第一编 第三单元 第11讲 一次函数（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第三单元　函数 第11讲　一次函数 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 能画一次函数的图象，根据图象和表达式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0的图象变化情况；理解正比例函数 课标要求 1 一次函数的图象与性质 一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数) 倾斜方向和增减性 k＞0 k＜0 增大 从左向右看图象呈上升趋势 y随x的增大而 ① ______ 从左向右看图象呈下降趋势 y随x的增大而 ② ______ 减小 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 4 一次函数的图象与性质 图象 (示意图) b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 所在象限 一、二、 三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的 交点位置 b＞0⇔交点在y轴正半轴上；b＝0⇔交点在原点；b＜0⇔交点在y轴负半轴上 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 【提分点拨】1.|k|越大⇔直线与x轴夹的锐角越大⇔直线越陡. 2.两直线l1:y1＝k1x＋b1，l2:y2＝k2x＋b2的位置关系:(1)l1∥l2⇔k1＝k2;(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1; (3)l1和l2交于y轴同一点⇔b1＝b2;(4)l1和l2交于x轴同一点⇔－＝－，即. 一次函数的图象与性质 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 (1)设:设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)(题干中未给表达式时需设); (2)列:把已知条件(图象上点的坐标)代入所设表达式中得到含待定系数的方程组; (3)解:解方程组求待定系数k，b的值; (4)写:将所求待定系数的值代回所设的函数表达式中，从而写出函数表达式 课标要求 2 会运用待定系数法确定一次函数的表达式 一次函数 表达式的 确定 方法：待定系数法 一般步骤 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 7 一次函数的表达式就是一个二元一次方程 方程k2x＋b2＝0的解是点③________的横坐标  课标要求 3 体会一次函数与二元一次方程的关系 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与方程(组)的关系(如图) B 方程组 y1＝k1x＋b1， y2＝k2x＋b2 【提分点拨】求两个函数交点坐标的方法：(1)联立成方程组；(2)画图. 的解是点④________的横、纵坐标对应的值  C 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 8 (1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式⑤____________的解集；  (2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式⑥____________的解集  一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与不等式的关系 kx＋b＞0 kx＋b＜0 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求 4 能用一次函数解决简单实际问题 一次函 数的实 际应用 一般步骤 常见类型 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 10 (1)根据题意设定问题中的变量;(2)建立一次函数模型;(3)确定自变量的取值范围;(4)与方程(组)或不等式(组)结合解决实际问题. 【提分技法】一次函数y＝kx＋b(k≠0)的自变量x的取值范围是 ⑦__________，图象是⑧___________，因此没有最大值与最小值.但由实际问题得到的一次函数解析式中，自变量的取值范围一般受到限制，故图象为线段或射线，根据一次函数的性质，就存在最大值或最小值.  一般步骤 全体实数 一条直线 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 11 (1)简单应用:一般只涉及一个简单解析式的实际问题，要根据解析式求变量的值、求最大(小)值等. (2)分段函数问题:函数关系随自变量取值范围的变化而变化，如阶梯收费问题(水费、电费、出租车收费等)、促销问题、计算机程序等. (3)双图象问题:问题情境涉及两个相关解析式，如方案选择、相遇问题等. 常见类型 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 12 考点综述 素养积累 02 13 核心知识 1 一次函数的定义 例1 若函数y＝(m－1)x｜m｜＋2是关于x的一次函数，则m的值为(　　) A.1 B.－1 C.±1 D.2 B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 变式 下列函数中，是正比例函数的是(　　) A.y＝－8x B.y＝－ C.y＝5x2＋6 D.y＝－0.5x－1 A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 　 考查一次函数和正比例函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k，b为常数，k≠0，自变量次数为1. 　　正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数，k≠0，自变量次数为1. 二者的关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数(b为0). 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 核心知识 2 一次函数图象与性质 例2 若一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是(　　) A.m＞－ B.m＜3 C.－＜m＜3 D.－＜m≤3 【解析】根据题意，得 解得－＜m≤3 .故选D. D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 变式 (2024·宣汉县一模)在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝(k＋3)x－4经过第一、三、四象限，则k的取值范围是_________. k＞－3 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 一次函数的图象、性质与k，b的关系：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.图象与y轴的交点坐标为(0，b)，当b＞0时，与y轴交于正半轴；当b＝0时，过原点；当b＜0时，与y轴交于负半轴. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 核心知识 3 用待定系数法求一次函数解析式 例3 (2022·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(4，3)，(－2，0)，且与y轴交于点A. (1)求该函数的解析式及点A的坐标； 解：把点(4，3)，(－2，0)代入y＝kx＋b，得解得 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 ∴该函数的解析式为y＝x＋1. 当x＝0时，y＝x＋1＝1. ∴点A的坐标为(0，1). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 (2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围. 解：由题意，得x＋n＞x＋1. 解得x＞2－2n. ∵x＞0，∴2－2n≤0.∴n≥1， 即n的取值范围为n≥1.(或根据图象得出结果) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 核心知识 4 一次函数图象的几何变换 例4 1.(2023·雅安)在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为(　　) A.y＝－x＋1 B.y＝x＋1 C.y＝－x－1 D.y＝x－1 A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 一次函数图象的平移，熟记“左加右减自变量、上加下减常数项”口诀.考查一次函数图象的旋转，突破口是将直线的旋转问题转化为点的旋转问题. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 2.如图，与图中直线y＝－x＋1关于x轴对称的直线的函数表达式是_________. 【解析】∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y＝－x＋1关于x轴对称的直线的函数表达式是－y＝－x＋1，即y＝x－1. y＝x－1 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 考查一次函数图象的对称变换，解决此类题型的突破口是将直线的对称转化成点的对称. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 变式 1.一次函数y＝2x＋b的图象过点(0，2)，将函数y＝2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为__________. 2.(创编)已知直线l1的表达式为y＝－2x＋b，若直线l1与直线l2关于y轴对称，且l2经过点(1，6)，则b的值为(　　) A.8 B.4 C.－8 D.－4 y＝2x＋7 B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 核心知识 5 两直线平行或相交问题(平行、 垂直、交点坐标) 例5 1.已知某一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，且与直线y＝3x＋4交于y轴的同一点，则此一次函数的表达式为__________. y＝2x＋4 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 【解析】设一次函数的表达式为y＝kx＋b. ∵一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，∴k＝2. 在直线y＝3x＋4中，当x＝0，y＝4， ∴该图象与y轴交于点(0，4). 将点(0，4)代入y＝2x＋b，得b＝4. ∴此一次函数的表达式为y＝2x＋4. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 考查两个或多个一次函数图象互相平行时，k值相等，但b值不 相等. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 2.在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x－5与y2＝2x－4.则这两个函数图象的交点坐标为________. 【解析】由题意，令3x－5＝2x－4，解得x＝1.当x＝1时，y1＝y2＝ －2. ∴这两个函数图象的交点坐标为(1，－2). (1，－2) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 考查一次函数交点坐标的求法：联立两个一次函数表达式得一次方程(组)，求得x，y的值即为交点的横、纵坐标. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 3.(创编)如图，直线y＝2x＋4与两坐标轴分别交于A，B两点，直线BC与直线AB垂直，垂足为B，则直线BC的函数表达式为____________. y＝－x－1 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 【解析】∵直线BC与直线AB垂直，∴设直线BC的函数表达式为y＝ －x＋b. 对于y＝2x＋4，令y＝0，得x＝－2. ∴B(－2，0). ∴－×(－2)＋b＝0.解得b＝－1. ∴直线BC的函数表达式为y＝－x－1. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 考查两个一次函数图象互相垂直时，两个k值互为负倒数，即k1·k2＝－1. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 (2020·达州)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 核心知识 6 一次函数的实际应用 例6   原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380 940 餐椅 a－140 160 已知用600元购进的餐椅数量与用1 300元购进的餐桌数量相同. (1)求表中a的值； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 解：根据题意，得＝. 解得a＝260. 经检验，a＝260是原分式方程的解，且符合题意. 答：表中a的值为260.   原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380 940 餐椅 a－140 160 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 解：设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x＋20)张. 根据题意，得x＋5x＋20≤200. 解得x≤30. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 设获得利润为y元，根据题意，得 y＝[940－260－4×(260－140)]×x＋(380－260)×x＋[160－(260－140)]×(5x＋20－4×x)＝280x＋800. ∵280＞0，∴y随x的增大而增大. ∴当x＝30时，y取最大值，最大值为280×30＋800＝9 200(元)，此时5x＋20＝170. 答：当购进餐桌30张和餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9 200元. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 一次函数的实际应用一般涉及的问题 1.求函数解析式，常用以下方法： (1)利用题干中的关系式； (2)利用待定系数法. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 2.选择最优方案或方案选取：当给定x值选取方案时，将x的值代入解析式，判断y值结果大小；给定y值选取方案时，将y的值代入解析式，判断x值结果大小；当x，y值均未给定时，若为多种方案的选取，将多种方案的函数关系式组成不等式，求解对应的x的取值范围. 3.利润最大或费用最少：一般由图象、题干中的数量关系或费用关系列出不等式，求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最大利润或最少费用. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识6 考点综述 素养提升 03 例7 如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，则当线段AB最短时，点B的坐标为(　　) A.(0，0) B.(，－) C.(－，－) D.(－，－) 【思路点拨】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E. C 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考查一次函数与x轴夹角为特殊角时与k的关系：当与x轴的锐角夹角为30°时，｜k｜＝；当与x轴的锐角夹角为45°时，｜k｜＝1；当与x轴的锐角夹角为60°时，｜k｜＝.k的正负性可以根据函数图象的增减性判断. 解 题 反 思 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2014·达州)直线y＝kx＋b不过第四象限，则(　　) A.k＞0，b＞0 B.k＜0，b＞0 C.k＞0，b≥0 D.k＜0，b≥0 C 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 2.(2017·达州)甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动.已知线段AB长为90 cm，甲的速度为2.5 cm/s.设运动时间为x(s)，甲、乙两点之间的距离为y(cm)，y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为________________________.(并写出自变量取值范围) 第2题图 y＝4.5x－90(20≤x≤36) 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 3.如图，已知函数y＝ax＋b和y＝cx＋d的图象交于点M，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组 的解为_____________. 第3题图 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 4.(2024·凉山州)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为____. 9 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 5.(2023·成都)2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元. (1)求A，B两种食材的单价； 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 解：设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克.由题意，得 解得 答：A种食材单价为38元/千克，B种食材单价为30元/千克. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 (2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用. 解：设A种食材购买m千克，则B种食材购买(36－m)千克.由题意，得 m≥2(36－m)，∴24≤m≤36. 设总费用为w元.由题意，得 w＝38m＋30(36－m)＝8m＋1 080. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 ∵8＞0，∴w随m的增大而增大. ∴当m＝24时，w的值最小，最小值为8×24＋1 080＝1 272(元). 答：购买A种食材24千克，B种食材12千克时，总费用最少，最少总费用为1 272元. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 请完成《练测本》P20～21素养练测11 本讲内容结束 $$