第一编 第四单元 第16讲 三角形及其性质（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第四单元　三角形 第16讲　三角形及其性质 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 课标要求 1 理解三角形、等腰三角形和直角三角形的概念 三角形的分类 按边分 等腰三角形 底边≠腰 正三角形(等边三角形) 三边都不相等的三角形 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边；了解三角形的稳定性 课标要求 2 三角形 的边、 角关系 三边关系定理：任意两边之和大于第三边 任意两边之差＜第三边＜任意两边之和 [依据：两点之间，线段最短] → 内角和定理：三角形的内角和等于①________　　　  常用较大边－较小边. 180° 外角 性质 三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和等于② ______ 不等于所有的外角和，所有的外角和为720°.  360° 任意多边形的外角和都等于③________　 360° 【提分点拔】1.三角形具有稳定性. 2.判断三条边(a，b，c)能否构成三角形，不妨设c≥a，c≥b，只需比较两条较短边a，b的和与第三边c的大小，若a＋b＞c，则能构成三角形；反之，不能构成三角形. 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 5 理解三角形的中线、高线、角平分线等概念;了解三角形重心的概念;探索并证明三角形的中位线定理 课标要求 3 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 高线 AD是△ABC的高 (1)∠ADB＝∠ADC＝90°; (2)S△ABC＝BC·AD，S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC; (3)垂心:三角形三条高线所在直线的交点 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 6 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 中线 AD是△ABC 的中线 (1)BD＝DC＝④______________；  (2)S△ABD＝S△ACD＝S△ABC (3)重心：三角形三条中线的交点，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍 BC 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 角平 分线 AD是△ABC 的角平分线 (1)∠BAD＝⑤________＝∠BAC；  (2)S△ABO∶S△ACO∶S△BCO＝AB∶AC∶BC； (3)角平分线上的点到角两边的距离相等； (4)内心：三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等 ∠DAC [注意：外心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三个顶点的距离相等] 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 三角形中的重 要线段 名称 图形 重要性质和结论 中 位 线 DE是△ABC 的中位线 (1)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即DE∥BC，DE＝⑥__________；　  (2)三角形的中位线将三角形分成面积比为1∶3的两部分， 即S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶3，S△ADE∶S△ABC＝1∶4 BC 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 考点综述 素养积累 02 10 核心知识 1 三角形的三边关系 例1 设a，b，c为△ABC的三边，化简：｜a－b＋c｜－｜a＋b－c｜－｜a－b－c｜＝___________. a－3b＋c 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 (创编)如果将长度为a－2，a＋5和a＋2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是______. a＞5 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 三角形的三边关系揭示了三角形中边与边之间的数量关系，在已知两边的情况下，可以帮助我们确定第三边的取值范围，也可以验证三条线段是否能够组成三角形. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 核心知识 2 三角形中的重要线段 例2 1.(2024·凉山州)如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是_______. 100° 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 【解析】∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°. ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝50°，∠CBD＝90°－∠BCD＝60°.∴∠CAB＝90°－∠ACD＝40°. ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB＝20°. ∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝100°. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 2.如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若AB＝6 cm，AC＝4 cm，则＝____. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 1.如图，已知CE和BD分别是△ABC的角平分线和高线，且AE＝CE，若∠ABC＝75°，则∠BOE的度数为____°. 55 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 2.(创编)如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABC的面积为18，△BOM的面积为3，则四边形MCNO的面积为___. 6 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 1.三角形中的高线、中线和角平分线都是三角形中重要的线段，都有3条，并且它们所在的直线都交于一点，这三种线段都与三角形的面积有关. 　　2.三角形的中线具有“等分面积”的作用，所以遇到三角形的中线，要首先想到被中线分开的两个三角形面积相等. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 核心知识 3 三角形的内角与外角 例3 如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，点A落在三角形内点A'处，则∠1＋∠2的度数为_____. 60° 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 (创编)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC. (1)若∠C＝70°，∠B＝40°，则∠DAE的度数为___； (2)若∠C－∠B＝30°，则∠DAE的度数为_____； (3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，直接写出∠DAE的度数为____(用含α的代数式表示). 15° 15° α 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 三角形中角的关系直接或间接来源于三角形的内角和定理，在运用时，利用外角与内角之间的关系进行转化往往更方便和直接. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例4 已知△ABC.(用含∠A的式子填空) (1)如图1，若∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则∠P＝__________； (2)如图2，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则∠P＝_______； (3)如图3，若∠CBD与∠BCE的平分线交于点P，则∠P＝___________. 90°＋∠A ∠A 90°－∠A 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(大竹中学期末)已知三条线段的长分别是3，8，a，若它们能构成三角形，则整数a的最大值是(　　) A.11 B.10 C.9 D.7 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 2.(2023·达州)如图，AE∥CD，CA平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝(　　) A.52° B.50° C.45° D.25° 第2题图 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 3.在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC的形状是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 A 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 4.如图，在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝42°，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，那么∠EDF＝______°. 第4题图 110 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 5.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，F是AC的中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°. (1)∠AEC的度数为_____； (2)若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝___. 50° 10 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 请完成《练测本》P30～31素养练测16 本讲内容结束 $$