专题一 平面向量的概念及运算-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

第六章平面向量及其应用 专题一平面向量的概念及运算 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， L.现有以下向量运算式(1)AB+BC+CA:(2)(AB+MB)+BO+OM:(3)AB-AC+BD-CD: (4)AB-AD+DB:(5)NQ十QP+MN-MP.其中化简结果为0的个数为 都 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中，正确的是 A.若a=b,则a=b B.若a>b,则a>b C.若a=b,则a∥b D.若a∥b,b∥c,则a∥c 3.已知D、E、F分别是△ABC的边BC,CA、AB的中点，且BC=a,CA=b,AB=c,则①AD=-b p 苏 a:@B正-a+:@C市-a+,其中正确的等式的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.0 4.已知向量a,b满足|a=5,b=3,且a·b=一12，则向量a在向量b上的投影向量的模为( A.3 B.4 C.5 D.6 5.若在△ABC中，AB=a,BC=b,且a=b=1,a+b=2,则△ABC的形状是 必 製 A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.设e1,e2为平面上两个不共线的单位向量，已知向量AB=e,一ke,CB=2e,-e,CD=3e, 3e2,若A,B,D三点共线，则k的值是 A.2 B.-3 C.-2 D.3 删 7.已知向量a,b满足a=2,b=4,a·b=5,则向量a与a一b的夹角的余弦值为 闲 A.-10 20 阳 A罗 C.-330 D.330 20 20 8.如图，在△ABC中，∠BAC=等，AD=2DB,P为CD上一点，且AP=AC +AAB,若AC=3,AB=4,则AP·DC的值为 A- c-8 13 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.平面上点P与不共线的三点A,B,C满足关系PA十PB+PC-AB,则下列结论错误的是 ( A.点P在线段CA上，且CP=2PA B.点P在线段AB上，且AP=2PB C.点P在线段BC上，且BP=2PC D.点P为△ABC的重心 10.下列命题正确的是 A若向量AB,CD共线，则A,B,C,D必在同一条直线上 B.若A,B,C为平面内任意三点，则AB+BC+CA=0 C.若点G为△ABC的重心，则GA+GB+GC=0 D.若向量AB,CD满足AB>CD,且AB,CD方向相同，则AB>CD 11.设向量a,b满足a=b1=1,且|b一2a=√5，则以下结论正确的是 A.a⊥b B.a+bl=2 C.la-bl=2 D.向量a,b夹角为60 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.在△ABC中，M是BC边上靠近B点的三等分点，若AB=a,AC-b,则AM= (用a, b表示) 13.若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a一c)·(b一c)≤0，则a十b一c的最大值为 14.在△ABC中，点M,N满足BM=MNV=NC,AB·AM=4,AM·AV=5,AV·AC=8,则 MN= :AB·AC= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)化简下列各式： (1)2(a+2b-c)-(2c+b-a): (2)号a-b)-3(2a+4b)+号(2a+13b. 2 16.(15分)已知平面向量a,b满足a=2,b=1,且a与b的夹角为不 (1)求a·b和a+b: (2)若(a十b)⊥(2a一b),求实数的值. 17.(15分)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A 的任意一条直径. (1)判断BP·CQ-AP,CB的值是否会随点P位置的变化而变化，并说明 理由： (2)求BP·CQ的最大值. 3 18.(17分)在△ABC中，AB⊥AC,M是BC的中点. (1)若1AB1=|AC1,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值； (2)若O是线段AM上任意一点，且AB=|AC=2,求OA·OB+OC·OA的最小值. 19.(17分)欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、 变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在 他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于 0..G 同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离 等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点OG、H分别为△ABC的外心、重心、垂心 (1)求证：GA+GB+GC=0: (2)求证：0元=号0i+0B+0C): (3)求证：Oi-OA+OB+OC 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1： ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直： ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等. ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第六章平面向量及其应用 专题一平面向量的概念及运算 姓名 准考证号 考生条形码粘贴处 考生禁填：缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1,答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘 填 正确填涂 注 贴的条形码： 涂 ■ 意 2,选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体 样 错误填涂 事 工整，笔迹清楚： 例 晚 ▣0☒ 项 3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸，试题卷上答题无效。 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.[A][B][C][D] 4.[A][B[C][D] 7.[A][B[C][D] 2.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 8.[A][B][C]ID] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B[C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.[A][B][C][D] 1o.[A][B][C][D] 11.[A][BJ[C][D] 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 14. 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 5 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -6 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -7 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 —8—参考答案 第六章 平面向量及其应用 a+b=AB+B元=AC, ABl=|BC=1,AC=√2， 专题一平面向量的概念及运算 |AB12+1BC2=AC2=2 ∴△ABC为等腰直角三角形. 1.CAB+BC+CA=AC+CA=0,(1)是； 故选：D. (AB+MB)+BO+OM-AB+MB+BM=AB.(2) 6.A由题意Di=C店-Ci=-e1+2e2=-(e1-2e2), 不是： 且AB=e1-e2, AB-AC+BD-CD-AB+BD-(AC+CD)-AD-AD 因为A,B,D三点共线， =0,(3)是： 所以存在实数入，使得DB-1AB, AB-AD+DB=DB+DB=2DB,(4)不是： 所以-(e1-2e2)=1(e1-e2), NQ+QP+M-MP=NP+PN=0,(5)是， 中 。,解得k=2. 所以化简结果为0的个数为3. 故选：C. 故选：A 2.C对于A:若|a=|b|,则a,b只是大小相同，并不能 7.A因为1a=2,|b|=4,a·b=5, 说方向相同，A错误； 所以a·(a-b)=a2-a·b=4-5=-1, 对于B:向量不能比较大小，B错误： 则la-bl=√(a-b)2 对于C:若a=b,则a,b方向相同，C正确； =√a2-2a·b+b2 对于D:若a∥b,b∥c,如果b为零向量，则不能推出a,c 平行，D错误. =4-10+16=√/10， 故选：C 所以ma-》-治名2X 20 3.C①如图可知Ai=A心+i=Ac+=-Ci-号 故选：A =-b-20,故①正确； 8.C在△ABC中，因为AD=2DB, 所以店=2AD,Ai=号AB, 所以Ci=Ci+AD=Ci+号A=Ci+号(C-Ci) +, 脚D心=-c成-ci, ②B成-BC+C正-BC+Ci=a+b,故②正确： 因为A户=子AC+AA店，所以A护=子AC+多A市， ⑧C本=Ci+A-Ci+2A店=b+名(-a-b)=-2 因为P,C,D三点共线，所以号+名=1，解得A=号 十b,故回正确. 所以A市=AC+2A店， 故选：C. 4.B向量a在向量b上的投影向量的模为|a·cos1(0 D心=-号成-i=-号（店-AC)+号AC 为向量ab的炎角3.o0日治-写灵是吉 =-号A店+A花， acos91=5×号=4，故选B 所以A.D心=(AC+2A)·(-号A+AO), 5.D如图， 又∠BAC=子，AC-3,A=4, 则A市.D心=-号A+号A店，AC+A心 =-号×4+号×4×3×+×32=-9+2+号- 113 是 所以M=号|BC=1,A店.AC-A店.(A+BC 故选：C 9.BCD FA+PB+P元=AB→PA+P心=AB-PB→PA+ =A+A.BC-号-是=3， PC=AP→C=2PA→点P在线段CA上，A正确.故选 BCD. 10.BC对于A,若向量AB,CD共线，只需两个向量方向相 同或相反即可，则A,B,C,D不必在同一直线上，故A 项错误： 对于B,由向量线性运算性质知AB+B配+CA=AC+ 故答案为：1,3. CA=0,故B项正确： 15.【解】(1)2(a+2b-c)-(2c+b-a) 对于C,由平面向量中三角形重心的性质，可得C项 =2a+4b-2c-2c-b+a 正确； =3a+3b-4c. 对于D,由于向量间无法比较大小，故D项错误. 故选：BC (2号a-b)-号(2a+40)+是2a+13b) 11,AC|b-2a2=|b|2+4|a|2-4a·b=5,又因为 |a=|b|=1,所以a·b=0,故a⊥b,所以A正确，D 不正确； -(号-号+)a+(号-÷+)b |a十b|2=|a2+|b12+2a·b=2,故|a+bl=√2，所以 =0. B不正确；la-b2=|a2+|b2-2a·b=2,所以a-bl =√2，C正确. 16.【解】 （1)由题ab=ab1cosa,b)=2X1Xcos是 故选：AC. =1, 12.号0+0：点M是BC边上靠近B点的三等分点， 所以|a+bl=√(a+b)2=√a2+b+2a·b= ∴BM=}成，AM=A+M=AB+号BC=A+ √22+12+2×1=5. (2)因为(a+b)⊥(2a-b),又由(1)a·b=1, 号花-A商=号A+号A心-号a+b, 所以由题意得(a十b)·(2a一b)=2a2+(2A-1)a·b 13.1 la+b-cl=(a+b-c)2= -b2=2×(2)2+(2λ-1)-1=3+1=0， √a2+b+c2+2a·b-2a·c-2b·c,由于a,b,c均为 解得1=一3. 所以实数入的值为一3. 单位向量，a·b=0,∴.la+b-c=√3-2c·(a+b,由 (a-c)·(b-c)≤0，得(a十b)·c≥c2=1, 17.【解】(1)BP.C-AP.CB ∴.la+b-cl=√3-2c·(a+b)≤1. =(AP-AB).(AQ-AC)-AP.(AB-AC) 14.13如图，因为BM=MN-NC,所以M,N为BC的 =(AP-AB).(-AP-AC)-AP.(AB-AC) 两个三等分点，且BM=MN=NC=号BC, --AP:+AB.AC 因为A=A店+号BC,A=A店+号BC.Ad =-1+2x2x号 =AB+BC, =1. 所以A店·AM=A+A店·AC=4①， :B丽.而-A正.CB的值不会随，点P位置的变化而变化. (2)BP.CQ A.AN=(+}心)(a+号BC =(BA+AP)·(CA+AQ) =A+A成，C+号心-5@， =BA.CA+BA.AQ+AP.CA+AP.AQ A不.AC-(A+号B心)·A+B商 =2X2X号+A.(B-C本-A0 =A+号A店.B元+号心=8③， =2+AQ.BC-1 =1+2cos8(其中0为AQ,BC的夹角)， 联立①②③，解得B心=9，A店，BC=-号，A=号， .当0=0，即AQ∥BC时，BP,CQ取得最大值3. 114 18.【解】(1)设向量AB+2AC与向量2AB十AC的夹角为 △AHC∽△MON, 0,|AB1=|AC=a. 从恕-%-导A-2成， ABLAC...AB.AC=0, 0成=20+0心，Ai-Oi+0心， (AB+2AC).(2AB+AC)=2AB*+5AB.AC+ 同理，Bi=0A+O元，Ci=Oi+O, 2AC=4a2, 因为Oi=OA+Ai=OB+Bi=OC+Ci, AB+2AC=√AB+2AC2 所以3Oi=(OA+A市+(OB+B+(O元+C而 AB2+4AB.AC+4 AC2=5a, =(OA+OB+OC)+(AH+BH+CH) 同理可得12AB+AC=5a, =3(0A+0i+0心 所以0i=OA+Oi+OC. ∴.cos8= AB+2AC·(2AB+AC-4C- 1AB+2ACI12AB+ACI ()ABLAC,IABI=IACI=/,..AMI=1. 设OA=x(0≤x≤1)，则1OM-1-x,而OB+OC- 2OM, :.0A.0B+0元.0A=OA.oB+0C)=20A.0M =210A1.0M·cosx=-2x(1-x)=2x2-2x= 专题二平面向量基本定理及坐标表示 2(e-)广-， 1.C根据题意可知，AB=(2,-5),把向量AB按向量a= 当x=2时，01：O成+0心.O1取得最小值- (1,2)平移后，与原向量相等，所得向量AB仍然 为(2，-5). 19.【证明】(1)：G为△ABC的重心，连接CG并延长 故选：C. 交AB于M, 则M为AB中点，且GC=-2GM, 2.B因为四边形OABC是平行四边形，所以OA=C, 即(4-0,2-0)=(a-2,8-a),所以a=6. 设OA与OC的夹角为0， 因为0A-(4,2),0元-(2,6)， OA OC 4×2+2×6 …H 所以cos0= 1OA1·1OC|√42+22×√22+62 2 M 在△GAB中，：M为AB中点， 又0e[0,],所以0=平，即Oi与0心的夹角为平 :.GA+G=2GM=-G元， 故选：B :.GA+G+G式=0得证. 3.D由向量a=(-1,1),b=(1,1),得a|=|b|= (2)在△OAB中，M为AB中点， √12+1=2，a·b=-1×1+1X1=0, :.OA+OB+O元=2OM+OM+MC=3OM+M花 由(a+b)⊥(a+b),得(a+b)·(a+b)=a2+ub2 =2+2λμ=0， G为△ABC的重心，GC=-2GM, 所以=一1. 则在△OMC中，有O元-OM+号M心， 故选：D. 4.B建立如图所示平面直角坐标系： :0G=号(Oi+O+O心)得证. (3)连接并延长AH和CH,取AB、BC的中点M、N, 连接OM和ON,因为点O为△ABC的外心，所以有 OM⊥AB,ON⊥BC, 因为点H为△ABC的垂心，所以有CH⊥AB,AH ⊥BC, 所以CH∥OM,AH∥ON 而又MN∥AC,∠AHC=∠NOM,∠CAH=∠MNO, -115