精品解析：重庆市2025届学业质量调研抽测 (第二次)数学试题

重庆市高 2025 届学业质量调研抽测(第二次) 数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集可得，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为全集，，可得， 所以，，，. 故选：D. 2. 从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（ ） A. 88 B. 90 C. 123 D. 126 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数的概念即可求解. 【详解】由题意， 所以下四分位数为， 故选：A 3. 已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先将命题看成真命题求出的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案 【详解】因为是纯虚数，所以 ， 所以. 故命题是命题 的充要条件 故选：C. 4. 某学校举行运动会， 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先对四位同学进行分组，再将三组同学分配到三个比赛项目. 【详解】对甲、乙、丙、丁四位同学分成3组，则三组各有位同学，共有种， 又因为甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，且甲乙在一组时仅有种分法，则共有种分组方法， 所以不同的参赛方案共有种. 故选：C 5. 已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B 6. 若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出整体角的范围，根据题意，结合函数的图象，即可确定的范围，继而求出的取值范围. 【详解】 对于，因，则， 作出函数在上的图象， 要使原函数在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，需使， 解得. 故选：A. 7. 已知抛物线为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率之积为-2，则点到直线的最大距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设直线，，联立直线与抛物线的方程，表示出，与韦达定理联立求出，结合题意分析即可求解. 【详解】设直线，， 则，可得， 所以， 又，，所以， 所以， 所以，所以直线恒过， 则点到直线的最大距离为4. 故选：. 8. 设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与之间的关系求得，可得，则，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】因为， 当时，则， 两式相减得， 整理可得， 且，则，可得，即， 可知等差数列的公差， 当时，则，解得； 所以，可知数列为正奇数列， 对于数列， 当时，可得为偶数； 当时，可得为奇数； 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：A. 二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知 为 内部的一点，满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】把变形得然后两边平方，再由平面向量数量积的运算律计算即可判断A；根据数量积的运算律和定义计算即可判断B；根据向量的求模公式和数量积的定义计算即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D. 【详解】由，又， 所以，故A对； 由， 所以，故B错； ，故C对； ，故D对； 故选：ACD 10. 如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（ ） A. B. 平面 平面 C. 三棱锥 的体积为 D. 四面体 的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由等积法可以判断C；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算可以判断A，B；根据题意设出球心，进而求出外接球半径及表面积. 【详解】 如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 对A，不0，所以A不正确； 对B，设平面的法向量为，， 所以，令，则. 设平面的法向量为，， 所以，令，则. 所以，所以平面平面，故B正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：三棱锥的外接球球心为，由， 四面体 的外接球的表面积为 ，故D正确. 故选：BD. 11. 已知双曲线的左右顶点分别为 ，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（ ） A. 点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 设 ，则 的最小值为 C. 为定值 D. 当 取最小值时， 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】 由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 为定值，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D正确； 故选：BCD 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 的展开式中的常数项是_____. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，令，可解. 【详解】的展开式的通项公式为： ， 令，得， 则. 故答案为： 13. 过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】把曲线方程变形，设出过点且与圆一部分，相切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案． 【详解】由曲线，得， 作出图象如下： 设过点且与半圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即． 由，解得或（舍去）， 直线的斜率的最大值为． 故答案为： 14. 已知函数 满足 ，且 ，则 _____. 【答案】-10 【解析】 【分析】由，推出函数的周期为求解. 【详解】由，得， 两式相加得，则， 所以函数的周期为， 设，则，， ，又，则，即， 所以，，，， 所以， ， 故答案为：-10 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别 ，且 . （1）求角 的值； （2）若为锐角三角形，且 ，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，进而可得，可得； （2）由为锐角三角形可得，根据正弦定理可得，进而可得，，进而可得. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 得， 得， 得， 因，故，故，即， 又，故. 【小问2详解】 由得， 由为锐角三角形可得得， 由正弦定理可得，故， 即， 因，故，故， 故， ，故， 故面积的取值范围为 16. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】（1） （2）的分布列见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【小问1详解】 由题意， 得. 【小问2详解】 由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 【小问3详解】 设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点. （1）若点为线段 的中点，求证:直线平面 ； （2）若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，即得，由线线平行证明线面平行即可； （2）先证明平面，取中点，连接，建立空间直角坐标系后，，写出相关点的坐标，利用点到平面的距离公式列出方程，求解得到，利用结合图形，求得，利用空间向量的夹角公式计算直线与平面所成角即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，因点为线段 的中点，故， 因底面为矩形，为的中点，则， 故有，即得，则， 因平面，平面，故有直线平面； 【小问2详解】 如图，因平面平面，平面平面， 为等边三角形，且为的中点，则，故平面， 取中点，连接，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 因为侧棱的中点，则，于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 又，则点到平面的距离为，解得. 因，则， 因， 设平面的法向量为，则，故可取， 设直线 与平面 所成角为，则. 18. 已知函数 . （1）设过点 且与曲线 过此点切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值; （3）若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【小问1详解】 由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：； 【小问2详解】 当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立, 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 【点睛】方法点睛：原不等式进行同构函数，然后再利用单调性，化简为简单不等式，再用分离参变量方法,来求解即可. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上. （1）求的方程; （2）过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中. ① 求 ； ② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: . 【答案】（1） （2）①②证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组即可求解； （2）①设的方程为，根据韦达定理以及中点坐标公式求得的坐标，同理可得的坐标，进一步可得点的坐标即可得解；②依次得出，，进而得到，从而通过放缩和裂项即可求解. 【小问1详解】 由题意，设椭圆方程为， 则有，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设的方程为． ， 由，得， ， 同理可得：， 三点共线，当轴时，则， 当与轴不垂直时，由得： ， ②因为，所以， 由得：，且， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市高 2025 届学业质量调研抽测(第二次) 数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（ ） A. 88 B. 90 C. 123 D. 126 3. 已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某学校举行运动会， 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 5. 已知函数 是定义在上偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率之积为-2，则点到直线的最大距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知 为 内部的一点，满足 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正四棱柱 底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（ ） A. B. 平面 平面 C. 三棱锥 的体积为 D. 四面体 的外接球的表面积为 11. 已知双曲线的左右顶点分别为 ，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（ ） A. 点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 设 ，则 的最小值为 C. 为定值 D. 当 取最小值时， 的面积为 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 的展开式中的常数项是_____. 13. 过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为_____. 14 已知函数 满足 ，且 ，则 _____. 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别 ，且 . （1）求角 的值； （2）若为锐角三角形，且 ，求面积的取值范围. 16. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，， 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点. （1）若点为线段 的中点，求证:直线平面 ； （2）若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值. 18. 已知函数 . （1）设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值; （3）若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上. （1）求的方程; （2）过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中. ① 求 ； ② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$