25.1 一元二次方程的概念（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的定义，通过人体雕像比例、矩形铁皮制方盒、排球邀请赛场次等实际问题导入，结合知识回顾中方程分类及一元一次方程三要素，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以数学建模（实际问题列方程）、类比推理（对比一元一次方程定义）、严谨辨析（二次项系数不为0等）为核心，体现模型意识、推理意识和抽象能力。课堂小结归纳数学思想与易错点，帮助学生发展数学思维，教师可借助丰富实例和系统练习提升教学效果。

25.1 一元二次方程的概念 第二十五章 一 元 二 次 方 程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的三大判定特征；熟记一元二次方程的一般形式，能准确识别方程的各项及系数；掌握方程根的定义，会检验一个数是否为一元二次方程的根. 经历“实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用”的全过程，提升抽象概括、类比迁移、数学建模的能力. 感受方程与生活的紧密联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的数学辨析思维，激发主动探究代数问题的兴趣. ax + b = 0 知识回顾 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有 叫作方程. 2. 一元一次方程的三要素是什么？ ①只含一个未知数 ②未知数的指数是一次 ③方程的两边都是整式 一元一次方程 二元一次方程（组） 分式方程 整式方程 未知数的等式 其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0。 a 是未知数 x 的系数，b 是常数项 3.一元一次方程一般形式如何表示？ 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感 方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，我们已经学习过利用一元一次方程解决现实生活中具有等量关系的问题 章前引言 腰部以上身长 腰部以下的身长 全身的身长 等量关系 章前引言 问题： 如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长? 雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系: AC BC AC:BC=BC:5， 即 BC²=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为xm，可得方程： x2=5(5-x)， 整理得：x2+5x-25-0 ① 这个方程的解就是雕像腰部以下的身长. 导入新课 问题1(面积问题)： 设截去的正方形边长为xcm，如何列方程？ 图1 图2 如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 分析 本题的等量关系 无盖方盒的底面长×无盖方盒的底面宽=底面积 矩形铁皮长-2x 矩形铁皮宽-2x 6 问题1(面积问题)： 图1 图2 如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 导入新课 3600 cm2 100 cm 50 cm 50 -2x 100 -2x 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ② 导入新课 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x (x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ③ 问题2(比赛场次问题)： 分析 单循环总比赛场次=7天×4场 本题的等量关系 若应邀请 x 支球队参赛 ∵每个队要与除自己之外的 (x - 1) 个队各赛一场 ∴单循环总比赛场次=x (x−1) 8 议一议 新知探究 探究点1 类比旧知，归纳定义 （1）观察这三个方程，符合一元一次方程特征吗？ x2+5x−25 = 0 ① x2−75x+350 = 0 ② x2−x−56 = 0 ③， 未知数的最高次数不是1，所以不是一元一次方程 （2）这些方程有什么共同特点？ 特点： 1.等号两边都是 ； 2.只含 未知数； 3.未知数的最高次数是 . 整式方程 一个 2 一元二次方程 关键词 · 一元 指方程中只含有一个未知数，例如x、y等单个字母，不可出现多个不同的未知量。 关键词 · 二次 指方程经过整理后，未知数的最高次数必须是2，且二次项的系数不能为0。 关键词 · 整式方程 方程的两边都是关于未知数的整式，即分母中不含未知数，也不含根号下的未知数。 新知探究 归一归 探究点1 类比旧知，归纳定义 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. ☛ 一元二次方程的概念 新知探究 探究点2 规范一般形式，辨析各项系数 议一议 （1）任意一元二次方程经过整理可以统一化为什么形式？ 经过整理可化为统一形式： 一元二次方程的一般形式 各项系数： 二次项系数 ：一次项系数 常数项 组成：方程左边有三项 （二次项）、（一次项）、（常数项） 二次项 一次项 常数项 核心前提条件 二次项系数a ≠ 0 议一议 （2）为什么一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0中？ 若 ，则二次项消失，方程变为 ，不再是一元二次方程 （3）一般形式ax²+bx+c=0中、 可以为零吗？ 可以，此时方程为缺项的一元二次方程 当 a = 0 时 bx＋c = 0， 当 a ≠ 0，b = 0 时 ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0，c = 0 时 ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时 ax2 = 0， 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 新知探究 探究点2 规范一般形式，辨析各项系数 03. 对比判断 新知探究 探究点3 认识方程的根 议一议 （1）什么是一元一次方程的解？ 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解 （2）什么是一元二次方程的解？ 类比 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 （3）如何检验是否是一元二次方程的解（根） 方法：把未知数的值代入方程两边，根据是否相等判断. 01. 代入数值 将未知数的候选值，分别代入方程的左边和右边，确定计算的起始数值。 02. 分别求值 按照运算规则，独立计算出方程左边代数式的值和右边常数（或代数式）的值。 若左右两边的值相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 13 新知探究 探究点3 认识方程的根 练一练 检验x =8、x=7是否是方程的根 解： 把代入方程的左右两边 ∵左边 ∴左边=右边， ∴ 是根。 解： 把代入方程的左右两边 ∵左边 ∴左边≠右边， ∴ 不是方程是根。 典例分析 例１.已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴ ∴ ∴ ∵，∴ 解得：． 典例分析 例2.将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是什么？ 解：方程整理得：， 则一次项系数是-9、常数项分别为3． 例3.已知关于的方程的一个根为，求的值． 解：关于的方程的一个根为3， ， 解得：， 的值为． 新知巩固 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81； （3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3. （1）解：一般形式：5x2–4x–1=0 二次项系数：5 一次项系数：–4 常数项：–1 教材第3页 （2）解：一般形式：4x2–81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：–81 新知巩固 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81； （3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3. 教材第3页 （3）解：一般形式：4x2+8x–25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：–25 （4）解：一般形式：3x2–7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：–7 常数项：1 新知巩固 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； （3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. （1）解：设正方形的边长为 x，列得方程： 4x2=25， 化为一般形式为： 4x2–25=0. 教材第3页 （2）解：设矩形的长为 x，列得方程： x(x–2)=100， 化为一般形式为： x2–2x–100=0. （3）解：设矩形的长为 x，列得方程： x(x–2)=100， 化为一般形式为 ：x2–2x–100=0. 拓展提升 1.若是关于的方程的一个根，求的值. 解：∵是关于的方程 的一个根， ∴， ∴，即， ∴. 真题感知 1.（2025·贵港统考）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 解：由一元二次方程的定义可得：， 解得：． A 2．（2025·长沙·九年级统考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（　　） A． B．0 C．2 D．4 解：把代入方程得： ， 解得：． D 真题感知 3.（2025·贵港·九年级统考）若关于的一元二次方程的一个根为1，求的值. 解：由题意，得： ， ∴． 4.（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 A 解：∵是方程的根， ∴， 即：， ∴， ∴ ． 知识与技能 （1）一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。一元、二次、整式方程三个关键要素缺一不可，是判断方程类型的核心依据。 （2）一般形式：𝒂𝒙²+𝒃𝒙+𝒄=𝟎(𝒂≠𝟎)，明确各项及系数的定义，牢记二次项系数不为0； （3）方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握规范检验方法. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）类比思想：类比一元一次方程的定义、解、一般形式，快速掌握一元二次方程相关知识； （2）建模思想：将生活实际问题转化为一元二次方程数学模型； （3）分类讨论思想：根据二次项系数是否为0，区分一元二次方程与一元一次方程. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）判定方程类型前，必须先化简为整式方程，分式方程、根式方程一定不是一元二次方程； （2）一般形式中，二次项系数a≠0是必备条件，参数题型优先考虑此条件； （3）识别各项、系数时，必须包含项前面的正负符号，常数项可正、可负、可为0； （4）方程的根可以有多个，检验时需严格代入计算，不可主观臆断. 课后练习 习题 25.1 教材p4页 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）4x2+5x=81； （2）x(x+ )=0； 解：一般形式：4x2+5x–81=0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：–81 解：一般形式：x2+x=0 二次项系数：1 一次项系数： 常数项：0 （3）(2x–3)(x–1)=0； （4）(3x–2)(x+1)=x(2x+1). 课后练习 习题 25.1 教材p4页 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）4x2+5x=81； （2）x(x+ )=0； （3）(2x–3)(x–1)=0； （4）(3x–2)(x+1)=x(2x+1). 解： （3）一般形式：2x2–5x+3=0 二次项系数：2 一次项系数：–5 常数项：3 解： （4）一般形式：x2–2=0 二次项系数：1 一次项系数：0 常数项：–2 课后练习 习题 25.1 教材p4页 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是 2π，求半径 r； 解：（1）由圆的面积公式，得 ： πr2=2π， ∴ r2=2，即 r2–2=0. （2）一个直角三角形的两条直角边的长相差 3，面积为 9，求较长直角边的长 x； （2）由直角三角形的面积公式，得： x(x–3)=9， ∴ x2–3x–18=0. （3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的 2 倍，斜边长为 5，求较短直角边的长. （3）设较短直角边的长为 x，由勾股定理，得： x2+(2x)2=52， ∴x2–5=0. 课后练习 习题 25.1 教材p4页 3.下列哪些数是一元二次方程 x2+x–12=0 的根？为什么？ – 4，– 3，– 2，– 1，0，1，2，3，4. ∴ – 4，3是方程 x2+x–12=0 的根. ∵当x取– 4或3时， x2+x–12的值为0,方程左右两边相等. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x2+x–12 0 -6 -10 -12 -12 -10 -6 0 8 解：把x代入x2+x–12，计算代数式的值 29 课后练习 习题 25.1 教材p4页 4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式. 解：设田阔 x 步，长(x+12)步，由题意，得： x(x+12)=864， 化为一般形式为： x2+12x–864=0. 课后练习 习题 25.1 教材p4页 5.如果 2 是方程 x2– c = 0的一个根，求解如下问题： （1）常数 c 是多少？ （2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根. 解：（1）由题意，可知 22– c = 0，所以 c=4. （2）有，因为 c=4，所以原方程为 x2–4=0， 所以 x =±2， 所以这个方程的另一个根为 –2. 谢谢聆听 $