精品解析：浙江省宁波三锋教研联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：明港中学 审题学校：泰河中学、武岭中学、慈湖中学 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得， 由，得，则， 所以或. 故选：D 3. 如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法及已知确定原图的高和底边长，即可求面积. 【详解】由斜二测画法知，原四边形的高为，， 所以四边形的面积为. 故选：A 4. 已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行和面面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A： 若时，则不成立，故A错误； 对于B：若，，，，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，，则或与相交，故C错误； 对于D：由面面平行的判定定理可知D正确. 故选：D. 5. 如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，即可得. 【详解】由题设， . 故选：B 6. 在中，已知，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可； 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 7. 如图，在中，已知，，P是线段与交点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 8. 如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故. 若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则. 若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则. 若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故. 故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A：利用向量的数量积求向量的模；选项B：利用向量平行的条件求解当时，是否正确即可；选项C：利用数量积求解当两个向量垂直时是否成立即可；选项D：利用数量积求解一个向量在另一个向量上的投影向量即可. 【详解】选项A： ，故A错误. 选项B：当 时，存在实数 使得 且，得 ， 代入得：，，故选项B正确. 选项C：当与垂直时，. ，化简得，即， 故项C正确. 选项D： ， ， 投影向量为，与选项中的( )不符，故D错误. 故选：BC. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A；利用正弦定理解三角形判断B；利用锐角三角形的定义判断C；判断三角形形状判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，A正确； 对于B，由正弦定理得，由，得， 因此有两解，B正确； 对于C，由，得，即，A为锐角，而角不能确定都为锐角，C错误； 对于D，由，得，整理得或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若Q，M，N，P四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，确定正六边形相关边长，进而求其表面积. 【详解】 对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故正确； 对于B，延展平面，结合平面的基本性质及正方体的结构特征得截面如图（2），易知平面过的中点，所以，错误； 对于C，如图（1），若，取的三等分点(靠近)，的中点，则， 平面，平面，故平面，同理平面， 又且都在平面，所以平面平面， 当点在线段上时，平面，则满足平面，所以即为的轨迹， 由，得，正确； 对于D，如图（2），，则正六边形的面积为，的面积为，所以棱锥的表面积为，故正确. 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，可由三棱锥构造正方体，利用两者的外接球相同，即可求出三棱锥的外接球体积. 【详解】 由题意，，，，， 故可将三棱锥放在如图以为四个顶点的正方体中， 则三棱锥的外接球即该正方体的外接球，则外接球的直径为， 故三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 13. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求得长，在中利用三角函数的定义即可求得长. 【详解】如图，在中，， 由正弦定理，， 则， 在中，. 故答案为：. 14. 在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，再根据平面向量的线性运算即数量积运算化简可得，进而可得当时取最小值，再根据勾股定理与余弦定理求解即可. 【详解】取中点，则， 又的最小值为3，故，易知最小时且， 所以，，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值； （2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值． 【详解】（1）由已知，得， ； （2）设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为. 16. 如图，梯形中，，，，，在平面内以过的直线为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【解析】 【分析】根据题意，可知以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体为圆台，根据圆台的表面积和体积公式求解. 【详解】以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体为圆台． 上、下底面圆半径分别是1、2，圆台的高为，母线长为2； 圆台的侧面积， 圆台的上下底面积， 圆台的表面积， 圆台的体积． 17. 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得正确答案. （2）将转化为来表示，再根据三角函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 由正弦定理得， 则， 所以， 即， 由于，所以，所以， 则，，由于， 所以. 【小问2详解】 若，由正弦定理得， 所以， 所以三角形的周长为 ， 由于三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以三角形周长的取值范围是. 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若，，且点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知应用向量数量积的运算律有，即可得； （2）由（1）及题设的定义知，设，，，应用等面积法有，应用向量数量积的定义求解； （3）由题设，设，，，，，，由已知得，再应用余弦定理及得，最后应用基本不等式求最值. 【小问1详解】 ，则， ， ，故. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 由费马点定义知， 设，，，由， 整理得，整理得， 则. 【小问3详解】 因为点为的费马点，所以， 设，，，，，， 由，得． 由余弦定理得， ， ， 由，得， ，又，，所以， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，所以，解得或（舍去）， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：明港中学 审题学校：泰河中学、武岭中学、慈湖中学 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，是平面上两个不共线单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C 、、三点共线 D. 、、三点共线 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，，，则 5. 如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，且，则形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形 7. 如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若Q，M，N，P四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 非选择题部分 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是_____． 13. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米． 14. 在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 如图，梯形中，，，，，在平面内以过的直线为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 17. 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，求周长的取值范围． 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若，，且点为费马点，求； （3）设点为的费马点，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$