第一编 第一单元 小专题1 代数式恒等变形（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第一单元　数与式 小专题1　代数式恒等变形 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 目 录 素养发展 素养积累 考点综述 素养积累 01 3 素养导向 1 整体代入 例1 1.已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，求23m＋10n－2.(用含a，b的式子表示) 解：∵2m＝a，32n＝25n＝b，m，n为正整数， ∴23m＋10n－2＝23m×210n÷22＝(2m)3×(25n)2÷4＝a3b2. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 2.已知2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9，则4x2＋4xy＋9y2的值为____. 【解析】∵2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9， ∴4x2＋4xy＋9y2＝2(2x2－xy)＋3(3y2＋2xy)＝12－27＝－15. －15 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 3.已知代数式ax4＋bx3＋cx2＋dx＋3.当x＝2时，代数式的值为20；当x＝－2时，代数式的值为16.当x＝2时，代数式ax4＋cx2＋3的值为____. 【解析】由已知，得 两式相加，得32a＋8c＝30. ∴16a＋4c＝15. 当x＝2时， ax4＋cx2＋3＝16a＋4c＋3＝15＋3＝18. 18 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 4.设m，n是一元二次方程x2－4x－3＝0的两个根，则m2－3m＋n＝( 　) A.－7 B.7 C.－17 D.17 【解析】∵m，n是一元二次方程x2－4x－3＝0的两个根，∴m＋n＝4，m2－4m－3＝0. ∴m2－4m＝3.则m2－3m＋n＝m2－4m＋(m＋n)＝3＋4＝7.故选B. B 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 5.(创编)如果a，b，c是正数，且满足a＋b＋c＝9，＋＋＝，求＋＋的值. 解：∵＋＋＝， ∴＋＋＝10. ∵a＋b＋c＝9，∴a＝9－(b＋c)，b＝9－(a＋c)，c＝9－(a＋b). 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 ∴＋＋ ＝＋＋ ＝－1＋－1＋－1 ＝10－3 ＝7. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 6.已知(x＋1)5＝ax5＋bx4＋cx3＋dx2＋ex＋f. 当x＝1时，(1＋1)5＝a×15＋b×14＋c×13＋d×12＋e×1＋f ＝a＋b＋c＋d＋e＋f. ∴a＋b＋c＋d＋e＋f ＝25＝32. 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法.请你巧用赋值法，尝试解答下列问题. (1)当x为多少时，可求出f ？f 为多少？ 解：令x＝0，则f ＝(0＋1)5＝1. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 (2)求－a＋b－c＋d－e＋f 的值； 解：令x＝－1， 则－a＋b－c＋d－e＋f ＝(－1＋1)5＝0. (3)求b＋d＋f 的值. 解：当x＝1时，a＋b＋c＋d＋e＋f ＝32. 联立上式与(2)中结果可得2(b＋d＋f )＝32. ∴b＋d＋f＝16. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 变式 1.已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则a3＋a＋6b的值是 (　　) A.14 B.－14 C.7 D.10 A 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 2.已知实数x满足x＋＝4，求分式的值. 解：∵x＋＝4， ∴＝x＋3＋＝(x＋)＋3＝4＋3＝7. ∴＝. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 整体代入的核心就是利用代数的恒等变形构造“沟通条件与结论的整体”. 解 题 反 思 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 素养导向 2 绝对值化简 例2 已知a＞0，b＜0且｜a｜＜｜b｜，试化简： (1)＋； 解：∵a＞0，b＜0且｜a｜＜｜b｜， ∴－b＞0，ab＜0，a＋b＜0，a－b＞0. ＋＝＋＝1－1＝0. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 (2)－＋. 解：∵a＞0，b＜0且｜a｜＜｜b｜， ∴－b＞0，ab＜0，a＋b＜0，a－b＞0. －＋＝－＋＝－1＋1＋1＝1. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 变式 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示. (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b－c____0，a＋b____0，c－a___0； 解：[由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且｜b｜＜｜a｜＜｜c｜. ∴b－c＜0，a＋b＜0，c－a＞0.] ＜ ＜ ＞ 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 (2)化简：｜b－c｜＋｜a＋b｜－｜c－a｜. 解：｜b－c｜＋｜a＋b｜－｜c－a｜ ＝(c－b)＋(－a－b)－(c－a) ＝c－b－a－b－c＋a ＝－2b. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 绝对值的化简关键在于确定绝对值“｜ ｜”内代数式的符号，然后运用绝对值的意义进行化简. 解 题 反 思 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 素养导向 3 完全平方式及运用 例3 已知a，b为正数，且满足a2＋b2＝5，ab＝2. (1)求a＋b的值； 解：∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝5＋2×2＝9，∴a＋b＝±3. ∵a，b是正数，∴a＋b＝3. (2)求a2－b2的值. 解：∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－2×4＝1，∴a－b＝±1. ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝±3. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 变式 阅读材料： 若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值. 设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4) ＝5. ∴(4－x)2＋(x－9)2＝(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17. 请仿照上面的方法解决下面问题： 已知m满足(2m－5)2＋(4－2m)2＝5. (1)求(5－2m)(4－2m)的值； 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 解：设2m－5＝x，4－2m＝y， ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy， 4m－9＝(2m－5)－(4－2m)＝x－y， 2m－5＋4－2m＝x＋y＝－1. ∵(2m－5)2＋(4－2m)2＝5， ∴x2＋y2＝5. ∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2， ∴1＝5＋2xy.∴xy＝－2. ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy＝2. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 (2)求4m－9的值. 解：∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝5－2×(－2)＝9， ∴4m－9＝x－y＝±3. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 完全平方式含两个平方项与一个交叉项，在这三项中已知两项可确定第三项，但要注意，知道两个平方项确定交叉项时会有两种情况，易忽略带负号的交叉项. 解 题 反 思 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 素养导向 4 整除问题 例4 当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2是______　　　　　的倍数(　　) A.3 B.5 C.7 D.8 D 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 【解析】(2n＋1)2－(2n－1)2 ＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)] ＝4n×2 ＝8n. ∵n是整数， ∴(2n＋1)2－(2n－1)2是8的倍数.故选D. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 变式 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”.则下列结论中错误的是(　　) A.20是“完美数” B.最小的“完美数”是4 C.“完美数”一定是4的奇数倍 D.小于30的所有“完美数”之和是60 D 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 【解析】由于20＝62－42，因此20是“完美数”，所以选项A结论正确；当n为整数时，两个连续偶数的平方差(2n＋2)2－(2n)2＝4n2＋8n＋4－4n2＝4(2n＋1)，因此当n＝0时，最小的“完美数”为4，即4＝22－02，所以选项B结论正确；当n为整数时，2n＋1表示奇数，因此两个连续偶数的平方差一定是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C结论正确；小于30的“完美数”的和为4＋12＋20＋28＝64，因此选项D结论错误.故选D. 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 整除可“沟通”整式乘法和因式分解等代数式的运算与数的关系. 解 题 反 思 素养积累 素养发展 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 首页 目录 考点综述 素养发展 02 1.已知x2－3x－12＝0，则代数式－3x2＋9x＋5的值是(　　) A.31 B.－31 C.41 D.－41 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 2.(－8)2 024＋(－8)2 023能被下列哪个数整除(　　) A.3 B.5 C.7 D.9 C 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 3.已知m＋n＝2，mn＝－2，则(1－m)(1－n)的值为(　　) A.－3 B.3 C.－1 D.1 A 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 4.(2024·苏州)若a＝b＋2，则(b－a)2＝___. 4 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 5.已知a－b＝4，ab＋c2－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为___. 3 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 6.任意奇数的平方加上1后都一定是___的倍数.(填正整数) 2 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 7.已知＋＝，＋＝，＋＝，则的值为____. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 8.(创编)已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝16，则＋＋的值是______. － 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养发展 4 5 6 7 8 本讲内容结束 $$