精品解析：2025年上海市虹口区中考数学二模试卷

2024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 若单项式的次数是8，则 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列函数中， 的值随 的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 4. 小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差． 5. 已知四边形 是平行四边形，对角线 相交于点O，下列条件中，不能判定四边形 是矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线 分别与 、 相交于点 、 ， 与 之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 为圆心，以任意长为半径作弧交 于点 ，交 于点 ；②分别以 、 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点 ；③作射线 交 于点 ．那么 的长是（ ） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 10 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：________． 8. 计算：___________． 9. 如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数k的值是________． 10. 不等式组的解集是___________： 11. 已知反比例函数的图像经过点和点，如果点 与 关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 12. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 13. 某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 14. 如图，在梯形 中，，点 是边 的中点，连接交于点 ，设，那么用向量、表示向量是___________． 15. 如图，由六块相同的含 的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为 ，那么小正六边形的边心距是___________． 16. 如图，在 中，，如果以点 为圆心的与以边为直径的 外切，那么的半径长是___________． 17. 如图，点，，，平移 得，顶点 、 、 分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点 到点的距离是_____． 18. 我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在 中，，，点分别在边、 上．如果四边形 是“邻补四边形”，那么四边形 的面积是___________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 如图，在 中，，，点 为边 的中点，以 为圆心，以 为半径作弧交边 于点 ，求 和 的长． 22. 其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价 （万元/吨）与蓝莓的采购量 （吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） （1）求 与 的函数解析式（不写定义域）； （2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； （3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 23. 如图9，在梯形 中， ，连接 ，点 在 上，连接 ，使得 ，点 在边 上，连接 ，分别交、 于点 、 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为菱形； （2）如果 ，求证： ． 24. 如图，已知抛物线交 轴于点和点 ，交 轴于点 ． （1）求直线的表达式，并用含 的代数式表示该抛物线的对称轴； （2）已知直线与抛物线交于点 ，与直线交于点 ，如果 且，求抛物线的表达式； （3）已知抛物线的对称轴为直线 ，点 在抛物线上且位于第一象限，连接 、 ，线段 与 轴相交于点 ，点 在线段 上，连接，如果，且，求点 的坐标． 25. 阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图，在 中， 为 上的中线，如果 ，那么．也可以说，在 中，如果，那么 ． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图， 为半圆的直径， 是半圆的弦，以 为直径作 ． （1）如图①，过点 作 ，垂足为 ． ①求证：； ②已知，如果 经过点（如图②），求直线 与直线 夹角的正弦值； （2）已知 与线段 相交于点 、 ，，如果，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，立方根，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A.，则A不符合题意， B.是最简二次根式，则B符合题意， C.，则C不符合题意， D.不是二次根式，则D不符合题意， 故选：B． 2. 若单项式的次数是8，则 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式次数的定义．熟练掌握单项式中所有字母的指数和，叫做单项式的次数，是解决问题的关键．利用单项式次数的定义计算即可． 【详解】解：∵的次数是，， ， ， 故选：D． 3. 下列函数中， 的值随 的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可解答． 【详解】解： A.， 的值随 的值增大而减小，符合题意； B. ， 的值随 的值增大而增大，不符合题意； C. ，当 时， 的值随 的值增大而增大，当 时， 的值随 的值增大而减小，不符合题意； D选项，，在每一象限内， 的值随 的值增大而增大，不符合题意； 故选：A． 4. 小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，13、14岁的人数和为（人）， 则这组数据的中位数为（岁）， 故选：C． 5. 已知四边形 是平行四边形，对角线 相交于点O，下列条件中，不能判定四边形 是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【详解】解：四边形 是平行四边形， 添加 ，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形 是矩形，故A不符合； 添加，可得 ， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形 是矩形，故B不符合； 添加 ，可得出四边形 是菱形， 不能判定四边形 是矩形，故C符合； ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， 添加，可得出 ， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形 是矩形，故D不符合， 故选：C． 6. 如图，直线，直线 分别与 、 相交于点 、 ， 与 之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 为圆心，以任意长为半径作弧交 于点 ，交 于点 ；②分别以 、 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点 ；③作射线 交 于点 ．那么 的长是（ ） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】过点 作于 ，解直角三角形求出 ，根据角平分线的定义和平行线的性质证得 ，即可求得答案． 【详解】解：由基本作图知是的平分线， ， ， ， ， 过点 作于 ，则， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查基本作图 作角的平分线，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，根据角平分线的定义和平行线的性质证明是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，牢记运算法则是解题的关键，根据积的乘方运算法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同分母的分式的加减法运算，分母不变，分子相减，再进行约分即可． 【详解】解：原式； 故答案为：2． 9. 如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b2-4ac=0，求出k的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=32-4×1×k=0， ∴9-4k=0， ∴k=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 10. 不等式组的解集是___________： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 11. 已知反比例函数的图像经过点和点，如果点 与 关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点和点，且点 与 关于原点对称， ， ， ，， 设反比例函数解析式为，代入点 坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 12. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行解即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，平移后所得新抛物线的表达式是：； 故答案为：． 13. 某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用九年级学生人数除以学生总数即可得到答案． 【详解】解；∵一共有名学生，其中九年级有3名学生，且每个学生被选到的概率相同， ∴随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，选到九年级学生的概率， 故答案为：． 14. 如图，在梯形 中，，点 是边 的中点，连接交于点 ，设，那么用向量、表示向量是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量、梯形、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．依题意得出，四边形为平行四边形，则，进而得出，进而根据，即可求解． 【详解】解： 点 是边 的中点， ， ， ， ， ，四边形为平行四边形， ， 点 是边 的中点， 故答案为：． 15. 如图，由六块相同的含 的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为 ，那么小正六边形的边心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形的边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，在中，，， ，又， ， 即正六边形的边长为 ， 设正六边形的中心为，连接 ，过点作于点 ， 则， 在中，，， ， 即正六边形的边心距为， 故答案为：． 16. 如图，在 中，，如果以点 为圆心的与以边为直径的 外切，那么的半径长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接 ，由与 外切，则 经过切点 ，利用勾股定理求得 ，然后利用勾股定理求得 ，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接 ， 与 外切， 经过切点 ， 在 中，，， ， ， 为 的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 17. 如图，点，，，平移 得，顶点 、 、 分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点 到点的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 设 沿 轴正方向平移 个单位，沿 轴正方向平移 个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得 、 的值，进而求出点 到点的距离即可． 【详解】解：设 沿 轴正方向平移 个单位，沿 轴正方向平移 个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 18. 我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在 中，，，点分别在边、 上．如果四边形 是“邻补四边形”，那么四边形 的面积是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点 ，利用四边形 的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中，， ∵ ， ∴， ∴，， ∵四边形 是“邻补四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵ ，， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴点 和点 重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ∴， ∴， ∴， 作于点 ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形 的面积是； ④当 时， 同理， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得， 则，，， ∴四边形 的面积是； 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分母有理化，涉及零指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，再分母有理化，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 21. 如图，在 中，，，点 为边 的中点，以 为圆心，以 为半径作弧交边 于点 ，求 和 的长． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和等腰三角形的性质．连接 ， ，作于点 ，根据等腰三角形的性质得 ，， ，解直角三角形和勾股定理即可求出 ，根据尺规作图和等腰三角形的性质得，，再根据解直角三角形和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接 ， ，作于点 ， ，点 为边 的中点， ，， ， ， 设 ，则 ， ， 解得负值舍去 ， ， ， 以 为圆心，以 为半径作弧交边 于点 ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， 解得 负值舍去 ， ， ． 22. 其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价 （万元/吨）与蓝莓的采购量 （吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） （1）求 与 的函数解析式（不写定义域）； （2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； （3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】（1） （2） 万元/吨 （3）需要采购蓝莓的重量为 吨 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设 与 的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设 与 的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ 【小问2详解】 解：依题意，平均销售价为（万元/吨） 【小问3详解】 解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为 吨 23. 如图9，在梯形 中， ，连接 ，点 在 上，连接 ，使得 ，点 在边 上，连接 ，分别交 、 于点 、 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为菱形； （2）如果 ，求证： ． 【答案】（1） 证明：如图， ∵ ，即 ∴ ∵ ，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，即 是 的中点， 又∵ ， ∴ 是 的中点， ∴ 又∵ ∴四边形 是平行四边形， ∵ ∴四边形 为菱形； （2） 证明：∵ ，即 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ 是 的中位线， ∴ 又 ∴ 即 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得出 ， 进而得出 ，根据中位线的性质可得出 ，结合已知可得四边形 是平行四边形，根据 ，即可得证； （2）证明 ，得出进而证明 得出 ，证明 ，即可证明 得出 ，进而根据 ， ，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知抛物线交 轴于点和点 ，交 轴于点 ． （1）求直线的表达式，并用含 的代数式表示该抛物线的对称轴； （2）已知直线与抛物线交于点 ，与直线交于点 ，如果 且，求抛物线的表达式； （3）已知抛物线的对称轴为直线 ，点 在抛物线上且位于第一象限，连接 、 ，线段 与 轴相交于点 ，点 在线段 上，连接，如果，且，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 点不存在 【解析】 【分析】（1）先求得，进而待定系数法得出直线 解析式为，将代入得：得出，进而根据抛物线对称轴公式，即可求解； （2）由（1）抛物线解析式为，得出，进而求得得出，可得解方程得出 点的值，即可求解． （3）过 作轴交 轴于 ，过 作轴交 轴于，交 于 ，则为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，根据得出，进而得出，证明，得出是等腰直角三角形，根据得出，进而求得，最后判断得出不在线段 上，故 点不存在． 【小问1详解】 解：在中，令 得， ， 设直线 解析式为 把，代入得： ，解得 直线 解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的对称轴为直线 【小问2详解】 由（1）知， 抛物线解析式为， ， ， 解得， 令 得， ， 在中，令 得， ， ， ， 解得舍去 或， 抛物线的表达式为； 【小问3详解】 过 作轴交 轴于 ，过 作轴交 轴于，交 于 ，如图： 抛物线对称轴为直线 ， 解得， 抛物线解析式为 ， 令 得 ， 解得 或 ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设，则 ， ∴ ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ． ， 是等腰直角三角形， 轴，则不在线段 上，故 点不存在． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，相似三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形解决问题． 25. 阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图，在 中， 为 上的中线，如果 ，那么．也可以说，在 中，如果，那么 ． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图， 为半圆的直径， 是半圆的弦，以 为直径作 ． （1）如图①，过点 作 ，垂足为 ． ①求证：； ②已知，如果 经过点（如图②），求直线 与直线 夹角的正弦值； （2）已知 与线段 相交于点 、 ，，如果，求 的长． 【答案】（1） ①证明：如图， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ， ∴ ∴ ∴即； ② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，圆的性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键； （1）①证明 ，根据相似三角形的性质，即可得证； ②根据①的结论，结合已知得出，进而得出，过点 作 于点 ，连接得出则过点 作交 于点 ，则四边形是矩形，得出直线 与直线 夹角的为，进而根据正弦的定义，即可求解； （2）设，根据题意画出图形，分当 在 的左侧时，当 在 的右侧时，分别求得 ，，进而在，中，，根据勾股定理求得 的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∴ ∴ 过点 作 于点 ，连接，如图， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ 过点 作交 于点 ，则四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线 与直线 夹角的正弦值为 【小问2详解】 解：∵， ∴设 ①当 在 的左侧时，如图，连接， ，过点 作于点 ， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∵ ∴ ∴在，中， ∴ 解得： ∴ ②如图，当 在 的右侧时， ∴ ∴ 同理可得， ∴ 同理得， 解得： ∴ 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $