第一编 第一单元 第1讲 实数的相关概念及运算（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学讲义（达州专用）

第一单元　数与式 第1讲　实数的相关概念及运算 第一编 核心素养达标•聚焦必备知识 2025中考 达州·数学 1 1 2 3 4 目 录 素养发展 素养提升 素养积累 依标扣本·素养储备 考点综述 依标扣本·素养储备 01 3 课标要求 1 理解负数的意义；了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成 实数 负数的意义：先规定某一种意义为正，那么与它相反的意义为负，负的量用负数表示 实数的分类 按定义分 有理数 整数：正整数、① 　、负整数  分数：正分数、② 　 0 统称自然数. 负分数 有限小数或 ③ 　小数 无限循环 无理数 正无理数 负无理数 ④ 　小数  无限不循环 按性质分：正实数、⑤ 　、负实数(⑥ 　既不是正数也不是负数)  0 0 　　　　　　 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求7 4 课标要求 2 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数 数轴 三要素：原点、正方向、单位长度(如图) 实数和数轴上的点是一一对应的.如在数轴上的画法： 作用 (1)比较两个数的大小：数轴上，右边的点比左边的点表示的数大 (2)表示A，B两点间的距离：AB＝|a－b| (3)解决数轴上的动点问题 向右移动a个单位长度，则加上a个单位长度 向左移动b个单位长度，则减去b个单位长度 口诀：左减右加 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求7 5 课标要求 3 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值 相反数和绝对值 相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；a，b互为相反数⇔a＋b ＝⑦   非零实数a的相反数是⑧ 　；0的相反数是0  0 －a 绝对值 定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫这个数的绝对值 非负性：|a|≥0；双重性：如若|x|＝3，则x＝⑨   规律：正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0； 负数的绝对值是它的相反数. ±3 即|a|＝ a(a＞0)， 0(a＝0)， －a(a＜0) |a|＝|b|⇔a＝b或⑩   a＝－b 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求7 6 课标要求 4 会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示) 科学记数法 形式：a×10n (1)确定a：1≤|a|＜10 (2)确定n |原数|≥10时：n为正整数，等于原数的整数位数减1； 0＜|原数|＜1时:n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数前面0的个数(含小数点前面的0) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求7 7 数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的⑪_____ 类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 ⑫_____ 差值比较法：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b 作商比较法：a，b为正实数，则＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b 课标要求 5 能比较实数的大小 实数的大小比较 小 大 乘方比较法 (1)一个有理数和一个无理数：如2.1与→(2.1)3＞()3 (2)两个无理数 同次开方：如2与3→(2)2＜(3)2 异次开方：如与→()6＜()6 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求7 8 课标要求 6 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 平方根、算术平 方根、立方根 名称 a(a＞0) 0 a(a＜0) (1)认符号定运算; (2)实质是一种运算，与乘方互为逆运算 平方根 ± 0 无 算术平方根 0 无 立方根 0 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求7 9 课标要求 7 掌握实数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算 实数的运算 常见运算 ＋，－：减去一个数，等于加上这个数的相反数 ×，÷：除以一个数，等于乘这个数的倒数 0次幂：a0＝1(a≠0)(任何非零数的0次幂都等于1) (1)乘积为1的两个数互为倒数.a，b互为倒数⇔ab＝1. (2)0没有倒数. 负整数次幂：a－p＝(a≠0，p为正整数)(倒底数，反指数) [注意：指数的符号与结果的正负无关] －1的n次幂：(－1)n＝ 1(n为偶数)， －1(n为奇数) [规律：遇“偶”为1，遇“奇”为－1] 去绝对值符号：如|2－|＝⑮　 ，|1－|＝⑯ 　  2－ －1 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；若有括号，先算括号里面的 乘方:＝an.如－24＝⑬_______;(－2)4＝⑭_______  －16 16 遇“0”，结果写1，前提条件是底数a不为0. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 课标要求6 课标要求7 10 考点综述 素养积累 02 11 1.(2021·达州)－的相反数是(　　) A. B. C.－ D.－ B 核心知识 1 实数的相关概念 例1 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.(2023·达州)－2 023的倒数为(　　) A.2 023 B. C.－2 023 D.－ 3.(2019·达州)－2 019的绝对值为(　　) A.2 019 B.－2 019 C. D.－ D A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 4.(2014·达州)向东行驶3 km，记作＋3 km，那么向西行驶2 km记作 (　　) A.＋2 km B.－2 km C.＋3 km D.－3 km B 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 5.在，3.，，π，－，，0，－，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)中，有理数有(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.(2023·巴中)下列各数为无理数的是(　　) A.0.618 B. C. D. 2.下列各数中，是正数的是(　　) A.－｜－2｜ B.－ C.－(－2) D.－2－2 C C 变式 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 实数相关概念较多，常用概念有无理数、相反数、倒数与绝对值，其中绝对值常结合数轴进行理解，体现了数形结合思想，化简时一定要先确定绝对值“｜ ｜”内整个代数式的符号. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.(2021·达州)实数＋1在数轴上的对应点可能是(　　)   A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 D 核心知识 2 实数的相关概念 例2 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.把无理数，，，－表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹(如图)覆盖住的无理数是　 　. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.(2024·北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(　　)   A.b＞－1 B.｜b｜＞2 C.a＋b＞0 D.ab＞0 C 变式 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是　　 　. 1－2 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 实数与数轴上的点是一一对应的，开启了数与形结合的大门. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 (2024·甘孜州)祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩.据四川省某州相关部门通报，五一期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1 665 000人次.将1 665 000用科学记数法表示应为(　　) A.0.166 5×107 B.1.665×106 C.16.65×105 D.166.5×104 B 核心知识 3 科学记数法 例3 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.(2023·成都)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3 000亿次.将数据3 000亿用科学记数法表示为(　　) A.3×108 B.3×109 C.3×1010 D.3×1011 D 变式 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.(2023·眉山)生物学家发现了某种花粉的直径约为0.000 002 1毫米，数据0.000 002 1用科学记数法表示正确的是(　　) A.2.1×10－6 B.21×10－6 C.2.1×10－5 D.21×10－5 A 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤｜a｜＜10，n为整数，n的绝对值表示小数点移动的位数，其符号表示小数点移动的方向. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 比较大小：－1　　　4.（填“＞”“＜”或“＝”） 【解析】∵＜＜，∴4＜＜5. ∴3＜－1＜4. ＜ 核心知识 4 实数的大小比较 例4 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.(2022·达州)下列四个数中，最小的数是(　　) A.0 B.－2 C.1 D. 2.比较大小：2.5　　　.（填“＞”“＜”或“＝”） B ＞ 变式 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.基本方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 2.平方法对于含根号的正实数比较大小时较为实用，倒数法也可做 尝试. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.(2023·达州)计算： ＋｜－4｜－(2 003－π)0－2cos 30°. 解：原式＝2＋4－1－2× ＝2＋4－1－ ＝＋3. 核心知识 5 实数的运算 例5 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.已知4a＋7的立方根是3，2a＋b＋2的算术平方根是4，则a＋b的平方根是　　　. 【解析】根据题意，得4a＋7＝33，2a＋b＋2＝42.解得a＝5，b＝4. ∴a＋b＝5＋4＝9.∴a＋b的平方根是±＝±3. ±3 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 3.已知5＋的小数部分为a，5－的小数部分为b，则(a＋b)2 025＝　. 【解析】∵2＜＜3，∴7＜5＋＜8. ∴a＝5＋－7＝－2. ∵2＜＜3，∴－3＜－＜－2. ∴2＜5－＜3.∴b＝5－－2＝3－. ∴(a＋b)2 025＝(－2＋3－)2 025＝12 025＝1. 1 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 1.(1)25的平方根是　　　； (2)＝　； (3)＝　　； (4)()2＝　. ±5 4 3 变式 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 2.数学文化 (2020·达州)中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是(　 　) A.10 B.89 C.165 D.294 D 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 3.设6－的整数部分为a，小数部分为b，则(a＋)b＝　　. 4.(2022·达州)计算： (－1)2 022＋｜－2｜－()0－2tan 45°. 解：原式＝1＋2－1－2×1 ＝1＋2－1－2 ＝0. 3 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 0指数幂与负整数指数幂要注意使用的条件，平方根、算术平方根与立方根要注意区分，特别是其符号表达形式要熟练. 解 题 反 思 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 首页 目录 考点综述 素养提升 03 阅读下列材料，解决相关任务： 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：(约率)和(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和(即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数)，则是x的更为精确的近似值. 例6 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为＝；由于≈3.140 4＜π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数. 任务： (1)请判断：约率是　　　； A.无限不循环小数 　　B.有限小数 C.整数 　　D.有理数 D 解：[是正分数，是有理数.故选D.] 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)已知＜＜，请使用两次“调日法”，求的近似分数. 解：∵＜＜，∴首次利用“调日法”后得的一个更为精确的近似分数为＝. ∵＝且＞2，∴＜＜. ∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为＝. ∴使用两次“调日法”，的近似分数为. 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 对材料的理解是迁移的前提. 解 题 反 思 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 考点综述 素养发展 04 1.(2023·达州)某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2 502.7亿元.数据2 502.7亿用科学记数法表示为(　　) A.2 502.7×108 B.2.502 7×1011 C.2.502 7×1010 D.2.502 7×103 B 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 2.(2020·达州)下列各数中，比3大比4小的无理数是(　　) A.3.14 B. C. D. C 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 3.(2020·达州)计算： －22＋()－2＋(π－)0＋. 解：原式＝－4＋9＋1－5 ＝1. 1 2 3 首页 目录 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 请完成《练测本》 P1～2素养练测1 本讲内容结束 $$