第一编 第三单元 第14讲 二次函数的实际应用与综合（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第三单元　函数 第14讲　二次函数的实际应用与综合 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题 课标要求 二次函数的综合应用 模型 (2)最大面积 类型 (1)最大利润 (3)拱桥问题(隧道问题) (4)线段最值问题 (5)动点问题 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 (1)自变量的取值范围是全体实数，函数在顶点处取最值; (2)x1≤x≤x2:当－在x1，x2之间时，函数最值在①_______处取得;  当－不在x1，x2之间时，函数最值为②_______或③______对应的函数值  模型 顶点 x1 x2 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 5 (1)最大利润 此升彼降(单价升，销量降；单价降，销量升) 总利润＝单件利润×总销售量 (2)最大面积 方法：相似三角形对应高之比等于相似比 方法：相似三角形 关键：用一个量表示另一个量 (3)拱桥问题 (隧道问题) 汽车能否通过(设车宽为x，求出y的值，再与车高作比较) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 6 (4)线段最值问题：线段和最小、差最大， 周长最小(三角形，四边形) (5)动点问题 构成△≌△，△∽△，Rt△，等腰△ 构成四 边形 已知A，B 两点 AB为边 (如图1) AB为对角线 (如图2) 图1 图2 已知A，B，C三点(如图3) 图3 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 7 考点综述 素养积累 02 8 核心知识 1 面积问题 例1 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是(　　) A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 【解析】分别计算三个方案的菜园面积或最大面积进行比较即可. C 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°.直角边AC＝3 m，BC＝4 m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG的面积最大时，EF的长为____m. 2.5 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 结合面积公式、相似等知识，将几何问题代数化，用二次函数表示几何图形的面积，根据二次函数求(最)值. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 核心知识 2 抛物线形问题 例2 (2024·宣汉县一模)某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科” “技”“之”“星”(分别记作点A，B，C，D)四个大字，要求BC∥AD，最高点的五角星(点E)到BC的距离为0.5米，BC＝2米，AD＝4米，则点C到AD的距离为____米. 1.5 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 则可设C(1，n)，D(2，m). ∴E(0，n＋0.5). 设抛物线的表达式为y＝ax2＋n＋0.5. 将点C，D的坐标代入上式，得 整理，得a＝－0.5，n－m＝－4a－0.5＝1.5. ∴点C到AD的距离为1.5米. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞行的最大高度为(　　) A.5 m B.20 m C.20.5 m D.25 m B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 实际生活中的抛物线形问题转化为二次函数模型，运用二次函数的最值、增减性等知识解决实际问题. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 核心知识 3 销售问题 例3 (2024·遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7 200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元. (1)A，B两种客房每间定价分别是多少元？ 解：设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元.根据题意，得 解得 答：A，B两种客房每间定价分别是200元、120元. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 (2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？ 解：由题意，设A种客房每间定价为m元，则 W＝m(24－)＝－(m－220)2＋4 840. ∵－＜0， ∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4 840. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4 840元. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 (2021·达州)渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/kg，根据市场调查发现，批发价定为48元/kg时，每天可销售500 kg.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50 kg. (1)写出工厂每天的利润W元与每千克降价x元之间的函数关系.当每千克降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 解：由题意，得W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000. 当x＝2时，W＝(48－30－2)×(500＋50×2)＝9 600(元). 答：工厂每天的利润W元与每千克降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x＋9 000.当每千克降价2元时，工厂每天的利润为9 600元. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 (2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ 解：由(1)，得W＝－50x2＋400x＋9 000＝－50(x－4)2＋9 800. ∵－50＜0， ∴当x＝4时，W的最大值为9 800. 答：当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 (3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则每千克定价应为多少元？ 解：令－50x2＋400x＋9 000＝9 750， 解得x1＝3，x2＝5. ∵让利于民，∴x＝5.∴48－5＝43(元). 答：每千克定价应为43元. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 借助二次函数的关系式、增减性、最值等相关知识，同时结合一次函数、分段函数解决生活中的销售问题. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例4 (2023·达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式； 解：由题意设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)， 则－3a＝3.解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的 最大面积及此时点P的坐标； 解：由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y＝－x＋3. 过点P作y轴的平行线交CB于点H. 设P(m，－m2＋2m＋3)，则H(m，－m＋3). 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∴S△PBC＝S△PHC＋S△PHB ＝PH·OB ＝(－m2＋2m＋3＋m－3) ＝－(m－)2＋≤. ∴△PBC的最大面积为，此时P(，). 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)若M是抛物线对称轴上一动点，N为坐标平面 内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为 顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的 坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点N的坐标为(4，－)或(4，)或(－2，＋3)或 (－2，－＋3). [∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∴设M(1，t)，N(x，y). 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 已知B(3，0)，C(0，3). ①若BC为菱形BCMN的边长， 则BC2＝CM2，即32＋32＝12＋(t－3)2. 解得t1＝＋3，t2＝－＋3. ∵∴ ∴N1(4，)，N2(4，－)； 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ②若BC为菱形BCNM的边长， 则BC2＝BM2，即32＋32＝(3－1)2＋t2. 解得t3＝，t4＝－. ∵∴ ∴N3(－2，＋3)，N4(－2，－＋3).] 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s＝16t－4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为(　　) A.13 m B.14 m C.15 m D.16 m D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 2.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的距离OA＝____m. 10 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 3.(渠县中学月考)标准大气压下，质量一定的水的体积V(cm3)与温度t(℃)之间的关系满足二次函数V＝t2＋104(t＞0)，则当温度为4 ℃时，水的体积为____cm3. 106 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 4.(2017·达州)宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝ (1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？ 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 解：根据题意，得 若7.5x＝70，解得x＝＞4，不合题意； ∴5x＋10＝70，解得x＝12. 答：工人甲第12天生产的产品数量为70件. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 (2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图所示.工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？ 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 解：由函数图象可知，当0≤x≤4时，P＝40. 当4＜x≤14时，设P＝kx＋b，将点(4，40)，(14，50)代入P＝kx＋b，得 解得 ∴P＝x＋36. ①当0≤x≤4时， W＝(60－40)·7.5x＝150x. ∵W随x的增大而增大， ∴当x＝4时，W最大＝600； 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 ②当4＜x≤14时， W＝(60－x－36)(5x＋10) ＝－5x2＋110x＋240 ＝－5(x－11)2＋845. ∴当x＝11时，W最大＝845. ∵845＞600，∴当x＝11时，W取得最大值845. 综上所述，W与x的函数关系式为 W＝ 第11天时，利润最大，最大利润是845元. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 5.(2019·达州)如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过 点A(1，0)，B(－3，0). (1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标； 解：由A(1，0)，B(－3，0)，得 y＝－(x－1)(x＋3). ∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3， 顶点C的坐标为(－1，4). 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 (2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO＋∠CDO)＝4时，求点D的坐标； 解：∵抛物线顶点C的坐标为(－1，4)， ∴抛物线对称轴为直线x＝－1. 设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H(－1，0). 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1， ∴tan∠COH＝＝4. ∵∠COH＝∠CAO＋∠ACO， ∴当∠ACO＝∠CDO时， tan (∠CAO＋∠CDO)＝tan∠COH＝4. 如图，当点D在对称轴左侧时. ∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠DAC， ∴△AOC∽△ACD. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 ∴＝. ∵AC＝＝2，AO＝1， ∴＝.∴AD＝20. ∴OD＝19. ∴D(－19，0)； 当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝－1的对称点D'的坐标为(17，0). ∴点D的坐标为(－19，0)或(17，0). 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 (3)如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上 位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点 N，△BMP和△EMN的面积分别为m，n，求m－n的最 大值. 解：设P(a，－a2－2a＋3)，－3＜a＜0， 直线PA的解析式为y＝kx＋d. 将P(a，－a2－2a＋3)，A(1，0)代入y＝kx＋d，得 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 解得 ∴直线PA的解析式为y＝(－a－3)x＋a＋3. 当x＝0时，y＝a＋3. ∴N(0，a＋3). ∵S△BMP＝S△BPA－S四边形BMNO－S△AON， S△EMN＝S△EBO－S四边形BMNO， 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 ∴S△BMP－S△EMN＝S△BPA－S△EBO－S△AON＝ ×4×(－a2－2a＋3)－×3×3－×1×(a＋3)＝－2a2－a＝－2(a＋)2＋. 由二次函数的性质知，当a＝－时， S△BMP－S△EMN有最大值，最大值为. ∵△BMP和△EMN的面积分别为m，n， ∴m－n的最大值为. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 请完成《练测本》P26～27素养练测14 本讲内容结束 $$