第一编 第三单元 第13讲 二次函数的图象与性质（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第三单元　函数 第13讲　二次函数的图象与性质 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 课标要求 1 二次函数的图象与性质 定义:形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 二次函数的图象与a，b，c的关系 表达式求法 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 4 图象与性质 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 增 减 性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 图象与性质 对称轴 直线x＝0 (y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 图象 (a＞0) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或 代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 |a|越大，开 口越② ______ a＜0 开口向①_____ b b＝0 对称轴为③________轴  ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 下 小 y 简称“左同” 简称“右异” 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 c c＝0 经过④________点  c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑤________半轴相交  特殊 关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝⑥_________ 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y⑦________0  原 负 a－b＋c ＜ 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 待定系数法:(1)设;(2)代;(3)解;(4)答 表达式求法 形式 一般式:y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式:y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式:y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 平移变换 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得 y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】平移变换的关键:(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移;(2)实质是点平移，重点关注顶点平移;(3)方法:左加右减，上加下减;(4)平移坐标轴与此方法相反. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值 课标要求 2 与方程、 不等式的关系 与方程的关系 与x轴有⑧________个交点⇔对应方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0  与x轴有⑨________个交点⇔对应方程有两个相等的实数根⇔ Δ⑩________0  与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑪________0  2 1 ＝ ＜ 结合函数图象 分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 10 考点综述 素养积累 02 11 核心知识 1 二次函数的定义 例1 若y＝(m2＋m)－x＋3是关于x的二次函数，则m＝___. 【解析】由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0.解得m＝3. 3 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 下列函数中，是二次函数的是(　　) A.y＝2x－1 B.y＝ C.y＝3－x2 D.y＝(x－1)2－x2 C 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 考查二次函数的定义，注意二次函数的二次项系数不为0这个关键条件. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 2 二次函数的图象与性质 例2 (2024·凉山州)抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，(，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　) A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y1＞y2 D.y1＞y3＞y2 D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 【解析】由题意可知，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小. ∵点(，y3)关于直线x＝1的对称点是(－，y3)，－2＜－＜0＜1， ∴y1＞y3＞y2.故选D. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 1.(渠县中学月考)设A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－x2－2x＋3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A.y2＞y1＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2 A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.2 【解析】∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上. ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小. 当x＝0时，y最大＝－1； 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大. 当x＝3时，y最大＝9－6－1＝2. ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.故选D. D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 考查二次函数的对称性、增减性、最值以及各点距离对称轴的远近与函数值的关系. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 3 二次函数图象的平移 例3 把抛物线y＝－2(x－1)2＋3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数表达式是(　　) A.y＝－2(x－3)2＋6 B.y＝－2(x－3)2 C.y＝－2(x＋1)2＋6 D.y＝－2(x＋1)2 C 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　) A.(m，n＋1) B.(m＋1，n) C.(m，n－1) D.(m－1，n) 【解析】将抛物线y＝ax2(a≠0)向左平移1个单位长度得到抛物线y＝a(x＋1)2，那么在抛物线y＝ax2上的点P(m，n)向左平移1个单位长度后的点(m－1，n)就在抛物线y＝a(x＋1)2上.故选D. D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 二次函数图象的平移熟记口诀“自变量左加右减、常数项上加 下减”. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 4 二次函数与系数a，b，c及 一元二次方程的关系 例4 (2024·达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是 (　　) A.b＋c＞1 B.b＝2 C.b2＋4c＜0 D.c＜0 【思路点拨】由于抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别记为(x1，0)和(x2，0)，不妨令x1＞1，x2＜1，则(x1－1)(x2－1)＜0即可求解. A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 [2024·达州(7＋3)一适]如图所示是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋c＞0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1没有实数根.其中正确的结论个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 5 用待定系数法求二次函数的解析式 例5 1.(1)已知抛物线y＝2x2＋c经过点(1，－2)，求抛物线的解析式； 解：将点(1，－2)代入y＝2x2＋c，得－2＝2×12＋c.解得c＝－4. ∴抛物线的解析式为y＝2x2－4. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 (2)若抛物线y＝x2＋bx＋c经过(1，0)和(3，0)两点，求抛物线的解析式； 解：将(1，0)和(3，0)代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. [另解：∵抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)两点，且二次项系数为1， ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3.] 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 (3)已知抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(－1，0)，求抛物线的解析式； 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴－＝1，可得a＝1. 将点(－1，0)代入y＝x2－2x＋c，得 1＋2＋c＝0.解得c＝－3. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 (4)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)顶点的纵坐标为1，且与x轴正半轴的交点为A，且OA＝2，求抛物线的解析式； 解：由题意知A(2，0)，抛物线过原点(0，0). ∵顶点坐标的纵坐标为1，∴顶点坐标为(1，1). ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 (5)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－2，0)，B(1，3)两点，且抛物线与y轴交于点C(0，－2)，求抛物线的解析式. 解：将A(－2，0)，B(1，3)，C(0，－2)代入抛物线的解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝2x2＋3x－2. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 考查用待定系数法求二次函数解析式. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.(创编)已知二次函数y＝x2－2x－3. (1)用配方法将解析式化为y＝(x－h)2＋k的形式，并写出顶点坐标和对 称轴； 解：y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1. (2)将解析式化为y＝a(x－x1)(x－x2)的形式，并写出函数图象与x轴的交点坐标. 解：y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)， 函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的形式为 ___________________. 变式 y＝2 (x－2)2＋5 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 熟练运用二次函数三种解析式的转换. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例5 (2019·达州)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1(m为常数)交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.下列四种说法： ①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点； ②若点M(－2，y1)、点N(，y2)、点P(2，y3)在该函数图象上， 则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得 抛物线解析式为y＝－(x＋1)2＋m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D，E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为＋. 其中正确判断的序号是__________. ①③④ 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 【解析】①把y＝m＋2代入y＝－x2＋2x＋m＋1，判断所 得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的变化规律求出平移后的解析式即可； ④由于BC＝，只要其他三边和最小即可，作点B关于y轴的对称点B'，作点C关于x轴的对称点C'，连接B'C'，与x轴、y轴分别交于点D，E，求出B'C'的长便是其他三边和的最小值. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2020·达州)如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是(　　) 第1题图 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 6 7 2.(2017·达州)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是 (　　) 第2题图 C 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 6 7 3.(2023·达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)关于直线x＝1对称.下列五个结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＞0；④am2＋bm＞a＋b；⑤3a＋c＞0.其中正确的有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第3题图 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 6 7 4.(2021·达州)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(2，0)，且对称轴为直线x＝，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③4a＋2b＋3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(，0)；⑤4am2＋4bm－b≥0.其中正确结论有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第4题图 D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 6 7 5.(2016·达州)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0； ③4ac－b2＜8a；④＜a＜；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是(　) A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤ D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 6 7 6.(2022·达州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，与y轴交于(0，－1)，对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m(am＋b)＞a＋b成立；④若点(－2，y1)，(，y2)，(2，y3)在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程｜ax2＋bx＋c｜＝k(k≥0，k为常数)的所有根的和为4.其中正确结论有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第6题图 A 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 6 7 7.(2018·达州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点M(，y1)、点N(，y2)是函数图象上的两点，则y1＜y2；④－＜a＜－.其中正确结论有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第7题图 D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 6 7 请完成《练测本》P24～25素养练测13 本讲内容结束 $$