精品解析：2025年上海市虹口区中考数学二模试卷

2024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 若单项式次数是8，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 4. 小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差． 5. 已知四边形是平行四边形，对角线相交于点，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. ． 6. 如图1，直线，直线分别与相交于点，与之间的距离为，．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（　　） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 10 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：___________． 8. 计算：___________． 9. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______． 10. 不等式组的解集是___________： 11. 已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 12. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 13. 某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 14. 如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是___________． 15. 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 16. 如图，在中，，如果以点为圆心与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 17. 如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应．如果点都在抛物线上，那么点到点距离是___________． 18. 我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是___________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 如图，在中，，，点为边的中点，以为圆心，以为半径作弧交边于点，求和的长． 22. 其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） （1）求与函数解析式（不写定义域）； （2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； （3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 23. 如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，求证：． 24. 如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； （2）已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； （3）已知抛物线对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 25. 阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图，在中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在中，如果，那么． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作． （1）如图①，过点作，垂足为． ①求证：； ②已知，如果经过点（如图②），求直线与直线夹角的正弦值； （2）已知与线段相交于点、，，如果，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，立方根，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A.，则A不符合题意， B.是最简二次根式，则B符合题意， C.，则C不符合题意， D.不是二次根式，则D不符合题意， 故选：B． 2. 若单项式的次数是8，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式次数定义．熟练掌握单项式中所有字母的指数和，叫做单项式的次数，是解决问题的关键．利用单项式次数的定义计算即可． 【详解】解：∵的次数是，， ， ， 故选：D． 3. 下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可解答． 【详解】解： A.， 的值随的值增大而减小，符合题意； B. ， 的值随的值增大而增大，不符合题意； C. ，当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，不符合题意； D选项，，在每一象限内，的值随的值增大而增大，不符合题意； 故选：A． 4. 小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，13、14岁的人数和为（人）， 则这组数据的中位数为（岁）， 故选：C． 5. 已知四边形是平行四边形，对角线相交于点，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意； C、不能证明四边形为矩形，故此选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图1，直线，直线分别与相交于点，与之间的距离为，．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（　　） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点B作交于点G，解直角三角形求出，然后利用角平分线和平行线得到，即可得到． 【详解】如图所示，过点B作交于点G ∵与之间的距离为， ∴ ∴ ∴ 由作图得，平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的基本作图，解直角三角形，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算进行计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 8. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同分母的分式的加减法运算，分母不变，分子相减，再进行约分即可． 【详解】解：原式； 故答案为：2． 9. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程求解即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 10. 不等式组的解集是___________： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 11. 已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 12. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行解即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，平移后所得新抛物线的表达式是：； 故答案为：． 13. 某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用九年级学生人数除以学生总数即可得到答案． 【详解】解；∵一共有名学生，其中九年级有3名学生，且每个学生被选到的概率相同， ∴随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，选到九年级学生的概率， 故答案为：． 14. 如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量、梯形、平行四边形判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．依题意得出，四边形为平行四边形，则，进而得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， ， ， ， ，四边形为平行四边形， ， 点是边的中点， 故答案为：． 15. 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，在中，，， ，又， ， 即正六边形的边长为， 设正六边形的中心为，连接，过点作于点， 则， 在中，，， ， 即正六边形的边心距为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接，由与外切，则经过切点，利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 17. 如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应．如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键；已知和，则，平移后的坐标为，的坐标为，都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，，即可求得点到点的距离． 【详解】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为，的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入 ， 故答案为：． 18. 我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是“邻补四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵，， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积是； ④当时， 同理， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得， 则，，， ∴四边形的面积是； 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分母有理化，涉及零指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，再分母有理化，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 21. 如图，在中，，，点为边的中点，以为圆心，以为半径作弧交边于点，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和等腰三角形的性质．连接，，作于点，根据等腰三角形的性质得，，，解直角三角形和勾股定理即可求出，根据尺规作图和等腰三角形的性质得，，再根据解直角三角形和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，作于点， ，点为边的中点， ，，， ， 设，则 ， ， 解得负值舍去， ， ， 以为圆心，以为半径作弧交边于点， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， 解得负值舍去， ， ． 22. 其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） （1）求与的函数解析式（不写定义域）； （2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； （3）根据样本中蓝莓蜜饯平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】（1） （2）万元/吨 （3）需要采购蓝莓的重量为吨 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ 【小问2详解】 解：依题意，平均销售价为（万元/吨） 【小问3详解】 解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 23. 如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得出，进而得出，根据中位线的性质可得出，结合已知可得四边形是平行四边形，根据，即可得证； （2）证明，得出进而证明得出，证明，即可证明得出，进而根据，，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图， ∵，即 ∴ ∵，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即是的中点， 又∵， ∴是的中点， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 证明：∵，即 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是的中位线， ∴ 又 ∴即 24. 如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； （2）已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； （3）已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点不存在 【解析】 【分析】（1）先求得，进而待定系数法得出直线解析式为，将代入得：得出，进而根据抛物线对称轴公式，即可求解； （2）由（1）抛物线解析式为，得出，进而求得得出，可得解方程得出点的值，即可求解． （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，则为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，根据得出，进而得出，证明，得出是等腰直角三角形，根据得出，进而求得，最后判断得出不在线段上，故点不存在． 【小问1详解】 解：在中，令得， ， 设直线解析式为 把，代入得： ，解得 直线解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的对称轴为直线 【小问2详解】 由（1）知， 抛物线解析式为， ， ， 解得， 令得， ， 在中，令得， ， ， ， 解得舍去或， 抛物线的表达式为； 【小问3详解】 过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： 抛物线对称轴为直线， 解得， 抛物线解析式为， 令得， 解得或， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设，则 ， ∴ ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ． ， 是等腰直角三角形， 轴，则不在线段上，故点不存在． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，相似三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形解决问题． 25. 阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图，在中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在中，如果，那么． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作． （1）如图①，过点作，垂足为． ①求证：； ②已知，如果经过点（如图②），求直线与直线夹角的正弦值； （2）已知与线段相交于点、，，如果，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，圆的性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键； （1）①证明，根据相似三角形的性质，即可得证； ②根据①的结论，结合已知得出，进而得出，过点作于点，连接得出则过点作交于点，则四边形是矩形，得出直线与直线夹角的为，进而根据正弦的定义，即可求解； （2）设，根据题意画出图形，分当在的左侧时，当在的右侧时，分别求得，，进而在，中，，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴即； ②∵， ∴， ∴ ∴ 过点作于点，连接，如图， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ 过点作交于点，则四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线与直线夹角的正弦值为 【小问2详解】 解：∵， ∴设 ①当在的左侧时，如图，连接，，过点作于点， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∵ ∴ ∴在，中， ∴ 解得： ∴ ②如图，当在的右侧时， ∴ ∴ 同理可得， ∴ 同理得， 解得： ∴ 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$