第一编 第一单元 第2讲 代数式、整式及因式分解（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第一单元　数与式 第2讲　代数式、整式及因式分解 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；会把具体数代入代数式进行计算；理解整式的概念 课标要求 1 代数式及求值 代数式与整式 整式的相关概念 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 4 代数式:用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式 代数式及求值 代数式求值 (1)直接代入：把已知字母的值代入代数式，并计算求值 (2)整体代入(可消元降次)：当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式中，用这种方法时要先对已知条件或所求代数式进行变形，如找倍数关系、因式分解、移项等 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 定义：数与①________的积叫单项式  注意 单独一个数或一个②______也是单项式，如－a，0都是单项式.  次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 整式的相关概念 单项式 字母 字母 定义：几个单项式的和叫多项式　 项：多项式中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋ 2ab2＋ 25是③________次  多项式 对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0. 3 整式：单项式和多项式统称为整式　 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项 [“两个无关”：与系数无关，与字母的顺序无关] 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算;理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理 课标要求 2 整式的运算 加减 幂的运算 乘法 除法 公式 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 7 加减：实质是合并同类项，即把同类项的系数相加减，所得结果为新的系数，字母和字母指数不变.去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c　 [口诀：“－”都变，“＋”不变] 幂的运算 同底数幂的乘法：am·an＝④_______，底数不变，指数⑤_______ 同底数幂的除法：am÷an＝⑥________，底数不变，指数⑦_______ 幂的乘方：(am)n＝⑧________，底数不变，指数⑨_______ 积的乘方：(3ab)n＝⑩________，括号内每一个因式分别乘方，切记不要忘记给系数乘方  am＋n 相加 am－n 相减 amn 相乘 3nanbn 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 单×单:把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式的字母连同它的指数作为积的一个因式 单×多:用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多×多:(a＋b)(m＋n)＝⑪_________________ 乘法 am＋an＋bm＋bn 单÷单:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式;对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单:(am＋bm)÷m＝⑫_______ 除法 a＋b 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑬________　  　　 　　　 (如图1) 完全平方公式：(a±b)2＝⑭_____________　  　　　 　　　 (如图2、图3) 图形表示： 公式 a2－b2 [口诀：两数和、两数差，同方异方来作差] a2±2ab＋b2 [口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方，同号得正，异号得负] 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解 课标要求 3 因式分解 方法 【易错提醒】 定义：把一个多项式化成几个⑮__________的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算  口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 整式的积 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 11 方法 提公因式法 公因式 的确定 系数：取各项系数的最大公因数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝⑯___________ [注意：若多项式第一项的符号是“－”，则公因式的符号一般为负] 公式法 平方差公式：a2－b2＝⑰ ___________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝⑱__________　　  可能含有多项式 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝⑲____________ (如图)  分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组　 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 (x＋a)(x＋b) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 【易错提醒】因式分解常见的错误: (1)分解不彻底，如分解因式x4－1＝(x2＋1)(x2－1)，其中⑳________还可以继续分解因式.  (2)结果为部分整式的积，如分解因式x2－2＝x2－1－1＝(x＋1)(x－1)－1. (3)结果不是整式的积，如分解因式x2－1＝x，其中x－是分式. (4)分解后漏掉±1的项，如分解因式xy－x2y＋y＝y(x－x2). x2－1 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 考点综述 素养积累 02 14 核心知识 1 代数式的值 已知2a＋3b＝4，则代数式6a＋9b－4的值为___. 【解析】∵2a＋3b＝4，∴6a＋9b－4＝3(2a＋3b)－4＝3×4－4＝12－4＝8. 例1 8 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知(2x－3)2＝ax2＋bx＋c.例如：给x赋值使x＝0，则可求得c＝9；给x赋值使x＝1，则可求得a＋b＋c＝1；给x赋值使x＝－1，则可求得代数式a－b的值为___. 变式 【解析】(2x－3)2＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，(－2－3)2＝a－b＋c，即a－b＝25－c. ∵给x赋值使x＝0，求得c＝9， ∴a－b＝25－c＝25－9＝16. 16 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 求代数式的值可直接代入或构造整体再代入. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 2 整式的相关概念 例2 1.单项式－的系数是_____，次数是___. 2.如果关于x，y的多项式xy｜a｜－(a－2)y2＋1是三次三项式，则a的值为_____. 【解析】∵关于x，y的多项式xy｜a｜－(a－2)y2＋1是三次三项式， ∴｜a｜＝2且a－2≠0.解得a＝－2. － 3 －2 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 1.已知(m－2)a｜m＋1｜b3是关于a，b的六次单项式，则m＝______. 2.关于a的多项式a｜x｜－(x－2)a－1是二次三项式，则x＝_____. －4 －2 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 单项式的次数是各字母指数之和，多项式的次数是最高次项的次数，要注意区分这两种次数. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 3 整式的运算 例3 1.(2023·达州)下列计算正确的是(　　) A.a＋a2＝a3 B.a2·a3＝a6 C.(2a3b)3＝6a3b3 D.a6÷a4＝a2 D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.(创编)若(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是 (　　) A.q＝3p B.p＝3q C.p＋3q＝0 D.q＋3p＝0 【解析】(x2＋px＋q)(x－3) ＝x3－3x2＋px2－3px＋qx－3q ＝x3＋(－3＋p)x2＋(－3p＋q)x－3q. ∵(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，∴－3p＋q＝0.∴q＝3p.故选A. A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 1.(2024·成都)下列计算正确的是(　　) A.(3x)2＝3x2 B.3x＋3y＝6xy C.(x＋y)2＝x2＋y2 D.(x＋2)(x－2)＝x2－4 D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.(2023·凉山州)先化简，再求值： (2x＋y)2－(2x＋y)(2x－y)－2y(x＋y)，其中x＝()2 023，y＝22 022. 解：原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2＝2xy. 当x＝()2 023，y＝22 022时， 原式＝2×()2 023×22 022 ＝2××(×2)2 022 ＝1×12 022 ＝1. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 整式的运算要分清计算类型，确定运算顺序，选择计算方法，化简与求值一般要先化简再代入求值. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 4 因式分解的方法 例4 1.(2023·成都)因式分解：m2－3m＝_________. 2.(2017·达州)因式分解： 2a3－8ab2＝_________________. 3.(2024·达州)分解因式： 3x2－18x＋27＝_________. m(m－3) 2a(a＋2b)(a－2b) 3(x－3)2 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(　　) A.(x＋1)(x－1)＝x2－1 B.2x2－3x＋1＝x(2x－3)＋1 C.2x3－8x＝2x(x2－4) D.ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1) 2.甲、乙两人在对x2＋ax＋b进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为(x＋4)2；乙看错了b，得到的结果为(x＋1)(x＋9)，则x2＋ax＋b因式分解的正确结果为_____________. D (x＋2)(x＋8) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 因式分解要能根据多项式的特点灵活选用相应方法，第一步首先应考虑有无公因式可提，另外要注意分解到不能再分解为止. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 核心知识 5 因式分解的应用 例5 1.用简便方法计算： (1)1252－50×125＋252； 解：原式＝1252－2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10 000. (2)652×11－352×11. 解：原式＝(652－352)×11＝(65＋35)×(65－35)×11＝100×30×11＝ 33 000. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.(2024·凉山州)已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝______. 3.已知a，b，c是△ABC的三边，b2＋2ab＝c2＋2ac，则△ABC的形状是___________. 【解析】∵b2＋2ab＝c2＋2ac， ∴a2＋b2＋2ab＝a2＋c2＋2ac. ∴(a＋b)2＝(a＋c)2. ∵a＋b＞0，a＋c＞0，∴a＋b＝a＋c， 即b＝c.∴此三角形是等腰三角形. －6 等腰三角形 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 变式 1.(石室中学)248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个整数是(　　) A.61和63 B.63和65 C.65和67 D.64和67 B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.(2023·攀枝花)我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式： 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 3.已知x－y＝2，－＝1，求x2y－xy2的值. 解：∵－＝1，∴y－x＝xy. ∵x－y＝2，∴xy＝y－x＝－2. ∴原式＝xy(x－y)＝－2×2＝－4. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 因式分解的应用主要有求值、整除讨论，以及数形结合的等积变形等方面的应用，都与因式分解的基本方法密切相关. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 考点综述 素养提升 03 例6 (树德中学) (1)已知a－b＝4，ab＝5，求a2＋b2和(a＋b)2的值； 解：∵a－b＝4，ab＝5， ∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝16＋10＝26， (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝16＋20＝36. (2)若x满足(x－2 023)2＋(x－2 010)2＝189，求(x－2 023)(x－2 010)的值； 解：设m＝x－2 023，n＝x－2 010， 则m2＋n2＝189，m－n＝－13. ∴(x－2 023)(x－2 010)＝mn＝[(m2＋n2)－(m－n)2]＝×(189－169)＝10. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)如图，在长方形ABCD中，AB＝11 cm，点E，F分别是边BC，CD上的点，EC＝6 cm，且BE＝DF＝x cm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CBMN，若长方形CBQF的面积为80 cm2，求图中阴影部分的面积和. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：设CF＝p cm，BC＝q cm， 则p＋x＝11，q－x＝6，pq＝80. ∴p＋q＝17. ∴图中阴影部分的面积和为p2＋q2＝(p＋q)2－2pq＝172－2×80＝129(cm2). 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 本题三问都以公式的恒等变形为基础，结合整体代入的思想，且层层深入，要注意体会一题多问之间的联系. 解 题 反 思 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2019·达州)下列计算正确的是(　　) A.a2＋a3＝a5 　B.a8÷a4＝a4 C.(－2ab)2＝－4a2b2 　D.(a＋b)2＝a2＋b2 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 2.(2020·达州)如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是 (　　) A.12(m－1) B.4m＋8(m－2) C.12(m－2)＋8 D.12m－16 A 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 3.(2022·达州)计算：2a＋3a＝_____. 5a 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 4.(2018·达州)已知am＝3，an＝2，则a2m－n的值为____. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 5. (成都七中) (1)先化简，再求值：[(xy＋2)(xy－2)－2x2y2＋4]÷xy，其中x＝1，y＝ －2； 解：原式＝(x2y2－4－2x2y2＋4) ÷xy＝－x2y2÷xy＝－xy. 当x＝1，y＝－2时，原式＝－1× (－2)＝2. (2)先化简，再求值：(x＋4)(x－4)＋(x－3)2，其中x2－3x＋1＝0. 解：原式＝x2－16＋x2－6x＋9＝2x2－6x－7. ∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1. ∴原式＝2(x2－3x)－7＝2×(－1)－7＝－2－7＝－9. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4 5 请完成《练测本》P3～4素养练测2 本讲内容结束 $$