第一编 第三单元 第12讲 反比例函数（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第三单元　函数 第12讲　反比例函数 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况 课标要求 1 反比例函数的图象与性质 图象与性质 k 的几何意义 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 图象与性质 表达式 y＝(k≠0)，y＝kx－1，xy＝k k的符号 k＞0 k＜0 图象(双曲线) 渐近性 图象与坐标轴无限接近，但永不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 图象与性质 增减性 在每一象限内(x＞0或x ＜0)，y随x的增大而 ①______ 在每一象限内(x＞0或x＜0)， y随x的增大而② ______ 对称性 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称，也关于原点成中心对称 面积不变 过图象上任一点作两坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成矩形的面积不变，恒为|k|，S△＝|k| 画法 (五点法) 在一个象限内取五个点，用平滑的曲线连接起来，再由对称性画出另一支 减小  增大 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 如图，过反比例函数图象上任一点P(x，y)分别作x轴、y轴 的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝③______，  同理可得S△POM＝S△PON＝S△PMN＝S△OMN＝|xy|＝|k| k 的几何意义 |k| 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求 2 能根据已知条件确定反比例函数的表达式 待定系 数法 (1)设反比例函数的表达式为y＝(k≠0);(2)找出反比例函数图象上的一点P(a，b); (3)将点P(a，b)代入表达式得k＝ab;(4)确定反比例函数的表达式为y＝ 利用k的 几何意义 当已知面积时，可考虑用k的几何意义.由面积得|k|值，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k值，代入表达式即可 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 8 (1)审题，确定自变量，因变量;(2)明确变量之间的数量关系;(3)根据数量关系确定反比例函数解析式;(4)根据题意确定自变量的取值范围;(5)根据反比例函数的性质解决相应问题;(6)对答案进行检验，符合题意后作答. 课标要求 3 能用反比例函数解决简单实际问题 反比例函 数的实际 应用 一般 步骤 常见应用公式 (1)行程问题:速度＝;(2)工程问题:工作效率＝; (3)压强问题:压强＝;(4)电学问题:电阻＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 9 考点综述 素养积累 02 10 核心知识 1 反比例函数的定义 例1 下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝＋2 B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 若y＝(m＋1)x｜m｜－2是关于x的反比例函数，则m的值为__. 1 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 考查反比例函数的定义，反比例函数定义中，k≠0，且x的次数为－1. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 2 反比例函数的图象与性质 (对称性、增减性) 例2 1.(2021·达州)在反比例函数y＝(k为常数)上有三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 (　　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y3＜y2 D.y3＜y2＜y1 C 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 2.在平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是(　　) A.y＝x2 B.y＝ C.y＝2x－4 D.y＝－x(x＞0) B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 1.(2013·达州)点(x1 ，y1)，(x2 ，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的取值可以是_____________________.(只填一个符合条件的k的值) －1(小于0的数均可) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 2.关于反比例函数y＝－的图象——双曲线，下列说法不正确的是 (　　) A.过双曲线上任意一点M作y轴的垂线，垂足为点N，则△OMN的面积 为6 B.此双曲线分布在第二、四象限，y随x的增大而增大 C.双曲线关于直线y＝x成轴对称 D.此双曲线上的点到原点的最短距离为2 B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 1.考查反比例函数的图象分布及增减性：当k＞0时，图象分布于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象分布于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大. 2.考查反比例函数图象的对称性，反比例函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 3 反比例函数中k的几何意义 例3 (2024·东安雄才学校一模)如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边AC平行于x轴，过点A作AC的垂线，交CO于点B，且BC＝2BO，反比例函数y＝(k为常数，且k≠0，x＜0)的图象经过点A，若△ABC的面积为4，则k的值为_____. －6 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 【解析】延长CA交y轴于点D. ∵AC∥x轴，∴CD⊥OD. ∵AB⊥AC，∴AB∥OD.∴△CAB∽△CDO. ∵BC＝2BO，∴OC＝3BO.∴＝. ∵△ABC的面积为4，∴S△COD＝9，S△COA＝6. ∴S△AOD＝S△COD－S△COA＝3. ∵反比例函数y＝(k为常数，且k≠0，x＜0)的图象经过点A，且在第二象限， ∴S△AOD＝－＝3.∴k＝－6. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 (2023·达州)如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为____. －6 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 考查反比例函数系数k的几何意义，熟记与之相关的基本图形. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 4 反比例函数的实际应用 例4 跨学科融合 (2023·南充)小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省______N的力.(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂) 【解析】根据“杠杆原理”有FL＝1 000×0.6＝600.∴函数的表达式为F＝.当L＝1.5时，F＝＝400；当L＝2时，F＝＝300.因此，撬动这块石头可以节省的力为400－300＝100(N). 100 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 (开江县期末)小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的函数关系如图所示.如果小明要在7 min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____字/min. 200 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 考查反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的思想. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例5 (2015·达州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点B在x轴负半轴上，AO＝，tan∠AOB＝，一次函数y＝k1x＋b的图象过A，B两点，反比例函数y＝的图象过OA的中点D. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：连接AC交BO于点E，过点D作DF⊥OB于点F. ∵四边形ABCO是菱形， ∴AE⊥BO，且BO＝2EO. ∵tan∠AOB＝，∴＝. 设AE＝x，则EO＝2x. ∵AE2＋EO2＝AO2，AO＝， ∴x2＋(2x)2＝()2. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解得x1＝1，x2＝－1(舍去). ∴AE＝1，EO＝2.∴A(－2，1)，B(－4，0). 将A(－2，1)，B(－4，0)代入y＝k1x＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. ∵DF⊥BO，AE⊥BO， ∴DF∥AE.∴△DFO∽△AEO. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∵D为AO的中点， ∴＝＝.∴D(－1，). 将D(－1，)代入y＝，得k2＝－. ∴反比例函数的表达式为y＝－. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)平移一次函数y＝k1x＋b的图象得y＝k1x＋b1，当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时，求b1的取值范围. 解：令x＋b1＝－，整理，得x2＋2b1x＋1＝0. 当(2b1)2－4×1×1＜0时，直线y＝x＋b1与双曲线y＝－没有交点，此时－1＜b1＜1. ∴当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时，－1＜b1＜1. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2016·达州)下列说法中不正确的是(　　) A.函数y＝2x的图象经过原点 B.函数y＝的图象位于第一、三象限 C.函数y＝3x－1的图象不经过第二象限 D.函数y＝－的值随x的值的增大而增大 D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 2.(2020·达州)如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，则△OAB的面积是___. 9 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 3.(2019·达州)如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2－k1＝___. 4 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 4.(2022·达州)如图，一次函数y＝x＋1与反比例函数y＝的图象相交于A(m，2)，B两点，分别连接OA，OB. (1)求这个反比例函数的表达式； 解：∵一次函数y＝x＋1经过点A(m，2)， ∴m＋1＝2.∴m＝1.∴A(1，2). ∵反比例函数y＝经过点A(1，2)，∴k＝2. ∴反比例函数的解析式为y＝. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 (2)求△AOB的面积； 解：联立解得或 ∴B(－2，－1). ∵C(0，1)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×1×2＋×1×1＝1.5. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为(－3，－3)或(－1，1)或(3，3). 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 请完成《练测本》P22～23素养练测12 本讲内容结束 $$