第一编 第二单元 第6讲 一元二次方程及其解法（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第二单元　方程与不等式 第6讲　一元二次方程及其解法 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 课标要求 1 一元二次方程及其解法 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①______的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 解法  方法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ≥0)→(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝ 因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 课标要求 2 一元二次方程根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔一元二次方程没有实数根 不能说只有一个根. (1)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况，注意a≠0; 　　 (2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0注意分类讨论，方程有实数根 ⇔ (i)a＝0; (ii)a≠0，且Δ≥0. 如关于x的方程ax2＋5x－2＝0有实数根，则a②__________.  ≥－ 易错 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 5 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝③_____， x1x2＝④______  课标要求 3 了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方 程的根与系 数的关系 运用 易错 [注意：Δ≥0是前提条件] － 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 6 平方型:＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型:(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型: 绝对值型:|x1－x2|＝ 因式分解型:x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 题目中涉及根与系数的关系，一定要考虑Δ≥0，如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中， 两根x1，x2同为正数，则Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0; 两根x1，x2都大于1，则Δ≥0，(x1－1)＋(x2－1)＞0，(x1－1)(x2－1)＞0. 易错 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 考点综述 素养积累 02 9 核心知识 1 一元二次方程的定义及解法 例1 1.若方程(a－2)x｜4－a｜＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为__. 【解析】∵方程(a－2)x｜4－a｜＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，∴｜4－a｜＝2且a－2≠0.解得a＝6. 6 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 2.按要求解下列方程： (1)4(x－1)2＝9(直接开方法)； 解：原方程变形为(x－1)2＝. ∴x－1＝±.∴x1＝，x2＝－. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 (2)x2－8x＋13＝0(配方法)； 解：移项，得x2－8x＝－13. 配方，得x2－8x＋16＝－13＋16， 即(x－4)2＝3. 开平方，得x－4＝±. ∴x1＝4＋，x2＝4－. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 (3)2x2－3x－4＝0(公式法)； 解：这里a＝2，b＝－3，c＝－4， Δ＝(－3)2－4×2×(－4)＝41＞0. ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 (4)(x－3)2＋4x(x－3)＝0(因式分解法). 解：因式分解，得 (x－3)(x－3＋4x)＝0，即(x－3)(5x－3)＝0.∴x－3＝0或5x－3＝0. ∴x1＝3，x2＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的有(　　) ①x2＋；②｜x｜＝x＋3；③(x＋2)(x－2)＝x2－2x；④ax2＋bx＋c＝0. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.若方程5x2－x－3＝x2－3＋x化为一般形式的二次项系数是4，则方程的一次项系数是_____，常数项是___. A －2 0 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 3.解方程：x2＋2x－3＝0. 解：原方程变形为(x＋3)(x－1)＝0. ∴x＋3＝0或x－1＝0. ∴x1＝－3，x2＝1. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 2 一元二次方程的根 例2 (2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 1.若关于x的一元二次方程ax2＋bx－3＝0(a≠0)有一个根为x＝2 025，则方程a(x－1)2＋bx－3＝b必有一根为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 2.已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，则估计x1的近似值最接近(　　) A.－1.5 B.－1.3 C.－1.0 D.－0.8 D B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 3 一元二次方程根的判别式 例3 1.(2015·达州)方程(m－2)x2－x＋＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　) A.m＞ B.m≤且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2 B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 2.(2013·达州)若方程3x2－6x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 1.(2024·河南)若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根， 则c的值为_____. 2.已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，那么a的取值范围是_______. 【解析】∵关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，∴a≠0，且Δ＜0，即62－4a＜0.解得a＞9. a＞9 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 4 一元二次方程根与系数的关系 例4 已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为(　　) A.－3 B.－1 C.－3或1 D.－1或3 A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 【解析】∵方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2. ∵(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝3， ∴m2＋2m－1＋1＝3.解得m1＝1，m2＝－3. ∵方程有两实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，即m≤.∴m1＝1不合题意，舍去. ∴m＝－3.故选A. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC，BD的长分别是一元二次方程x2－mx－x＋2m＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，则DH的长为(　　) A. B. C. D.3 A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例5 关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； 解：∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＞0，即4k－11＞0.∴k＞. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)用含k的代数式表示｜x1－x2｜； 解：由一元二次方程的求根公式，得不妨令x1＝，x2＝. ∴｜x1－x2｜＝. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)是否存在实数k，使得｜x1｜－｜x2｜＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由. 解：存在. ∵k＞，∴2k－1＞0，＞0. ∴x1＞0. 又∵x1·x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0， ∴x2＞0. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 当｜x1｜－｜x2｜＝时， x1－x2＝，即＝. ∴4k－11＝3.∴k＝. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2024·达中附属实验适应)已知α，β是一元二次方程x2－2 022x＋2 023＝0的两个根，则α2－2 023α－β的值等于_________. －4 045 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 2.(2024·成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为___. 7 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 3.(2023·达州)已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为___. 7 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 4.(2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0且mn≠1，则的值为__. 3 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 5.[2024·达州(7＋3)一适]已知m，n是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则代数式2m2＋n2＋m的值等于____. 10 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 请完成《练测本》P10～11素养练测6 本讲内容结束 $$