精品解析：上海市新中高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷

2024学年第二学期高一数学期中试卷 命题人：张燕 审题人：蒋菊萍 一、填空题：（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，且终边经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，直接求解. 【详解】由条件可知，， 则 故答案为： 2. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用扇形面积公式得到答案. 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于简单题. 3. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以． 4. 函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性列式求出递增区间. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 5. 如果角是第二象限角，则点位于第________象限. 【答案】四 【解析】 【分析】利用象限角与三角函数值符号的关系可得出结论. 【详解】因为是第二象限角，则，，故点位于第四象限. 故答案为：四. 6. 函数的值域是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数得，然后由正弦函数的图形性质可得所求函数的值域. 【详解】由函数 因为，所以 当，即时，函数有最大值2. 当，即时，函数有最小值. 所以函数的值域为 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的化简和求正弦型函数的值域问题，属于基础题. 7. 中，，，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵在中，，，， ∴由余弦定理得：， 即， 解得，（舍去）， ∴的面积． 故答案为. 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 8. 设，则向量与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式直接求得. 【详解】因为， 所以，即， 所以，即，所以. 因为，所以. 故答案为：. 9. 如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点. 现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F. 记，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出 ，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可. 【详解】设，则， 在中，，所以， 即，解得，所以， 所以在中，， 则， 又， 所以. 故答案为： 10. 已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合二次函数的性质可得，由，可得，向量在方向上数量投影为，即得. 【详解】由题意， 设，则， ， 由二次函数的性质可知，当，取得最小值， 由得，得， 向量在方向上数量投影为， 故向量在方向上数量投影的取值范围为， 故答案为： 二、选择题：（本大题共有4个小题，每小题3分，共12分） 11. 函数，则命题正确的（ ） A. 是周期为1的奇函数 B. 是周期为2的偶函数 C. 是周期为1的非奇非偶函数 D. 是周期为2的非奇非偶函数 【答案】B 【解析】 【详解】由题得函数的周期为T= =2，又f(x)=sin(πx−)−1=−cosπx−1，从而得出函数f(x)为偶函数． 故本题正确答案为B． 12. 已知非零向量，，则是成立的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合向量数量积的运算判断结果. 【详解】，为非零向量，当时，有， 则，， 有，得，充分性成立； 当时，有，即， 得，则有，必要性成立. 所以是充要条件. 故选：C. 13. 若非零不共线的向量满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断 【详解】 （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 14. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段，该曲线段是函数（，，），的图像，图像的最高点为，曲线段上的入口D到海岸线的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路的长为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 3千米 【答案】C 【解析】 【分析】结合图像中的数据求出函数的解析式，由此可求的坐标，再求的长. 【详解】由图像可得函数的最大值为2，周期 所以，，又函数的图像经过点， 所以，又，所以， 所以， 因为D到海岸线距离为千米，可设的坐标为， 所以，又， 所以， 所以景观路的长为（千米）， 故选：C. 三、解答题：（本大题共48分） 15. 已知向量的夹角为. （1）求的值; （2）若和垂直，求实数t的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义运算求解； （2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 若和垂直，则， 即，解得. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求出的值，根据诱导公式奇变偶不变符号看象限化简求值；（2）根据诱导公式化简成，根据两角和的余弦公式展开，二倍角公式求三角函数值. 【小问1详解】 因为， 又因为，且， 所以， 所以； 【小问2详解】 17. 定义行列式运算，若. （1）求和的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据行列式运算的定义得到，利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式求得答案即可. （2）首先对函数化简，然后根据正弦函数值域结合二次函数的性质可知当时，函数取最大值；当时，函数取最小值，进而求出函数的值域即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，得到，即， 由二倍角公式得， 因为，所以， 因为，所以， 解得，则. 【小问2详解】 由题意得，且， 则， 令，则原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则当时，；当时，， 当时，，得到， 故当时，；当时，， 故函数的值域为． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式以及周期公式即可求解； （2）根据函数求解角度A，再由正弦定理和诱导公式以及两角和与差的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 函数 函数的最小正周期为． 【小问2详解】 ， 所以， 因为， 所以， 由正弦定理得，， 所以 ， 因， 所以， 所以， 所以，， 所以的取值范围为． 19. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； （3）若集合，，，相对于任何常数“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】（1） （2）证明见解析，这个常数为； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【小问1详解】 解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； 【小问2详解】 证明：当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差”， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； 【小问3详解】 解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高一数学期中试卷 命题人：张燕 审题人：蒋菊萍 一、填空题：（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，且终边经过点，则的值为________． 2. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为____________. 3. 已知，则_____． 4. 函数的单调递增区间为_________． 5. 如果角是第二象限角，则点位于第________象限. 6. 函数的值域是_____________. 7. 中，，，，则面积为__________． 8. 设，则向量与的夹角为___________. 9. 如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点. 现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F. 记，则_______. 10. 已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为_________． 二、选择题：（本大题共有4个小题，每小题3分，共12分） 11. 函数，则命题正确的（ ） A. 是周期为1奇函数 B. 是周期为2的偶函数 C. 是周期为1的非奇非偶函数 D. 是周期为2的非奇非偶函数 12. 已知非零向量，，则是成立的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 13. 若非零不共线的向量满足，则（ ）． A. B. C. D. 14. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段，该曲线段是函数（，，），的图像，图像的最高点为，曲线段上的入口D到海岸线的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路的长为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 3千米 三、解答题：（本大题共48分） 15. 已知向量的夹角为. （1）求的值; （2）若和垂直，求实数t的值. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 定义行列式运算，若. （1）求和的值； （2）求函数的值域. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）设三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 19. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合相对“余弦方差”； （2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； （3）若集合，，，相对于任何常数“余弦方差”是一个常数，求，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$