拓展13-2 立体几何的夹角、距离问题-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

拓展13-2 立体几何的夹角、距离问题 一、求异面直线的夹角 六、已知二面角求其它 二、已知异面直线的夹角求其他 七、等体积法求点面距离 三、求线面夹角 八、折叠问题中的夹角和距离 四、已知线面夹角求其它 九、夹角的最值范围问题 五、求二面角 一、求异面直线的夹角 方法点拨：异面直线所成的夹角的步骤： ①选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线; ②证明所作的角是异面直线所成的角；③在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之; ④因为异面直线所成角的取值范围是,故所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 1．如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 5．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 二、已知异面直线的夹角求其他 6．在正三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点，若异面直线与EF所成的角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四面体中，，，与所成的角为，，分别为，的中点，求线段的长. 8．在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 9．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 10．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    三、求线面夹角 方法点拨：求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 11．正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 13．在四棱锥中，底面，，，，．求与平面所成的角的正弦值． 14．如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 四、已知线面夹角求其它 16．三棱锥中， PA与面ABC所成角的余弦值为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 17．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 18．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成角，则此三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 19．如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（    ）    A．1 B． C． D．2 20．如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为 .    五、求二面角 方法点拨： 1.利用二面角的平面角的定义：在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2.利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 21．如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 22．如图，在多面体中，平面是边长为2的等边三角形．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 23．在正方体中，平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为 ． 24．如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 25．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点. (1)求证:平面； (2)求点到平面的距离； (3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值. 六、已知二面角求其它 26．如图，已知正四棱锥的底面边长，侧面与底面所成的二面角的正切值为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 28．、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为 29．如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 30．如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求的长度. (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 七、等体积法求点面距离 方法点拨：一般用等体积法，通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离 31．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 32．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，. (1)证明：平面 (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 33．如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 34．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 35．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点. (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离. 八、折叠问题中的夹角和距离 36．如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 37．如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 38．在平面四边形中，，，点为的靠近的三等分点，，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点. (1)证明：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 39．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 40．如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且平面平面． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求与平面所成的角的正弦值． 九、夹角的最值范围问题 41．动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 43．如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .    44．如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 45．如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.    (1)当平面⊥平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求二面角的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展13-2 立体几何的夹角、距离问题 一、求异面直线的夹角 六、已知二面角求其它 二、已知异面直线的夹角求其他 七、等体积法求点面距离 三、求线面夹角 八、折叠问题中的夹角和距离 四、已知线面夹角求其它 九、夹角的最值范围问题 五、求二面角 一、求异面直线的夹角 方法点拨：异面直线所成的夹角的步骤： ①选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线; ②证明所作的角是异面直线所成的角；③在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之; ④因为异面直线所成角的取值范围是,故所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 1．如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设为的中点，连接， 由正方体的性质可得则四边形为平行四边形， 故，而为所在棱的中点，故， 故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角， 设正方体的棱长为2，则， 故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为， 故选：C. 2．在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正四棱台的高为， 连接，作交于点，作交于点，连接， 则为异面直线与所成角或其补角. 因为，且正四棱台的体积为， 即， 所以，即， 则，，， ，， 所以. 故选：D. 3．如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取的中点F，连接EF，CF，， 又为的中点， 在长方体中，可得， 所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角， 因为， 所以， ， 所以在中，由余弦定理得 . 故选：A. 4．在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 【答案】 【详解】如图所示，连接， 由正方体性质可得、都为等边三角形， 所以， 所以与所成的角为， 又，则与所成的角为， 同理，可得为等边三角形，则与所成的角为， 又， 则与所成的角为， 综上可得，与直线所成角的大小为的面对角线共有条. 故答案为：. 5．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 二、已知异面直线的夹角求其他 6．在正三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点，若异面直线与EF所成的角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取AC中点D，连接FD，DE， 又在正三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点， 则，且面ABC， 又直线与EF所成的角是45°，， 直线与EF所成的角是45° 故为等腰直角三角形， 不妨设，则， 则 故 故选：D 7．如图，在四面体中，，，与所成的角为，，分别为，的中点，求线段的长. 【答案】或 【详解】如图所示，取的中点，连接， 在中，因为为的中点，可得且， 在中，因为为的中点，可得且， 由且，可得异面直线与所成的角，且所成的角为 即为直线与所成的角，设，则或， 当时，， 所以； 当时，， 所以； 8．在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【答案】1或 【详解】设G为CD中点，分别连接EG，FG，则EG是的中位线， 可得，                           同理可得， 因为AD与BC所成的角为60° 所以等于60°或120°， 当 在中根据余弦定理得， 当同理可得 故答案为：1或 9．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，， 在中，因为为中点，所以，， 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，所以， 当，由余弦定理可得，即， 所以的长为1或. 故选：C. 10．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    【答案】或 【详解】如图，过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接， 垂直于上下底面，，，    则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，， 在中，； 当时，在中，， 在中，． 综上，或. 三、求线面夹角 方法点拨：求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 11．正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正三棱台三侧棱的延长线交于点，得三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，得，则，又，则， 则， 解得，则，设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，， 由平面，得为侧棱与底面所成的角，所以. 故选：D 12．如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为 为半球 的直径， 为 半球底面圆周上一点, 所以 , 因为 、 平面 , 所以 平面 ，又因为 平面 , 所以 , 又因为 为半球面上一点, 所以 , 又因为 平面 所以 平面 , 又 平面 , 所以 ; （2）因为三角形 为直角三角形, 所以 , 又因为 平面 , 所以 ， 又因为三角形 也是直角三角形， 所以 , 所以， 设点 到平面 的距离为 , 则有 ，即 , 所以 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 13．在四棱锥中，底面，，，，．求与平面所成的角的正弦值． 【答案】 【详解】如图，过点作，连接，过点作， 底面，平面，， 又，平面， 又平面，平面平面． ，且平面平面，面，平面， 即就是与平面所成的角， 易知，， 底面，平面，， ．， 所以与平面所成的角的正弦值为. 14．如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）如图所示，取中点，连接，， 由四边形为菱形，且， 得，， 又， ， ， ，， 又，且，平面， 平面， 平面， 平面平面. （2）如图所示，过点作，垂足，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，，平面， ∴平面. ∵平面, ，. 又，平面，且， 平面. ∵平面， 平面平面， 所以即为直线与平面所成角， 又，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：因为平面ABC，∥， 所以平面ABC，又因为平面ABC，所以， 又因为，E为BC的中点，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）解：取中点，连接，如图所示： 则有∥，且， 由题意可知∥，且， 所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 由（1）可知平面， 所以平面，面，则， 所以即为直线与平面所成角， 又因为，， 易知为等腰直角三角形， 所以， 所以， 又因为， 在中，, 所以, 在中，， 又因为，所以. 即直线与平面所成角为. 四、已知线面夹角求其它 16．三棱锥中， PA与面ABC所成角的余弦值为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，则， 的面积，由PA与平面所成角的余弦值为， 得PA与平面所成角的正弦值为，又， 三棱锥的高，所以三棱锥的体积. 故选：D 17．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意直线与圆锥底面所成角为， 则，得()， 所以该圆锥的侧面积为()． 故选：C． 18．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成角，则此三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为， 由正三棱柱中，底面， 所以为与底面所成的角，所以， 因为，所以， 即正三棱柱的底面边长为，侧棱长为， 所以三棱柱的体积为. 故选：D.    19．如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为平面，则平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，且,平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，，所以点是的中点， 又因为，所以是等腰直角三角形， 由平面，所以平面， 所以为和平面所成的角，因为 则， 所以，则， 因为是等腰直角三角形，所以， 设，所以，又， 又因为，所以， 解得：. 故选：A. 20．如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为 .    【答案】3 【详解】    在正三棱柱中，设的中点为，连接，， 平面，平面， 所以，，， 平面，平面， 则平面，所以为线段在平面内的射影， 为与平面所成的角， 所以，所以在中，. 故答案为：3 五、求二面角 方法点拨： 1.利用二面角的平面角的定义：在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2.利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 21．如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 【答案】 【详解】如下图，在平面内过作且， 由，易知为矩形，连接， 由，则，又，且都在面内， 所以面，面，则， 由，，则， 由，，易知为二面角的平面角， 又，， 所以. 故答案为： 22．如图，在多面体中，平面是边长为2的等边三角形．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，， 由于平面平面,故， ，，，平面， 平面， 又，,故， 四边形为平行四边形， ，平面，平面，故平面平面 （2）连接，过在平面内作的垂线，垂足为 连接．平面，平面,， 又，，平面， 平面，平面，故, 又，平面， 平面，平面，故, 为二面角的平面角， ，， ,故 在直角中，,故 ． 二面角的平面角的余弦值为    23．在正方体中，平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为 ． 【答案】 【详解】因为平面，平面， 可得，可知平面与平面ABCD所成锐二面角为， 又因为为正方形，可得， 所以平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为. 故答案为：. 24．如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 又底面是一个直角梯形，，， 所以，， 故，，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角， 又，所以， 故二面角的余弦值为. 25．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点. (1)求证:平面； (2)求点到平面的距离； (3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在正方形中，, 又侧面底面，侧面底面,平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，则， 又平面， 所以平面; （2）取的中点分别为，连接， 在正中，，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 所以， ， 所以为等腰直角三角形，， 设到平面的距离为， ， 所以，即到平面的距离为. （3）取的中点分别为，连接， 则，所以，在正中，, 因为平面, 则平面, 在正方形中,，故平面， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 由平面， 则平面，又平面.所以， 正方形的边长，则 ， 所以，则， 故侧面与底面所成二面角的余弦值为. 六、已知二面角求其它 26．如图，已知正四棱锥的底面边长，侧面与底面所成的二面角的正切值为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，取的中点，连接, 取的中点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，且为中点， 所以， 所以为侧面与底面所成二面角， 即， 又因为底面边长为， 所以，即， 所以， 所以正四棱锥的侧棱长为2， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 27．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面，平面， 得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，平面，平面，所以平面． （2）如图，    在正三角形内，过点作，垂足为，∴， ∵，侧面底面，面面，面， ∴底面，底面，则， 过作，垂足为，连接，， ，平面，则平面，而平面，∴， 则即为二面角的平面角，即 ∴， ∴ 在中，，∴， 由，，得四边形为平行四边形，∴， 由，得为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 28．、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为 【答案】 【详解】取的中点，连接，交于点，连接，如下图所示： 因为是正三角形，则， 又、是、的中点，所以，，翻折后； 又因为平面，且，所以平面； 因为平面，所以， 又，可得； 所以二面角的平面角为，而， 因此为等边三角形， 设的边长为，则可得， 所以, 即的正切值为. 故答案为： 29．如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵平面PAB，平面PAB∴， ∵∴， ∵，∴平面ABC，∵平面ABC，∴． ∵，，∴二面角的平面角即为，∴， ∵平面PAB，平面PAB，∴， ∵，∴， 取AB中点F，连接EF，则， 又，∴， ∴四边形PQEF为平行四边形， ∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB； （2）解：过B作于点M，∵平面PACQ，平面， ∴平面平面ABC，交线为AC，则平面PACQ，连接QM， ∴即为所求线面角， ，而， 由勾股定理可得：， 在中，过点Q作于点N，则， 因为，则，是等腰直角三角形，所以，， 由余弦定理得：， 由勾股定理得：， ∴，即BQ与平面PACQ所成角正弦值为． 30．如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求的长度. (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，则， ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面，又平面， ∴，又正方形的边长为， ∴，； （2）取的中点，连接， ∵， ∴，， 为二面角的平面角， ∴， 由题可知与全等， 在中，，， ， ∴， ∴， ∴. 七、等体积法求点面距离 方法点拨：一般用等体积法，通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离 31．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1） 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 32．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，. (1)证明：平面 (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） 取的中点，连接, 因为，所以, 因为分别是中点，得出 所以四边形是平行四边形， 所以平面,不在平面内, 所以平面. （2）因为平面,平面,, 因为，所以, 所以 因为,所以, 平面,平面, 所以平面,又平面, 所以平面平面. （3）设点到平面的距离为, 因为, 所以, 在中，， 又因为, 所以,即得. 33．如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【详解】（1）连接交于点，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面. （2）设点到平面的距离为， 在直三棱柱中，平面， 则为三棱锥的高， 所以, 又因为， 所以, , 所以，即. 所以， 即， 由解得. 所以点到平面的距离为. 34．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）证明：如图取中点，连接，， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）设到平面的距离为， 因为，平面，平面，所以平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ∵，，底面为菱形，为正三角形， 底面，底面，故, 得，，所以， 所以， 所以，所以， 所以到平面的距离为. 35．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点. (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点. 又因为是中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面. （2）解：因为∥平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 因为是中点，且平面， 所以点到平面的距离为. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以, 所以， 所以，所以， 所以 . 设点到平面的距离为， 则， 即， 代入得， 所以点到平面的距离为. 八、折叠问题中的夹角和距离 36．如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过作，垂直，交于，如图所示： 因为，，所以梯形为等腰梯形， 则，. 在中，，，则. 所以， 则，即. 沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，如图所示： 在中，，， 则，即. 所以平面. 又因为平面，所以平面平面， 即二面角的平面角为. 故选：D 37．如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在正方形中，连接，则， 因为点E、F分别是AB、BC的中点，所以∥， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）解：由（1）平面，所以为直线MF与平面所成角， 所以， 令，则， 所以， 设，连接， 由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以， ，， 在中，由余弦定理得 ， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面角和二面角，考查折叠问题，解题的关键是弄清折叠前后边角的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题》 38．在平面四边形中，，，点为的靠近的三等分点，，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点. (1)证明：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，，所以四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为矩形，得， 在折起后，，， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，， 因为点在线段上，且满足，点为的中点， 所以，， , 因为， 所以，即. 因为平面，平面，， 所以平面. （2）取的中点，连接，MN，FN， 则，所以平面，为三棱锥的高， ，， 又，，， 所以，， 所以，， 所以， 设点到平面的距离为， 由得，解得， 即点到平面的距离为. 39．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为为中点，为正三角形，所以， 又因为平面，，所以平面. （2）设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 由（1）可知，由题意可知，，， 则，， 由得， 所以，即与平面所成的角的正弦值为. 40．如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且平面平面． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）因为为矩形，所以， 又因为平面平面且交于，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面， 所以平面，平面， 所以； （2）如图： 过作于点，过作于点，连， 因为面面且交于，所以面，平面， 平面， 面平面，， 所以，为二面角的平面角， 在Rt中，， ，显然，， 所以， 所以，二面角的余弦值为. （3）由（1）知：， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，得：， 与平面所成的角的正弦值为． 九、夹角的最值范围问题 41．动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 同理，平面，又平面， 所以平面平面， 则由与平面的距离保持不变，得点的移动轨迹为三角形的三条边， 当为中点时，直线与平面所成角正弦值最大， 取的中点，设正方体的棱长为2， 则，，， 所以，则为直角三角形， 所以直线与平面所成角正弦值为， 当为C点时，直线与平面所成角的正弦值最小， 此时，，， 所以，则. 直线与平面所成角正弦值的取值范围是， 故选：C. 42．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，    由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面, （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 【点睛】线面角可以通过体积法求出点到面的距离后，利用（为斜线段的长度）来表示，可以避免建系产生的复杂计算. 43．如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .    【答案】/ 【详解】如图，自点引平面的垂线，垂足为，因为，    则两点在以为高，以为母线的圆锥的底面圆周上， 因为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 所以当两点运动到公共棱上时，最大，则最长，此时在中为定值，最大，所以AD最大. 自点引公共棱的垂线，则由题意得， 所以，，所以， 因为，所以， 因为，所以为的中点，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中由余弦定理得, 故答案为： 44．（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，在中，， 则，，所以，，由，，所以， 所以，又因为，，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2） 在平面中，过点作，因为为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且， 又，平面，所以平面，在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，即，，又因为， 所以，由可得，， 设，，则，， 所以，当且仅当时等号，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角的平面角以及直线与平面所成的角，然后写出的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式. 45．如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.    (1)当平面⊥平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求二面角的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在图1中，连接交于点， 则， 可知，可得， 则，， 因为平面平面BCD，平面平面，平面， 所以面BCD. 则是直线与平面所成角，所以.    （2）如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.    由（1）可知：，，，平面， 则平面，且平面，可得. 且，，平面，所以平面. 由平面，可得. 且，，平面，所以平面， 由平面，可得， 所以是二面角的平面角， 设， 由（1）可知：， 在直角三角形中，，则， 因为，则，可得，所以， 在直角三角形中，. 设，则， 即，解得，当时，等号成立， 所以， 又因为，则， 所以二面角的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$