第三编 模型12 主从联动(瓜豆原理)（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

模型12　主从联动(瓜豆原理) 第三编 常见几何模型 2025中考 达州·数学 1 类型 1 轨迹直线 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长的最小值是___. 例 1 2 类型1 类型2 【思路点拨】取AB的中点E，连接CE，PE.由“SAS”可证△QBC≌△PBE，则QC＝PE，且当EP⊥AC时，QC的长最小. 类型1 类型2 本题属“瓜豆原理中的直线型路径”最值问题.其问题与思路如下： 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP∶AQ是定值). 解 题 反 思 结论：P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC的夹角α). 类型1 类型2 P，Q两点轨迹长度之比等于AP∶AQ(由△ABC∽△AMN，可得AP∶AQ＝BC∶MN). 解 题 反 思 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的点Q的位置，连线即可，如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段. 类型1 类型2 精 题 精 练 1.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为___. 第1题图 1 类型1 类型2 2.(2024·泰安)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG长的最小值是 (　 　) A.2 B.4－2 C.2 D.4 第2题图 C 类型1 类型2 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__. 第3题图 2 类型1 类型2 4.如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是___. 第4题图 8 类型1 类型2 类型 2 轨迹圆 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.则线段OF长的最小值为(　 　) A.2＋2 B. C.2－2 D.2－2 例 2 C 类型1 类型2 【思路点拨】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可得OM的长，根据OF＋MF≥OM，即可得出OF长的最小值. 类型1 类型2 本题属“瓜豆原理中的圆弧形路径”最值问题.其问题与思路如下： 为了便于区分动点P，Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”. 此类问题的必要条件：(两个定量) 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP∶AQ是定值). 解 题 反 思 类型1 类型2 结论： (1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ＝∠OAM； (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP∶AQ＝AO∶AM，也等于两圆半径之比. 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于“旋转＋伸缩”. 解 题 反 思 类型1 类型2 精 题 精 练 5.如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，MP，线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ.若AB＝4，MP＝1，则MQ长的最小值为__________. 第5题图 2－1 类型1 类型2 6.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________. 第6题图 π 类型1 类型2 7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为_________. 第7题图 －2 类型1 类型2 8.如图，☉O的直径AB＝2，C为☉O上的动点，连接CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接OD，则OD长的最大值为_________. 第8题图 ＋1 类型1 类型2 9.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点.连接DE，交AF于点G，连接BG.若AE＝BF，则BG长的最小值为_________. －1 类型1 类型2 请完成《练测本》P118模型练测12 本讲内容结束 $$