精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期高二年级期末考试·数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 下列三个数依次成等比数列的是（ ） A. 1，4，8 B. ，2，4 C. 9，6，4 D. 4，6，8 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知（，且），若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. 19 B. 21 C. 23 D. 25 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列，，，则等于（ ） A. 3027 B. 3028 C. 3034 D. 3035 7. 函数在区间上的（ ） A. 最小值为0，最大值为 B. 最小值为0，最大值为 C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为0，最大值为2 8. 已知数列的前项和为，且.若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列数列的通项公式中，是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于极值点的说法正确的是（ ） A. 若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B. 在任意给定区间上必存在最小值 C. 的最大值就是该函数的极大值 D. 定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 11. （多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 13. 已知，且（为正整数），则______. 14. 已知实数与是函数的两个极值点，且，则的最小值为___________. 四、解答题（5小题，15题13分，16，~17题15分，18，~19题17分，共77分） 15. 已知点P和点Q是曲线上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4．求： （1）割线的斜率； （2）点P处的切线方程． 16. 回答下面两个问题 （1）在等差数列中，已知，，求a1与Sn ． （2）在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式． 17. 已知数列是等比数列． （1）若，，求q与； （2）若，，求． 18. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级期末考试·数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 下列三个数依次成等比数列的是（ ） A. 1，4，8 B. ，2，4 C. 9，6，4 D. 4，6，8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的知识求得正确答案. 【详解】，A选项错误；，B选项错误. 因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确. ，D选项错误. 故选：C 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3. 已知（，且），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，由可求得实数的值. 【详解】因为，则，所以，， 因为，且，解得. 故选：A. 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. 19 B. 21 C. 23 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得. 【详解】在数列中，，， 所以. 故选：B 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 6. 已知数列，，，则等于（ ） A. 3027 B. 3028 C. 3034 D. 3035 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用并项求和法运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 7. 函数在区间上的（ ） A. 最小值为0，最大值为 B. 最小值为0，最大值为 C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为0，最大值为2 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值. 【详解】，所以在区间上单调递增， 因此的最小值为，最大值为. 故选：B 8. 已知数列的前项和为，且.若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求解通项公式，然后递增数列的特点求解的取值范围. 【详解】当时，； 当时，， 因为，所以当时，数列为递增数列. 若数列为递增数列，只需，所以，即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列的单调性，由求解时，公式是关键，侧重考查数学运算的核心素养. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列数列的通项公式中，是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可. 【详解】对于A，，数列为递减数列，A错误； 对于B，，数列为递增数列，B正确； 对于C，，数列为递增数列，C正确； 对于D，， ，当为偶数时，， 数列不是递增数列，D错误. 故选：BC. 10. 下列关于极值点的说法正确的是（ ） A. 若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B. 在任意给定区间上必存在最小值 C. 的最大值就是该函数的极大值 D. 定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决. 【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误， C选项，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确； 对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确； 在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确； 故选：BCD． 11. （多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的特性，再逐项计算判断作答. 【详解】，，，即，则，A正确； 显然有，于是得， 因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确； 于是得，， 则，，C正确，D不正确. 故选：ABC 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】由等差中项与等比中项计算即可. 【详解】若a，b，c三个数成等差数列. 所以. 若a，b，c三个数成等比数列. 所以 故答案为：5，. 13. 已知，且（为正整数），则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知关系式推导出是以为周期的数列，所以根据周期性即可求出结果. 【详解】因为，且， 所以，， ，， ，，， 所以是以为周期的数列， 因为， 所以. 故答案为： 14. 已知实数与是函数的两个极值点，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，转化为方程的两正实根分别为与，并得到的关系，代入后，设函数后，利用导数求函数的最小值. 【详解】∵，∴方程的两正实根分别为与，则，解得，且，，∴，，则，.令，，则.当时，恒成立，∴在上单调递增，∴，则的最小值为. 故答案为： 四、解答题（5小题，15题13分，16，~17题15分，18，~19题17分，共77分） 15. 已知点P和点Q是曲线上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4．求： （1）割线的斜率； （2）点P处的切线方程． 【答案】（1）3；（2）y+4＝0 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式求出P、Q的坐标，计算PQ的斜率； （2）利用导数求出P点的斜率，写出过点P的切线方程． 【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3， 当x＝1时，y＝﹣4，当x＝4，y＝5； ∴P（1，﹣4），Q（4，5）； ∴割线PQ的斜率为kPQ3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴y′＝2x﹣2； 当x＝1时，k＝2×1﹣2＝0； ∴点P处的切线方程为y﹣（﹣4）＝0， 即y+4＝0． 16. 回答下面两个问题 （1）在等差数列中，已知，，求a1与Sn ． （2）在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用等比数列的通项公式即可得出． 【小问1详解】 ，， ，解得． ； 【小问2详解】 设此等比数列的公比为q，∴， 解得：． 17. 已知数列是等比数列． （1）若，，求q与； （2）若，，求． 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件列出方程组，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解； （2）由题设条件，列出方程组，求得或，分类讨论求得首项的值，即可求解. 【详解】（1）由数列是等比数列，设等比数列的公比为， 因为，，可得，即，解得， 所以. （2）设等比数列的公比为，因为，， 可得，即，解得或， 当时，可得，则； 当时，可得，则. 18. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $