第一编 第一单元 第4讲 二次根式（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第一单元　数与式 第4讲　二次根式 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 了解二次根式、最简二次根式的概念 课标要求 1 二次根式相关的概念及性质 开平方 二次根式 性质 最简二次根式 常见二次根式化简 非负数 典型问题 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 开平方:求一个数a的平方根的运算叫开平方.中，a叫被开方数 二次根式:一般地，形如(a≥0)的式子叫二次根式 性质 (1)具有双重非负性，即≥0，a≥0; (2)()2＝①_____(a≥0)，如()2＝3;  (3)＝|a|＝ ②_____(a≥0)，如＝3;  ③_____(a＜0)，如＝3  注意 ()3＝④_____，＝⑤_____，＝－.  a a －a a a 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 (1)被开方数不含⑥_______(也就是说最终结果中分母不含根号);  (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式 最简二 次根式 分母 常见二次根式化简:，如＝4 非负数 常见非负数:a2，|a|，(a≥0) 性质:若几个非负数的和为0，则每个非负数值为0，如a2＋|b＋1|＋＝0，则a＝⑦_____，b＝⑧_____，c＝⑨_____  典型 问题 (1)y＝＋3，则x＝⑩_____y＝⑪_____;  (2)7＋的整数部分a＝⑫_______，7＋的小数部分b＝ ⑬_________  0 －1 2 1 3 11 －4 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 课标要求 2 二次根式的运算 运算 分母有理化 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 7 运算 加减法:先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘法:·＝⑭________(a≥0，b≥0). 积的算术平方根:·(a≥0，b≥0)  除法:＝⑮_________(a≥0，b＞0). 商的算术平方根:(a≥0，b＞0)  素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 定义:将分子、分母同乘分母的有理化因式，把分母中的根号去掉的运算 分母有理化 类型 ;; 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 能用有理数估计一个无理数的大致范围 课标要求 3 估值 夹逼法:如估算(误差小于0.1)，∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，∴≈5.5或5.6 牢记:≈1.414，≈1.732，≈2.236 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 10 考点综述 素养积累 02 11 核心知识 1 二次根式的概念及性质 例1 1.下列式子一定不是二次根式的是(　　) A. B. C. D. D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 2.(2018·达州)二次根式中x的取值范围是( 　) A.x＜－2 B.x≤－2 C.x＞－2 D.x≥－2 3. (创编)将下列二次根式化为最简二次根式后，不能与合并的是(　 ) A. B. C. D. 【解析】A.＝；B.＝5；C.＝3；D.＝5.故选B. D B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 4.如果y＝＋＋2，那么xy的值是____. 5.(成都七中)如图，化简代数式：－＋＝____. 【解析】由数轴知，b＜－2＜a＜0＜2. ∴a＋2＞0，b－2＜0，a－b＞0. ∴原式＝｜a＋2｜－｜b－2｜＋｜a－b｜＝a＋2＋(b－2)＋a－b＝a＋2＋b－2＋a－b＝2a. 100 2a 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 1.若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A.x≠2 B.x≠1 C.x≥－2 D.x≠1且x≥－2 2.已知最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为___. D 2 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 3.(2021·达州)已知a，b满足等式a2＋6a＋9＋＝0，则a2 021b2 020＝____. 4.若等式＝·成立，试化简：｜x－4｜＋＋｜x－2｜. 解：根据题意，得3x＋1≥0，2－x≥0.∴－≤x≤2.∴x－4＜0，x－2≤0.∴原式＝｜x－4｜＋＋｜x－2｜＝4－x＋｜3x＋1｜＋2－x＝4－x＋3x＋1＋2－x＝x＋7. －3 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 二次根式相关概念的解决以隐含条件“被开方数是非负数”与最简二次根式的条件为前提，二次根式具有非负性，它与一个数的偶次方和绝对值为初中三种重要的非负数.同类二次根式可类比同类项学习，它是二次根式加减运算的基础. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 核心知识 2 二次根式的运算 例2 1.若(2＋)(2＋m)的积是有理数，则无理数m的值为______. 2.若a＝3－，b＝，则a___b.(填“＞”“＜”或“＝”) 【解析】∵b＝＝＝3－，∴a＝b. － ＝ 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 3.化简下列各式： (1)6×(－2)； (2)； 解：原式＝－12＝－108. 解：原式＝＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 (3)××；　 (4)÷. 解：原式＝＝30. 解：原式＝＝＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 4.计算： (1)－＋2； 解：原式＝2－＋2×＝＋＝2. (2)－9＋｜2－｜. 解：原式＝2－9×＋2－＝2－3＋2－＝2－2. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 5.计算：÷×2－6. 解：原式＝3××2－6＝12－6＝6. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 1.计算： (1)(3＋)(3－)＋＋； 解：原式＝32－()2＋＋1－ ＝9－7＋＋1－ ＝3＋. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 (2)(＋)×－3÷. 解：原式＝＋－3 ＝3＋3－3 ＝3. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 2.计算：(－)×＋｜－2｜－()－1. 解：原式＝－2＋2－－2 ＝－3. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 进行二次根式的混合运算时，熟练掌握运算法则是解题的关键，但也要注意运算方法的选择以便简化运算. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 核心知识 3 二次根式的应用 例3 海伦－秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设p＝，则三角形的面积为S＝. (1)用公式计算△ABC的面积； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 解：p＝＝＝. ∴S△ABC＝ ＝ ＝＝(cm2). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 (2)请想一想是否有其他方法？试试看. 解：过点C作CD⊥AB于点D. 设BD＝x，则AD＝6－x. 在Rt△BCD中，BC2－BD2＝CD2. 在Rt△ACD中，AC2－AD2＝CD2. ∴BC2－BD2＝AC2－AD2， 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 即42－x2＝52－(6－x)2.解得x＝. ∴CD＝＝＝. ∴S△ABC＝AB·CD＝×6×＝(cm2). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 变式 如图，矩形ABCD内三个相邻的正方形的边长分别为m，n和1. (1)求图中阴影部分的面积(用含m和n的式子表示)； 解：由题意知，BC＝m. ∴S阴影＝(n＋1)m－n2－12 ＝－n2＋(n＋1)m－1. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 (2)若m＝(a＋)2＋2，n＝a－＝－1， 求图中阴影部分的面积. 解：∵n＝a－＝－1，∴n2＝(a－)2＝ (－1)2，即n2＝a2－2＋＝6－2， 则a2＋＝8－2. ∵m＝(a＋)2＋2， ∴m＝a2＋＋2＋2＝10. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 ∴－n2＋(n＋1)m－1 ＝－(6－2)＋(－1＋1)×10－1 ＝12－7. ∴图中阴影部分的面积为12－7. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 二次根式的应用以运算为起点，将有关问题化为二次根式，然后利用二次根式的有关性质进行求解是关键. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例4 (石室中学)阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有(－)2＝a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号.请利用上述结论解决以下问题： (1)当x＞0时，代数式的最小值为____； 15 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD的面积分别为12和27，则四边形ABCD的面积的最小值为____. 75 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 利用非负性得出“基本不等式”，然后用此式解决实际问题的最值，其前提是存在某个值能使等号成立. 解 题 反 思 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2024·济宁)下列运算正确的是(　　) A.＋＝　　　 B.×＝ C.2÷＝1 D.＝－5 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 2.(2019·达州)下列判断正确的是(　　) A.＜0.5 B.若ab＝0，则a＝b＝0 C.＝ D.3a可以表示边长为a的等边三角形的周长 D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 3.数轴上A，B，C三点分别对应实数a，b，c，点A，C关于点B对称，若a＝，b＝3，则下列各数中，与c最接近的数是(　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 4.观察下列各式规律：①2＝；②3＝；③4＝；….若n＝，则m＋n的值为(　　) A.108 B.109 C.110 D.111 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 请完成《练测本》P7素养练测4 本讲内容结束 $$