章末综合检测卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

章末综合检测卷 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ( 1.下列不能化简为PQ的是 ) A.QC-QP+C B.AB+(PA+BQ) C.(AB+PC)+(BA-QC) D.PA+AB-BQ 2.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若bl(b-4a),则x ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 盘 3.已知AB-(一2,1),则下面说法正确的是 ( 。 A.A点的坐标是(-2,1) B.当A是原点时,B点的坐标是(-2,1) C.当B是原点时,A点的坐标是(一2,1) D.B点的坐标是(-2,1) _ C./2 A.1 B.2 D.3 拾 5.若a:B是一个基底,向量?=x十(x,vR),则称(x,y)为向量?在基底a,B下的坐标 已知向量a在基底p=(1,-1),9=(2,1))下的坐标为(-2,2),则a在另一个基底m=(-1; 1),n-(1,2)下的坐标为 ) B.(-2,0) C.(0,-2) A.(2,0) D.(0.2) 6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且acosB十(2c一b)cosA=c,则△ABC的形状 为 ) , A.等腰三角形 B.直角三角形 “斑 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 a十b十c {sinA+sinB十sinC ( ) C# B} D# A.2 8.如图,在\ABC中,BAC一60{}, BAC的平分线交BC于点D.若 班 ) A.33 B.43 C.53 D.63 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知向量a-(,snx十gosx)和向量b=(1,/(z),且a/b,则下列描述正确的是 ) A.f(x)的最小正周期是n B. f(x)的最小正周期为2π C. /(x)的最大值为2 D.f(x)的最大值为/② 25 10.定义两个平面向量的一种新运算;ab一alblsina,b,其中(a,b表示a,b的夹角,则对于 . 两个非零向量a,b,下列结论一定成立的是 ) A.a⑧b-b⑧a B.(ab)②十(a·b)?一|al*bl2 C.(ab)-(a)h D.若a⑧b-0,则a与b平行 11.如图,甲船从A.出发以每小时25海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向 匀速直线航行.当甲船出发时,乙船位于甲船的南偏西75方向的B 处,此时两 船相距5/2海里,当甲船航行12分钟到达A。处时,乙船航行到甲船的南偏西 60*方向的B.处,此时两船相距5海里,下面结论正确的是 ) _四 A.乙船的行驶速度与甲船相同 B.乙船的行驶速度是15/②海里/时 & D.甲、乙两船不可能相遇 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c=/6十②,且A-75*,则b=。 13.在等腰梯形ABCD中,AB/CD,AB=2CD=6, ABC=60{*},P为BC的中点,点Q是边AE$ 上一个动点,则PQ·(PA十PD)的最小值为. 14.正方形ABCD中校长为4,E为BC的中点,F为线段CD边上一点(不包括C,D),若 AC-AE士uAF,则a士u的取值范围为 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知向量a与b满足a一2,b-1,a与b的夹角为120* (1)当为何值时,(3a十2b)1(a-b); (2)求向量a十3b与向量a的夹角的余弦值 16.(15分)如图,在△ABC中,点Q是BC的中点,AP-tAQ(0<t<1),过 点P的直线分别交边AB,AC于M,N(不同于B.C)两点:且AM aAB,AN-AC. (1求乙A; (2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求八ABC的面积 注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分 18.(17分)已知向量a-(sinx,3),b-(cosx,-1). (1)当a/b时,求cosx-sin2x的值; (2)设函数f(x)=2(a十b)·b,已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=、③ 19.(17分)如图,半圆Q的直径为2,A为直径延长线上的一点,QA一2,B为半 圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC. (1)点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大? (2)点B在什么位置时,线段OC的长度最大 2 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 章末综合检测卷 姓 名 准考证号□ 考生条形码粘贴处 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 填 正确填涂 注 贴的条形码; 密壮 意 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 错误填涂 事 工整,笔迹清楚; 写 X· ■□C 项 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D 5. [A][B][C][D 8.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 14. 13. 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 29 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题:本题共5小题,共77分 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 30 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 2 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 32得AD=5. (2)由题意，知OA=(1,cosx),OB=(1+cosx,cosx) 方法二BD=3D心， 之-oi+号0i-(1+号as,os小A店-0i 丽=C+。 OA=(cos .0). Ai:=是AC+GA+是AC.A店=号×25+ 画数)=0i.0元-(2m+号）)A店=1+号osx+ ×49+×5X7∠BAC-+号+×5X7X cosr-(2m+)cosx=(cosm)+1 号-25 令1=ose[0]e[ol. ∴AD=5,即AD=5. 令h(t)=(t-m)2+1-m2,t∈[0,1]. 18.【解】(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2 abeos C,对比已 当m<0时，h(1)的最小值为h(0)=1,即g(m)=1: 知a2+b-c2=√2ab, 当0≤m≤1时，h(t)的最小值为h(m)=1一m2, 可得cosC=2+-c2-2ab_2 即g(m)=1一m2: 2ab 2ab 2' 当m>1时，h(t)的最小值为h(1)=2-2m, 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, 即g(m)=2-2m. 1,m<0 从而s血C=1oC--(-号. 综上所述，g(m)= 1一m2,0≤m≤1，可得函数g(m)的 2-2m,m>1 又因为sinC-2cosB,即cosB=2 1 最大值为1. 注意到BE(0,π)， 章末综合检测卷 所以B= 1.D对于A,QC-Q+C=P元+C=P反，故A不符合 (2由1)可释B=号csC-号Ce(0x),从而C= 题意： 对于B,AB+(Pi+BO)=PA+AB+B戒=PB+B戒 PQ,故B不符合题意： 而mA=如登=m(停+君）-竖×+号× 对于C,(AB+P心)+(BA-QC)=AB+BA+P元+C =6+2 =PQ,故C不符合题意： 4 对于D,PA+AB-B戒-PB-BQ≠PQ,故D符合题意. 由正孩定理有 故选：D 5π 2.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0, 所以b2-4a·b=0即4十x2-4x=0,故xr=2. 从6a=2.=6得返 4 2 2c, 故选：D 由三角形面积公式可知， 3.B设A(x1y1),B(x2y2),由AB=(-2,1)可 x2一x1=-2 2 8 y2-y1=1 由已如△ABC的面报为3+，可得3，：=3+尽。 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A 和点B的坐标，故AD错误： 所以c=22. /xg=-2 19.【解】()由题意知A,B,C三点满足0心=}Oi+ 当1=0，y1=0,则 2=1·即B点的坐标为 (-2,1),B正确： 号0诚， x1=-2r1=2 当x2=0,y2=0, 一为=1，即 y1=-1 即A点的坐 可得-Oi=号O成-Oi.0-号店=号(C+ 标是(2，一1)，C错误. ,脚含Ac-号C成 故选：B lAC 4B周为6=2E.A=登C-吾 即AC=2CB,则1AC1=21CB1, =2. ICBl 所以B=一A-C=平 120 由正独定理品后丽C可得2 =￡，解得c=2. 11.AD如图，连接A1B2. 2 2 故选：B 5.D:a在基底{p,g}下的坐标为(-2,2).∴.a=-2p十 -x+y=2 解得r=0 B 2g=(2,4).令a=xm十n,则 x+2y=41 y=21 故a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).故选D. B 6.D由acos B十(2c-b)cosA=c及正弦定理，得 sin Acos B+(2sin C-sin B)cos A=sin C. 依题意，A1A2-25×2-5(海里)，而BA2=5海里， 60 所以sin Acos B+2 sin Ccos A-sin Bcos A ∠A1A2B2=60°， =sin [x-(A+B)]=sin (A+B), 则△A1A2B2是正三角形，所以∠A2A1B2=60°，A1B2= 所以sin Acos B+2 sin Ceos A-sin Beos A 5海里. =sin Acos B+cos Asin B, 在△A1B1B2中，∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°， Ep2sin Ccos A-sin Bcos A=cos Asin B. 即(sinC-sinB)cosA=0,解得sinC=sinB或cosA=0, A1B1=5√2海里， 当sinC=sinB时，又0<B<r,0<C<x, 由余孩定理得BB=√/A所+A-2AB·ABc0s45 所以C=B或C+B=x(舍)，所以△ABC为等腰三角形； /(62)+52-2X52×5× 2 =5(海里)， 当c0sA=0时，又0<A<,所以A=受 则有A1B路十B1B3=A1B明，所以∠A1B2B1=90°，所以 所以△ABC为直角三角形. ∠A1B1B2=45°， 综上所迷，△ABC为等腰或直角三角形. 故选：D. 所以乙船的行驶速度是=25（海里/时），故Λ正确.B 60 7.A由c0sA=号 ，得sinA- 号由正孩定理，可知品B 不正确： a+b+c 延长B1B2与A1A2交于点O.显然有∠A1B2B1=90, sin C-sin A s=2CnA+sinB+mC二2故 即A1B2⊥OB1, 易得OA1=10海里，OB2=53海里， 选A. OB1=5(3+1)海里， &A:BDC三点共线心号十A=1,解得=子知图。 过点D分别作AC,AB的平行线，分别交AB,AC于点 甲指从出发到点0用时-号号（小时 MN,则AN=AC,Ai=是A,易得AN=AM=3,则 乙船从出发到点0用时2=55+D_+(小时)， 25 AD=33.故选A. 11<2,即甲船先到达点O,所以甲、乙两船不可能相逼， C不正确，D正确. D 故选：AD. 12.2sinA=in75°=sin(30°+45)=6+巨.由a=6,知 4 6+② 9BC由a/b,得fr)-之s cosx,则f(r)= C=7石，B=30,由正孩定理，得品B品入8十是 4 sin +cos r-2sin(+). =4,.b=4sinB=2. r)的最小正周期T=2年=2x,当sim(r+号）=1时， 13.-22以A为坐标原点，建主平面直角坐标系， 1 4 f(x)mx=2.故选BC 10.ABDA显然成立：B选项中，(a☒b)2十(a·b)2= lal2b12sin2(a,b)+la12 1612cos2 (a,b)=lal2b12. B成立；C选项中，A(a☒b)=A|a|bsin(a,b),(a)⑧b= a|b·sin(a,b),显然当<0时不成立：D选项中， 由a⑧b=0,得sin(a,b)=0,即(a,b)=0°或180°，即两向 量平行，故D成立.故选ABD. 则A0.0.B(6.0.C(号3)D(,3）. 121 p23） ..cos 0=T (a+3b)·a=1=7 a+3b·a-J7×214 设Q(a,0),a∈[0,6]， 16.【解】(1)因为点Q是BC的中点，所以AQ是BC的中 可得Pi=(-头-3)，P币-(-只3)，成 线，所以A0=(B+AC)=号A+2AC, (a-头.-3y）. 当1=号时，A护=专A0=名AB计名AC: 则PA+PD=(-9,0), (2)证明：由1)知A0=号Ai+A心 可得P西.(Pi+P市)=-9(。-)≥-2平 所以A市=1A后=专A+花 当且仅当a=6时，等号成立， 因为M,P、N三点共线，所以M币=xM(0<x<1) 所以P成.(P+P市)的最小值为-架 所以AP=AM+MP=AM+xMN=AM+x(AN-AM 故答案为：一平 (1-)AM+AN. 由已知AM=AAB,AN=uAC, 14.(1受) 如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐 所以AP=(1-x)AM+xAN=A(1-x)AB+rAC, 标系， 所以A店+AC=(a-X)AB+rAC, Ax=A- D 因为AB,AC不共线，所以 H= 消去x整理可得货+十只-2， 所以+为定值 则A(0,0),E(4,2),C(4,4),设F(a,4),a∈(0,4)， 可得AC=(4,4),AE=(4.2),AF=(a,4), 17.【解】（D由题意得2 in Beos B-马bosB. 若AC=AAE+红AF=(4钱+a,2+4), 则casB≠0.则2sinB=兮b,刚元三2、 mB店siA 4A十aμ=4 8-a 解得 2A+4=4 4 8-a sinA,解得sinA= 2 可得-8+。28 4 因为A为纯角，则A= 3 因为a∈(0,4).则8-a∈(4,8)，可得A+a=2-8-a (2选择06-7.则smB--×1-号 21 ∈(，)， 国为A=子则B为锐角，则B=号 所以+的取值范国为(1，) 此时A十B=π，不合题意，舍弃： 故答案为：(1，号) 选择⊙c0sB-品因为B为三角形内角， 15.【解】(1)：(3a+2b)⊥(a-b),a·b=2×1× 141 (（)=-1 .(3a+2b)·(a-b)=0,.3ka2+(2k-3)a·b 则代入2如B=马得2×源-停解得b=3 2b2=0. 血C-n(A+B)=m(答+B) 12k-(2k-3)-2=0,解得k=-0: =n字osB叶as管nB 当k=-0时，(3a+2b)1(a-b): -9×费+()×0- (2)(a+3b)·a=a2+3a·b=4-3=1, a+3b=√a2+9b+6a·b=√4+9-6=√7， 别5ac=7 in C-2×7X3x5语_15,5 14 122 选择@csmA=号尽，则有cX-,解得c=5, 2 2 。一号-受即a=看∠A0B=警四边彩OACB的面 6 影由正孩定理得品AC即后品。 积最大 3 sin C' (2)△AOB中，由正孩定理得：sin∠OAB sin a 1 AB 2 解得sinC-5 14 所以sin∠OAB= sin a √5-4cosa 因为C为三角形内角，则c0sC--(限-是 ,OA>OB,∴.∠OAB不是△AOB中的最大角， ∠0AB∈(0,2) 则sB=sin(A+C)=n(5+C) ∴.cos∠OAB=√J1-sin∠OAB- 2-cos a =sin经cosC+cossin C 5-4cos a -9×背+(）×-源 △0AC中：s∠0AC=m(∠0AB+5）=2s∠0AB 则5a=号0 arsinB=号×7x5x25-155 号s<0AB 14 4 _2-cos a-3sin a 18.【解】(1)a∥b, 2√5-4cosa ∴osx十snr=0, 由余弦定理得： tan r=-3 OC2=OA2+AC2-20A·AC·cos∠OAC=5+23sina 4 -2cos a '.cosr-sin 2r-cosr 2sin rcos t1-2tan r8 sin2r+cos2r tan2r+1 5' =5+4sin(a-晋）"a∈(0，x),a-g∈(-吾， 2f)=2a+bb=2(smmsr+osex+） 剖 -sin 2r+cos 2r+sin(+ ia一吾-受即a=警时，所以当∠A0B-经，0C有我 2 3 由正独定理品不名B泽血A=号 大值. A=晋我 第七章复数 b>a心A=至 章末综合检测卷 f)+4os(2A+g）-2sn(2r+)+号 1.A当a=1时，复数(a一1)(a十2)十i=i,为纯虚数： 当复数(a-1)(a+2)十i为纯虚数时，有(a-1)(a十2)= 4oms(受+晋）-Esin(2r+）-2 0,得a=1或a=-2. re[o]2r+∈[贤] 所以“a=1”是“复数(a一1)(a+2)十i为纯虚数”的充分 不必要条件 p号-1≤x)+4eos(2A+若）<E-2 故选：A 2 六所求的取值范国是[-1区-] 20周为高中-1计日=1+所以=1+片 =1-i. 19.【解】(1)设∠AOB=a,△AOB中， 故选：C 由余弦定理得：AB=1+4-2X1×2×cosa=5-4cosa: 3.A因为m十(m2一9)i<0,所以m十(m2-9)i为实数， a∈(0，π) m<0, 四边形OACB的面积S=S2m十5ae=号×1X2X 且 解得n=一3. m2-9=0, sin a+3(5-4cos a) 故0士3i=二3+3i=1中i- 4 3+3i3+3i-1+i =如a-5cose+55-2an(。-5）+5 故选：A. 4 4.B由题意得&=c0s3+isin3,又交<3<， aeo.mia-晋∈(-音) 所以c0s3<0,sin3>0, 123