精品解析：江苏省无锡市宜兴市第一中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷

省宜兴一中2024-2025学年度第二学期第一次阶段性检测 高一数学 命题：徐小卫 审核：史春花 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 设为非零向量，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，，为复数，，下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在三角形中，下列说法正确的有（ ） A. 若，则三角形有两解 B. 若，则一定是钝角三角形 C. 若，则一定是等边三角形 D. 若，则一定是等腰三角形 11. 已知点是外心，，，，则下列正确的是（ ） A. 若，则的外接圆面积为 B. 若，则 C. 若，则 D. 当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义是向量 和的“向量积”，其长度为，其中为向量 和 的夹角．若，，则=______． 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，向量与的夹角为． （1）求：； （2）若，求实数的值． 16. 已知复数，，，为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，求． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 18. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 19. “费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当内有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求； （3）若，设点P为的费马点．求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 省宜兴一中2024-2025学年度第二学期第一次阶段性检测 高一数学 命题：徐小卫 审核：史春花 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求． 【详解】，， ，， ， 的共轭复数的虚部为， 故选：． 2. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量， 则向量在向量上的投影向量是 故选：A. 3. 衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：如图，延长CD和BE交于点F，由题得, 所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形， 又，所以分别是中点， 所以． 故选：C 4. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可 【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形 故选：D 5. 设为非零向量，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积表示判断A，由向量共线判断BC，利用数量积的运算判断D． 【详解】对于A，，结论不成立，命题为假； 对于B，当与方向相反时，结论不成立，命题为假； 对于C，当与共线时，结论不成立，命题为假； 对于D，若，则，即，则，所以，命题为真． 故选：D． 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的数量积公式、余弦定理、正弦定理得，再由余弦定理得，平方求出可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 整理得，又， 由正弦定理得，所以 ， 所以， 所以，解得， 所以， 因为， 所以，所以. 故选：A 7. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，由两边平方得，由基本不等式求出. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得，可得，即， 所以， 又，则， 是的中点，，故， 两边平方得， ，故， 其中，故（当且仅当时符号成立）， 解得． 故选：C 8. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设, 因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，，为复数，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用共轭复数与复数模的性质判断即可；对于B，利用判断即可；对于C，利用虚数不能比较大小判断即可；对于D，利用复数四则运算的性质判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确； 对于B，因为，所以，则， 所以，则，故B正确. 对于C，取，则满足，但由于虚数无法比较大小，故不成立，故C错误； 对于D，因为，所以（舍去）或，故D正确. 故选：ABD. 10. 在三角形中，下列说法正确的有（ ） A. 若，则三角形有两解 B. 若，则一定是钝角三角形 C. 若，则一定等边三角形 D. 若，则一定是等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】题目考察解三角形的综合应用，A选项是多解问题，B选项是切化弦，然后用和差角公式；C选项考察角的余弦小于等于1的应用；D选项是解三角形的边角转化，逐一计算即可 【详解】选项A中，因为，所以由正弦定理得，因为， 所以只有一个解，故A错误． 选项B中，由，得， 所以，即，所以， 所以，故一定是钝角三角形，故B正确． 选项C中，因为， 所以， 所以，故C正确． 选项D中，因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以或， 所以或，所以的形状是等腰或直角三角形．D错误 故选：BC 【点睛】题目比较综合，考察到了较多是知识点： （1）正弦定理判断三角形的多解问题 （2）切化弦的应 （3）两角和的余弦公式 （4）余弦一定小于等于1 （5）利用正弦定理的边角互换，化简判断三角形形状 11. 已知点是的外心，，，，则下列正确的是（ ） A. 若，则的外接圆面积为 B. 若，则 C. 若，则 D. 当，时， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形外心的性质结合向量的运算逐项求解即可. 【详解】因为点O是的外心，所以，， 对A，若，则， 由余弦定理可得：，所以， 所以的外接圆的半径为， 所以该外接圆的面积为，故A错误； 对B，因为，， 由， 所以， 即， 所以或， 当时，则，点是的外心，所以是斜边，但是矛盾； 所以， 根据余弦定理可得，，故B正确； 对C，当时，根据余弦定理可得， ， 由， 所以， 即， 解得，，则，故C错误； 对D，当，时，由选项B的分析知， ， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义是向量 和的“向量积”，其长度为，其中为向量 和 的夹角．若，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积,求出夹角,然后再根据向量积的定义,即可求解. 【详解】，,,进而,,所以 由“向量积”的定义可知: 故答案为: 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案为：． 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换，得，，的外接圆半径，，由向量的模和夹角讨论运算结果的取值范围. 【详解】，又， 由，解得， 由，得，则有，. ， 则有， ，则有，所以有，， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点， 由正弦定理得的外接圆半径，则有， ， ，， 为中点，，， 当与方向相同时，有最大值， 当与方向相反时，有最小值， 所以的最大值为，最小值为， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用，本题利用向量数量积的定义结合了图形几何性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，向量与的夹角为． （1）求：； （2）若，求实数的值． 【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平面向量数量积的定义和模长公式，计算即可；（2）根据两向量垂直，数量积为，列出方程可求出的值. 试题解析：（1）， 又， ∴ （2）∵，∴， 即， 即，得 16. 已知复数，，，为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程组求解. （2）由得出为实数即可求解. 【小问1详解】 ，， 所以， 因为是纯虚数，所以，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，得， 所以，所以. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得； （2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以由正弦定理得, ， 又，所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由，则， 故，，所以， 所以， 又，整理得， 则， 解得， 所以的面积为． 18. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得； （2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得； （3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论. 【小问1详解】 在中，由余弦定理， ，所以． 小问2详解】 在中，，在中，由余弦定理， ， 则， ． 【小问3详解】 在中，，， 由正弦定理，， ， 四边形的面积为． 19. “费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当内有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求； （3）若，设点P为的费马点．求． 【答案】（1） （2） （3）-2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用余弦定理结合面积公式求解； （3）利用费马点的性质等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案． 【小问1详解】 已知中． 即， 故，由正弦定理可得， 由余弦定理得，又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知， 所以，则， 则； 【小问3详解】 由（1）知，所以的三个角都小于120°， 则由费马点定义可知：， 设，，，由， 得， 整理得， 则 ． 【点睛】关键点点睛：由面积分割关系得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$