专题二 平面向量基本定理及坐标表示-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

专题二平面向量基本定理及坐标表示 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知点A(3,7),B(5,2),把向量AB按向量a=(1,2)平移后，所得向量AB的坐标是() A.(-1,7） B.(1,-7) C.(2,-5) D.(3,-3) 2.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量OA与 OC的夹角为 ( 都」 A君 B开 c晋 D. 3.已知向量a=(一1,1)，b=(1,1).若(a十b)⊥(a十b),则 A.A+=1 B.A十4=-1 C.y=1 D.A=-1 4.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上 作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在 的 对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF-xAB D30 十yAD,则x一y= A-吉 C.1-3 D.3-1 製 6.已知向量a=(sin,),b=(-3,cosx）,当alb时，3n2C0s sinx十cosx的值为 A-号 B-星 c-号 D号 6.如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，且点P的坐标为(0，√3)，PA ·(PB+PC)=一6，则△ABC的边长为 A.8 B.6 C.4 D.2 御 7.已知平面直角坐标系中，P(3,1),P,(-1,3),O为坐标原点，向量OP与向量a=(1,一1)共 线，若OP=λOP,+(1一λ)OP2,则入的值等于 () A.-3 B.3 C.1 D.-1 8.在四边形ABCD中，已知A(1,D,B(号0小，C2,3),D(-号，2，则该四边形的面积为（） A.5 B.25 C.5 D.10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A.a=(-2,3),b=(2,3) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(2,4) D.a=(-3,2),b=(3,-2) 10.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=入AM十BD,则 (）” AA+n=号 B.=4 C.:=4λ D.A-4=-1 11.对于n个向量a1,a2,a,…,a,若存在n个不全为0的实数k,k,k,…,k。,使得ka1十ka2十 ka3十…十k,a。=0成立，则称向量a1,a2,a,…,a。是线性相关的.按此规定，若使向量a1= (1,0),a2=(1,一1)，a2=(2,2)线性相关的实数为k,k,k,则k,k,k的取值可以是() A.k1=一4k=2k=1 B.k1=4k2=一2k=-1 C6,=-2点=1点=号 D.k1=一2k2=1k=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(一1,2)，B(1,1),C(一3,1).则AB的中点坐标为 :当实数m= 时，(mOC+OB)∥AB 13.若点P(x1y1),P2(x2,2),A为实数，且A≠一1，P1P=入PP2,则点P的坐标为 ,我 们称入为点P分有向线段P,P,所成的比 14.已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到向量AP= (xcos0一ysin0,xsin0+ycos0),叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到点P.已知 平面内点A1,3),点B(1十2.3-22)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,若 点O为坐标原点，则OP= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知向量a=(-1,3),b=(1,n),m=(2,4),且a∥b. (1)求n的值： (2)求m在b上的投影向量（结果用坐标表示）. 10 16.(15分)已知ee是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e,十e2,BE=一e十e2,EC=-2e,+ e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数入的值： (2)若e1=(2,1),e2=(2,一2)，求BC的坐标； (3)已知D(3,5),在(2)的条件下，若A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标 17.(15分)设e,e2是不共线的非零向量，且a=e1十2e2,b=e1一e, (1)证明：{a,b}可以作为一个基底： (2)若向量c=e1十3e2,试用基底{a,b}表示c. -11 18.17分)已知点O(0,0)及平面向量0A=(1,-1),0B=(-2,3),0P=m0A+AB. (1)当点P在x轴上时，求实数m的值： (2)当(OA一2OB)⊥(kOA+OB)时，求实数k的值. 19.(17分)如图，在△ABC中，D,F分别为BC,AC的中点，P为AD与BF的交点，点E在AB 上，且AE=2EB.设AP=AAD (1)求A的值： (2)若AB=3,AC=4,∠BAC=3,求BP.DE的值. 12 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 专题二平面向量基本定理及坐标表示 姓名 准考证号 考生条形码粘贴处 考生禁填：缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘 填 正确填涂 注 贴的条形码： 涂 ■ 意 2.选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体 样 错误填涂 事 工整，笔迹清楚： 刀☒】 例 口一 项3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D 7.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][DJ 5.[A][B][C][D] 8.[A][BJ[C][D] 3.[A][B][C][D 6.[A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.[A][B)[C][D] 10.[A][B[C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 14. 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -14- ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -15- ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -16-18.【解】 (1)设向量AB+2AC与向量2AB十AC的夹角为 从A ANC-.An-2oN. △AHCO△MON, 9.ABl-ACl-a. :ABLAC:AB·AC-0, 而ON-(oB+OC),AH-OB+0C. '(AB+2AC)·(2AB+AC)=2AB*+5AB·AC+ 同理,BH-OA+OC.CH-OA+OB 2AC2-4a2, 因 O-OA+AH-OB+B-O+ AB+2AC|-(AB+2AC)2 所以3OH=(OA+A)+(OB+B)+(OC+C -AB2+4AB·AC+4AC2=5a, -(OA+OB+OC)十(AH+BH+CH) 同理可得l2AB+ACl-5a, -3(OA+OB+) 所以OH-OA+OB+O '.cos一 |AB+2AC|l2AB+AC| 。 (2):AB1ACAB-ACl-..AM|-1. 设 OAl=x(0<x<1),则lOMl-1-,而OB+- 2OM. :·B+o-o(o+-2·OM -2 Al·1OMl·cos n=-2x(1-)-2x-2x= 专题二 平面向量基本定理及坐标表示 #(#)## 1.C 根据题意可知,AB一(2,一5),把向量AB按向量a= 当x-时,OA·0B+OC·0A取得最小值-1 (1,2)平移后,与原向量相等,所得向量AB仍然 为(2,-5). 19.【证明】(1):G为△ABC的重心,..连接CG并延长 故选:C. 交AB于M, 2.B 因为四边形OABC是平行四边形,所以OA-CB, 则M为AB中点,且GC--2GM. 即(4-0,2-0)-(a-2,8-a),所以a-6. 设OA与OC的夹角为0, 因为OA-(4,2),0C-(2,6), ·00 所以cosθ-- 4×2+2×6 H 10Al·1OC|42+2×2+6{ B 又E[o,x],所以o-吾,即OA与OC的夹角为吾. 在△GAB中,.M为AB中点, .GA+GB-2GM--GC 故选:B. .GA+GB+GC-0得证. 3.D 由向量a=(-1,1),b=(1,1),得la|=|bl (2)在△OAB中,M为AB中点, 1+1-②,a·b--1×1+1x1=0, 由(a十xb)I(a+ b),得(a十xb)·(a+b)=a②十ub} 'OA+OB+OC-2OM+OM+MC-3OM+MC -2+2-0. “.G为△ABC的重心...GC=-2GM. 所以&--1. 则在△OMC中,有OG-OM+MC, 故选:D. 4.B 建立如图所示平面直角坐标系: (3)连接并延长AH和CH,取AB、BC的中点M、N. 连接OM和ON,因为点O为△ABC的外心,所以有 OM AB:ON IBC 因为点H为△ABC的垂心,所以有CH1AB,AH 1BC. 所以CH/OM,AH/ON 而又MN/AC, AHC= NOM, CAH= MNO 115 设DC-2a(a>0),则EC=a,DE-3a. 一一12子0,则a,b不共线,故A符合; 则A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF-(3+1)a 对于B,因为a=(2,3),b=(3,2),所以2×2-3$x3 一5子0,则a,b不共线,故B符合; 所以x=(③+1)a·cos 30{,y-2a+(③+1)a·sin30* 即#(3_#5#) 对于C,因为a=(1,-2),b=(2,4),所以1x4 (一2)×2=8-0,则a,b不共线,故C符合; 对于D,因为a-(-3,2),b-(3,-2),所以a=-b,则 a,b共线,故D不符合. 故选:ABC. 因为AF--AB+yAD, 10.AB 以A为坐标原点建立平面 (3#_#) 所以 =x(2a,0)+y(0,2a). 直角坐标系,设正方形边长为1, 2 3-3-2a 则A(0,0),B(1,0),C(1,1), D(0,1),则M(1,). #5-2a 2 则 . 故AC-(1,1),A-(1,),寸 (2 3十③ (--1 则2ax-2ay= 2 2 故选:B. 解得 5.A 由alb,可得3sinx=cos x...tanx= n00-0-0故选A 故选:AB. $1.ABC 由题意,知ha+ba。+ka=0,即k(1,0)+$ 6.C 方法一 设△ABC的边长为a,则A(o,). $#$(1,-1)+k(2,2)-,即(k +k+2k,-h+2k)-, 'k,+h2+2k-0且-k2+2k -0,'k+4k-0.故 B(-o).c(,o),P=(o,-③).PB 选ABC. 12.(o,3) 3 因为A(-1,2),B(1,1),C(-3,1),所以 (.-3),P=(.-3),PA(PB+$)= AB的中点坐标为(-1+1,12),即(0): (o,-3)·(0,-23)--6,解得a=4,:.△ABC AB-(1,1)-(-1,2)-(2,-1), 的边长为4.故选C. B-(1,1),0C-(-3,1), 方法二 由题图可知AO是BC边的中线,.PB+PC- 则mOC+OB-m(-3,1)+(1.1)=(-3m+1m+1). 2 PO.又PA·(PB+PC)--6,即2PA·PO--6, 因为(mOC+OB)/AB,则2(m+1)--1(-3m+1),解 .PA·PO-3.又点P的坐标为(o3)..l0Pl 得m-3. ③.PA-、③..OA-23.又△ABC是等边三角形, 故答案为:(o):3. '.AB-4,.'.△ABC的边长为4.故选C. 13.() 7.D设OP。=(x,y),由OP/a可得x十y=0,即OP 设点P(x,y), (x,一x).由于OP=OP、十(1-)OP,.(x,-) 则PP=(x-x.y-y),PP=(22-x,y-), (4-1-x ,因此4一 a(3,1)十(1-)(-1,3),于是有 由PP-PP,得(x-x,y-y)=(x-x,y-y) 3-2--x (x-&x,y-y), 1+3-2-0,解得a一-1.故选D. [x-x1-&x-x 因此 8.C .'AC=(1,2),BD=(-4,2),.AC·BD-1X(-4)+ 1-_- 2$X2=0,故AC1BD,..四边形ABCD的面积为 ((1+)x=x1十入x2 即 2,而a去-1, (1+a)y-y+&y2 2 -2+2 9.ABC 只要两个向量不共线,即可作为基底向量. 1十 所以 对于A,因为a-(-2,3),b-(2,3),所以-2×3-3$ 2 #2 1 116 故答案为.(五4). 18.【解】(1OP=mOA+AB-mOA+OB-OA=m(1. “.1十x -1)+(-2,3)-(1,-1)=(m-3,4-m), 14.2$5 由点B绕点A沿顺时针方向旋转^3后得到点P, 因为点P在x轴上, 所以4-m-0,解得m-4. (2)A-2OB=(1,-1)-2(-2,3)=(5,-7),A+ #$A→-(2y),A第一-(#), $B-($,-1)+(-2,3)-(-2,3 ). 由点A(1,3),点B(1+②,3-2②),得AB-(2,-2②) 又因为(OA-2OB)1(OA+OB). #_,-# 所以(OA-2OB)·(bOA+OB)=(5,-7)·(k-2,3 - $-5-10-2 1+7-0$$ (--3 解得 3,即AP-(-3,1),而OA-(1,3),则op 1y-1 解得31 12 +A-(-2.4), 所以loP|-(-2)+4-25. +AC),AF- 故答案为:25. 15.【解】(1):a-(-1,3),b-(1,n).,且a/b 因为B,P,F三点共线,故可设AP-(AB+(1-1)AF .-n-3-0,则n=-3. AB+1-AC, (2)由(1)得b-(1,-3),m=(2,4) 2 10 10 --(1,-3)=(-1,3). ,解得- 16.【解】(1)AE-AB+BE-(2e+e)+(-e+xe)- 由平面向量基本定理,可得 #1## e十(1+x)e2. 2- 因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得AE一 (2)因为D,F分别为BC,AC的中点,所以DF/AB EC. 即e十(1十x)e2-k(-2e+e),得(1+2k)e= (h-1-a)e2. 所以B_#-,# 因为e,e是平面内两个不共线的非零向量,所以 所以Bp二 [1+2-0 3 #-_1--_。,解得 --- % , (2)BE+EC=-3e- (-1,1)=(-7,-2). (3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形 4C 所以AD-BC. 故B·DE-(-AB+A)·(AB-A) 设A(x,y),则AD-(3-x,5-y). (3-x--7 因为BC-(-7,-2),所以 ,解得 1x-10 5-y--2 即点A的坐标为(10,7). 因为AB·AC- AB| AClcos BAC-3X4X 17.【解】(1)证明:假设向量a,b共线,则存在实数m,使a -6, =mb,得(1-m)e=-(m十2)e #B --×-1#16+1#6--# 则e与e共线,这与两向量是不共线的非零向量矛盾, .假设错误,则a,b不共线,.'{a,b可以作为一个基底. (2)设c=e+3e=n+b-(x+y)e+(2x-y)e 专题三 平面向量的应用 {# {x+-1 1.D 由余弦定理可得cosA-3+4-13_ 3 2X3X2 Ae(0,x).A-5,即150” --. 。 故选:D 117