第一编 第一单元 第3讲 分式（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第一单元　数与式 第3讲　分式 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分 课标要求 1 分式 分式的相关概念 分式的基本性质 基本性质：分式的分子、分母同时乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 系数化为整数 符号法则 约分 通分 【提分点拨】 性质运用 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 4 定义：形如的式子叫分式(A，B表示两个整式，B≠0，B中含有字母) 分式有意义：分母≠0；分式无意义：分母＝0；分式值为0：分母≠0，且分子＝0 分式的相关概念 分式值 为正数 分子＞0， 分母＞0 或 分子＜0， 分母＜0； 分式值 为负数 分子＞0， 分母＜0 或 分子＜0， 分母＞0 分式值 为整数 分母为分子的正、负因数，如＝2－为整数， 则x＋3＝±1或x＋3＝±2或x＋3＝①________或x＋3＝②______ ±3 ±6 最简分式：分式的分子、分母没有公因式，这样的分式叫最简分式 ⇔ ⇔ 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 系数化为整数：如＝③____________ 符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变.如＝－ 约分 定义：把分式的分子、分母中的公因式约去，这种运算叫约分 步骤：(1)找(公因式)；(2)写(乘积式)；(3)约(约分) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 定义：把异分母分式根据分式的基本性质化成同分母分式的过程叫通分 通分 最简公分母找法 (1)系数：找各项系数的最小公倍数； (2)相同字母：找最高次幂； (3)只在一个分母中的字母连同指数作为一个因式 【提分点拨】在分式的约分与通分过程中，多项式中能因式分解的先分解因式. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 同分母：分母不变，把分子相加减 异分母：先④________，变为同分母的分式，再加减  课标要求 2 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 分式的运算 加减 通分 乘法:分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母 除法:除以一个分式，等于与这个分式的分子、分母颠倒位置后相乘 乘除 乘方:分式的乘方等于分子、分母分别乘方 技巧:(1)按字母降幂排列;(2)首项为正;(3)除法转为乘法;(4)先因式分解后约分 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 8 考点综述 素养积累 02 9 核心知识 1 分式的有关概念 例1 1.下列式子中是分式的是(　　) A. B.－ C. D. 【解析】选项A，C，D中分母不含有字母，不是分式，是整式，注意π是常数；选项B中分母含有字母x，属于分式.故选B. B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 2.若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是(　　) A.m≥1 B.m＞1 C.m≤1 D.m≠1 【解析】∵不论x取任何数，分式总有意义，∴x2－2x＋m≠0.∴方程x2－2x＋m＝0无实数解.∴Δ＝4－4m＜0.解得m＞1.故选B. B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 3.(2023·凉山州)分式的值为0，则x的值是(　　) A.0 B.－1 C.1 D.0或1 4.下列分式中，是最简分式的是(　　) A. B. C. D. A A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 下列说法错误的是(　　) A.当x＝2时，分式无意义 B.当x＞5时，分式的值为正数 C.当分式＝0时，m＝±3 D.分式与的最简公分母是3ab2 C 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 对分式中相关概念的理解是关键，重要概念有分式、分式有意义与分式值为0的条件及最简分式等. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 2 分式基本性质的运用 例2 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是(　　) A.＝ B.＝－ C.＝ D.＝ D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 化简：＝……①＝.　……② 其中步骤①②的运算依据分别属于(　　) A.①是整式乘法，②是通分 B.①是因式分解，②是通分 C.①是因式分解，②是约分 D.①是整式乘法，②是约分 C 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 掌握分式的基本性质要类比分数的基本性质，其主要作用是通分与约分.约分要找分子与分母的公因式，通分要找最简公分母.最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫最简公分母，注意与公因式相区别. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 3 分式的运算及求值 例3 1.若y＝，则的值为(　　) A.－ B.－1 C. D.－ 【解析】∵y＝，∴y－x＝3xy. ∴＝＝＝＝－. A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 2.计算： ()2÷(－)·()3·()2. 解：原式＝·(－)··＝－··＝－. 3.(2013·达州)如果实数x满足x2＋2x－3＝0，那么代数式(＋2)÷的值为__. 5 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 4.(2023·达州)先化简，再求值： (a＋2－)÷，其中a为满足0＜a＜4的整数. 解：原式＝÷ ＝· ＝· 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 ＝－2(a＋3) ＝－2a－6. ∵a为满足0＜a＜4的整数， ∴a＝1或2或3. ∵a－2≠0，a－3≠0，∴a＝1. 当a＝1时，原式＝－2－6＝－8. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 1.已知a，b为实数，a－2b＝3，b≠－1，则分式的值为(　　) A.3 B.－3 C.2 D.－2 A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 2.(2022·达州)化简求值：÷(＋)，其中a＝－1. 解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝. 当a＝－1时， 原式＝＝＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用运算律会简化运算过程. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 核心知识 4 分式的应用 例4 一辆货车送货上山，按原路返回.上山的速度为x千米/时，下山 的速度为y千米/时，货车上下山的平均速度为______千米/时. 【解析】设上山的路程为a千米，根据题意得出＝.故答案为. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 变式 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a，b是正数，且a≠b)，请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低. 解：∵a，b是正数，且a≠b， ∴－＝＝＞0. ∴＞. 答：小丽所购买商品的平均价格高于小颖的. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 根据实际问题列出分式，并利用作差法与配方法等对分式大小进行比较，从而解决相应的实际问题. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例5 阅读与思考 下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务. “真分式”与“假分式” 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，如＝1＋.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如，，…这样的分式是真分式.类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程 如下： ＝＝＝1－. 将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： 方法1：＝＝＝x＋1－. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 方法2：由于分母为x＋3，可设x2＋4x－5＝(x＋3)(x＋a)＋b(a，b为常数). ∵(x＋3)(x＋a)＋b＝x2＋ax＋3x＋3a＋b＝x2＋(a＋3)x＋(3a＋b)， ∴x2＋4x－5＝x2＋(a＋3)x＋(3a＋b). ∴解得 ∴x2＋4x－5＝(x＋3)(x＋1)－8. ∴＝＝－＝x＋1－. 这样，分式就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 任务： (1)分式是____分式(填“真”或“假”) ；将假分式化为一个整 式与一个真分式的和的形式为______； (2)请将化为一个整式与一个真分式的和的形式； 真 2＋ 解：＝ ＝x＋5＋. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)若分式的值为整数，请根据(2)的结果直接写出符合条件的2个x的值. 解：由(2)知，＝x＋5＋. ∵原分式的值为整数，∴x＋5＋为整数，则x－3＝±1. ∴x＝2或4. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2024·河北)已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝(　　) A.x B.y C.x＋y D.x－y A 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 2.下列结论中，正确的是(　　) A.x为任何实数时，分式总有意义 B.当x＝±2时，分式的值为0 C.和的最简公分母是6m(2x－y)(y－2x) D.将分式中的x，y的值都变为原来的10倍，分式的值不变 D 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 3.(2021·达州)化简求值：(1－)÷，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数. 解：原式＝÷ ＝· ＝－2(a－2) ＝－2a＋4. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∵a与2，3构成三角形的三边， ∴3－2＜a＜3＋2，即1＜a＜5. ∵a为整数，∴a＝2，3或4. 又∵a－2≠0，a－4≠0， ∴a≠2且a≠4.∴a＝3. 当a＝3时，原式＝－2×3＋4＝－2. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 请完成《练测本》P5～6素养练测3 本讲内容结束 $$