面ABCD中,AB=AD=BC一4cm,CD=2AB,则下列说法正确 的有 ( ) A.该圆台的高为/3cm B.该圆台轴截面面积为24cm C.该圆台轴截面面积为12/3cm D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为10cm 11.如图,正八面体E一ABCD一F的每一个面都是正三角形,并且四边形 ABCD,四边形BEDF,四边形AECF都是正方形,若正方形ABCD的边 长为2cm,则 ( A.正八面体E一ABCD-F的表面积为83cm2 3cm C.正八面体E一ABCD一F的外接球的表面积为8πcm{ 过27# cr} 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.一个长方体的三个面的面积分别是/②,③,/6,则这个长方体的体积为 13.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列.第一个圆柱的直径为65mm,第二、三个圆柱 的直径为325mm,第三个圆柱的高为230mm,求前两个圆柱的高度分别为 14.已知三梳锥A一BCD的三条侧梭AB,AC,AD两两互相垂直,且该三梭锥外接球的表面积为 25,且AB-、/3,AD-/6,则三校锥A一BCD的体积为 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图所示(单位;cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分 _i~2→D 绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积 2 16.(15分)一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在其内部有一个高为xcm 的内接圆柱(圆柱的高与圆锥的高在一条直线上) (1)求圆锥的侧面积 (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值 17.(15分)如图,甲、乙是边长为4a的正方形铁皮,现将甲裁剪煌接成 一个正四梭柱,将乙裁剪煌接成一个正四校锥,使它们的表面积都等 于原正方形的面积(不计煌接缝的面积) (1)将你的裁剪方法用虚线标示在甲,乙两个正方形中,并作简要 乙 说明; (2)试比较你制作的两个几何体体积的大小,并说明你的理由. 18.(17分)现需要设计一个仓库,由上、下两部分组成,上半部分是正四梳锥 PA.B.C.D,下半部分是正四校柱ABCDA.B.CD,并要求正四校柱的 高OO是正四梭锥的高PO.的4倍,如图所示 (1)若AB-6m,PO=2m,求仓库的体积; (2)若正四梭锥的侧梭长为6m,则当PO.为多长时,下半部分的正四校 柱的侧面积最大?并求出最大侧面积 0 19.(17分)据报道,2024年4月15日,正值全民 国家安全教育日,田湾核电8号机组弯顶球 冠吊装成功(如图(1)),标志着国内最重核电 机组薄壳钢衬里弯顶吊装工作安全完成,有 力推动了我国产业结构和能源结构的调整 助力“双碳”目标顺利实现,报道中提到的球 冠是一个空间几何概念,它是指球面被一个 () 平面所截得的一部分(不包含截面),垂直于 截面的直径被截得的部分是球冠的高,球冠 面积等于截得它的球面上大圆(过球心的截 P4s 面圆)周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应 ov 的几何体叫球缺,它是指球体被一个平面所 截得的一部分,截面是球缺的底,当球缺的高 0 “球锥” 小于球半径时,我们把球缺与以球缺的底为 (2) (3) 底、以球心为顶点的圆锥所构成的体,称作 “球锥”(如图(2))当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时,称这个四面体内接此“球锥”.如 图(2),设一个“球锥”所在球的半径为R,其中球冠高为h(h<R) (1)类比球体积公式的推导过程(可参考图(3)).写出“球锥”的体积公式 (3)已知一个校长为a的正四面体内接此“球锥”,并且有一个顶点与球心重合,若满足条件的 a有且只有一个,求的取值范围. , 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第八章 立体几何初步 专题一 基本立体图形、直观图和表面积与体程 姓名 准考证号 考生条形码粘贴处 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 正确填涂 注 贴的条形码; ■ 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 错误填涂 工整,笔迹清楚: 区· ■。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1.[A][B][C][D 4.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D 5.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 6. [A][B][C][D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 14. 13. 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 45 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题:本题共5小题,共77分 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 46 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 47 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 4815.【解】 若选择①. 化简可得2a+b-6,即2a+b为定值 因为z-(m}-3m+2)+(m-5n+6)i (2)若 -2<a,则 (-2)②}+<; 所以z=(m-3m+2)-(m-5m+6)i 'ao,且(a-2)?+(6-2a)?<a, 又+x-4,所以2(m②-3n+2)-4. 化简可得(a-2)(a-5)<0,解得2<a 5. 即m^{-3m-0,解得m-0或m-3; '|l-a2+-a+(6-2a)2-5^{-24a+36 若选择②, ###(_)## m?-3m+2-0 ,解得m-1: 因为:为纯虚数,所以 当E(2,5)时,5(-2)第}3[3-.41), 1n?-5m+6-0 若选择③, 因为;为实数,所以m②}-5m+6-0,解得m-2或m -3. 19.【解】 2h#十isin (1)由题意可得。”一1的解为。一cos 16.【解】 (1)设z三a十bi(a:bEB),则x三a-bi: 2kn(k-0.1,2). 由(1-3i)=(a+bi)(1-3i)=(a+3b)+(b-3a)i 3 为纯虚数, 得a+36-0①,且b-3a≠0. 由-:--2bi--2i,得-2--2②. 由①②解得a--3,b-1,验证知b-3a-10:0,满足 次方均不等于1. 题意. #+1## 所以。--3十i,--3-i. 故复数。的3次本原单位根为一 (2)由(1)可知,-+m-}m-3+2(m-3+2)·ì (2)证明:①因为是复数:的8次本原单位根,所以 +3 (一)·i 1(n8)-1. -2十(m-3)i. 因为-()}-1,所以--1, 由z-2v②,得(-2)+(m-3)②-2v, 所以+-(1+{)-0,+-(1+{)- 整理,得n2-6m+5-0. +-(1+{)-0. 解得n-1或m-5. 则1+a++..+-0. 故实数m的值为1或5. ②因为a.是复数。的n次本原单位根, 17.【解】 x=m-i?+(m-3)i=m+1+(m-3)i 所以1(m n),-1. (n+1>0 设$-1++++.+1. (1)$一在复平面内对应的点在第四象限,. l-3<0' 则S-+++.+I+ 解得-1<m<3. 因为a-1,所以S=++++.+1. 即M- m-1 m 3. 所以S-S. (2):(-1)-|<-1- 所以(-1)S-0. 因为≠1(m n),所以≠1,即-10 .(x-1)#-1#< 则S=0,即1++++.+1-0. ·(-D)+i<②.'(-1)+<(②) 第八章 立体几何初步 化简得x-2x<0,解得0<x<2. 即N-(xl0r<2). 专题一 基本立体图形、直观图和表面积与体积 .fnN-(xlx<0或x2. 1.B 图①的底面为圆,侧面为扇形,所以①折叠后的图形 故MU(CN)-R. 是圆锥; 18.【解】 图②的底面为三角形,侧面均为三角形,所以②折叠后的 成立, 图形是枝锥。 故选:B. ta-2 '.ta-tbi-2+(4-3ar②)i,且t0. 1-/b-4-3at? 1×6×4×6-24.故选C. d 125 3.D 当截面过球心,且截面不平行于任何侧面,且不过体 因为AD/BE/CF,且两两之间距离为1.AD-1.BE 对角线时,截面图形是A; 2.CF-3. 当截面过正方体的两条相交的体对角线时,截面图形 则形成的新组合体为一个三校柱, 是B; 该三校柱的直截面(与侧梭垂直的截面)为边长为1的等 当截面过球心,且平行于正方体的一个侧面时,截面图形 边三角形,侧校长为1+3-2+2-3+1-4; 是C; VAnc-DEr- VAncC-一 过球心的截面不能为D. 故选:D. 故选:C. 4.B 设y'轴与A'B'交点为D,因OC'1r'轴,A'B'x H 轴,则QC'/A'B' _... B 9.ABC 对于A,在原图中平行的直线,在对应的直观图中 仍然平行,A正确; 又BC'/y轴,则四边形ODB'C'为平行四边形,故DB -OC'-1. 对于B,若一个多边形的直观图面积为S,则原图的面积 为2②S,B正确; 又 :'Oy'-45*,结合A'B'1:'轴,则DA'-OA'=1 故A'B'-2. 对于C,梯形平行的两边在直观图仍然平行,两腰不平行, 在直观图仍然不平行, 因此一个梯形的直观图仍然是梯形,C正确; 对于D,在原图中互相垂直的两条直线,在对应的直观图 中可以垂直, 则四边形OABC的面积为3② 如正方体ABCD一A.B.C.D. 的直观图中,竖边DD.与 故选:B. 横边CD垂直,D错误. 5.A 设圆柱的母线长为/,底面半径为r,则当/一2a时, 故选:ABC. D. 2nr-a,得,- 时,2rr-2a,得,--,此时Vm#-a·”(-){②} A B. 6.C 。 4×n×1{一54+π.故选C 2 7.B -2(cm). 则BE=OO-4-2-2③(cm),则圆台的高为23cm. 故A错误; 故B错误,C正确: 个球, 所以一个边长为a的面心立方正方体品格内被原子球所 。 图① 故选:B. 图② 8.C 用一个完全相同的五面体HI/一LMN(项点与五面 将圆台的一半侧面展开,如图②,设P为AD的中点,由 体ABC一DEF一一对应)与该五面体相嵌,使得D,N 园台补成圆锥,圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇 E.M;F,1.重合. 形COD. 126 可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm,圆锥侧 故h:=23mm,h-115 mm. 2 故答案为:2 115 mm,23 mm. 连接CP,可得 COP=90{,0C=8cm.OP=4+2-6(cm). 则CP-6+8{-10(cm). 14.2\2 因为三校锥A一BCD的三条侧校AB,AC,AD两 所以沿着该圈台表面从点C到AD中点的最短距离为 两互相垂直, 10cm,故D正确. 所以将三校锥补成如图所示的长方体,则长方体的体对 故选:CD 角线等于三极锥外接球的直径, 11.ACD 对于选项A:由题意可知:正八面体的每一个面 因为三校锥外接球的表面积为25π 都是边长为2cm的正三角形, #x2x2 所以其表面积为8X -8③(cm),故A正确; 所以AB+AD2+AC=(2R)2-25,3+6+AC*= (2R)2-25,得AC-4. 对于选项B:设ACOBD一O.则O为EF的中点,且EF 所以VA-Bcp-Vp-ABc- 1$△An·AD-# 1平面ABCD. X4×-2② 故答案为:2/② 一.-__ 可知AO-/②,可得EO-AF-AO-/②. B 3 15.【解】 1$-×4rx22-8x(cm^②), B错误; 对于选项C:由选项B可知:AO-BO-CO-DO-FO S台=x(2+5)×(5-2)+4{-35π(cm). FO-/2. S台下遍-xX52-25π(cm*). 即O为正八面体的外接球的球心,且半径R一/② 即该几何体的表面积为8π十35π十25π-68π(cm{}). 所以正八面体的外接球的的表面积为4rR{}一8x(cm^{}). 16.【解】 (1)圆锥的母线长为/6^{}十2{一2/10(cm); 故C正确: *.圆锥的侧面积S.=π×2×2v10-4V10x(cm②}). 对于选项D:根据对称性可知:O为正八面体的内切球的 (2)该几何体的轴截面如图所示. 球心, 设柱的底面半径为rcm;由题意: 则内切球的半径即为点O到平面EAB的距离,设为r, 2 __ .一 ###×,解得,# 2.(-2+6x) '.园柱的侧面积S-2xr.x= 3 27(cm^). 3)2-9. .当x一3时,圆柱的侧面积取得最大值,且最大值为 故D正确. 6nr cm2. 故选:ACD. 17.【解】 (1)裁剪方法如图所示,将正方形甲按图甲中虚 12.6 设长方体某个项点处三条校的长分别为a,b,c,不 线剪开,以两个正方形为底面,四个小长方形为侧面,熠 妨令 接成一个底面边长为2a,高为“的正四校柱. [a-② ac-③,三式相乘可得(abc)2-6..,长方体的体积V= .bc-6 abc-6. →a -2a 甲 13.15 215mm,23mm 设第一个圆柱的高为力,第二个圆柱 将正方形乙按图乙中虚线剪开,以两个长方形煜接成的 (32)(32)}230 边长为2a的正方形为底面,三个等腰三角形为侧面,两 的高为h,则一 {(2) 个直角三角形合拼成一个侧面,熠接成一个底面边长为 20,侧面三角形高为3o的正四梭锥。 127 (2)由正方形甲栽剪熠接的正四校柱的体积V,一(2a)? aR不满足条件. .a-4a3. 注意到,当顶点A,B,C在圆锥底面圆周上时, 由正方形乙裁剪煜接的正四梭锥的高h一 (3a)^{}-^{②} -2/2a. 3 2 P一ABC,所得校长小于R的正四面体均可内接该“球 因为4-(82)-16-1281,即48、. 锥”。 因此,若要存在橡长唯一的正四面体内接该“球锥”,则 故制作的正四校柱的体积比正四校锥的体积大。 18.【解】 (1)PO-2m.则00-8m. VP-ABCD-3SA B.C D·PO= ###1.# 又因为h~R,所以1- VABCD-A.B.C. D =SABCD·OO.=62X8=288(m③}). 故仓库的体积V=Vp-A.B.CD+VAcD-ABCD=312(m}). 专题二 空间点、直线、平面之间的位 (2)设PO.=x(0 x<6),下半部分的正四梭柱的侧面 积为S(x),则OO-4.x. 置关系和直线与平面的平行与垂直 连接AO,则A O-V36-},AB-36-, 1.D 对于选项A:当直尺所在直线在地面内时,直尺所在 *.$(x)-4AB·O0-16 ②x.36- 直线与地面上所有直线都是共面的, 16②r(36-r^2)(0 r). 所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面,选项A 设f(x)-r”?(36-r)--+36r?--(r2-18) ?+ 错误: 324(0<x<6),当x2-18,即x=3v2时,f(x)x-324 对于选项B:当直尺所在直线与地面平行时,直尺所在直 .S(x)-288v2. 线与地面是没有公共点的 .当PO.一3v②m时,下半部分的正四校柱的例面积最 所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交,选项B 错误: 大,最大侧面积是288/2m 对于选项C:当直尺所在直线与地面只有一个公共点时, 19.【解】 (1)把“球锥”切割成无数个小锥体,由题意得球 若地面上能找出一条直线与此直线平行, 冠面积为S一2rRh,所有小锥体的底面积之和即球冠面 则直尺所在直线与地面是平行的,线面平行时,直尺所在 积,结合锥体体积公式得“球锥”的体积为V政热一 直线与地面是没有公共点的,与条件矛盾,选项C错误; 对于选项D:直线与地面共有三种位置关系; 2nRh·R- 1.直线在地面内,可以找到一条直线与已知直线垂直 (2)设圆锥半径为r,则,^*-R-(R-h)?-2Rh-h}, 2.直线与地面有一共公共点,即相交时,可以找到一条直 当球缺的体积与园锥的体积相等时,V-球锥”一2·V圆, 线与已知直线垂直: 3.直线与地面平行时,可以找到一条直线与已知直线异 面垂直,所以选项D正确. ##去#2”,得-^{}h-# 故选:D. 2.A 如图,三校锥A一BCD中六条校所在直线成异面直 2 线的有AB与CD,AC与BD,AD与BC,共3对.故选A. P-h 3.B 显然,在荡秋千的过程中,秋千绳与墙面始终平行,但 与道路所成的角在变化,秋千板与墙面垂直,故也与道路 (3)设正四面体P一ABC内接“球锥”,顶点P与球心重 始终垂直. 合,校长为a. 故选:B. 4.D 由线面垂直的性质知A,B,C中推断正确,由线面平 行的性质知D中推断不正确,故选D. 128