高一数学月考卷（人教B版2019，测试范围：人教B版2019必修第三册～第四册的第十章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教B版2019必修第三册——第四册的第十章. 5．难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数，则（    ） A． B． C． D．1 2．的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 5．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若，且，则（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（    ）恰好能抓获毒贩. A．1 B．2 C．3 D．4 7．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 10．已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为 11．已知向量，函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调增区间为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数满足，则的最大值为 . 13．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 14．已知函数．若对于，均有成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本小题满分13分）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若，，求的值. 16．(本小题满分15分）已知函数． (1)若，求； (2)若、为锐角，且，，求及的值； (3)已知，，，求，的值． 17．(本小题满分15分）在中，，，分别为内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求三角形周长的最大值. (3)点在边上，且，，求面积的最大值. 18．(本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间. 19．(本小题满分17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)①求证：对任意的实向量与，都有； ②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D B C C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本小题满分13分） 【解】（1）因为，， 则，， …………………………2分 所以， ………………………3分 因为是向量的夹角，所以， 因此， …………………………4分 故. …………………………5分 （2）因为， 所以， …………………………7分 所以，即， 所以，又， 所以， …………………………9分 所以， ， …………………………11分 所以. …………………………13分 16．(本小题满分15分） 【解】（1）因为，， 所以，则， …………………………2分 则，即， …………………………3分 又，则， 所以. …………………………4分 （2）， ， …………………………6分 ，为锐角，即， ，． ，， ，又， ， ，，………………………8分 ． …………………………10分 （3），， ， …………………………11分 则 ， …………………………12分 所以， 即， 且， …………………………13分 又，，当时，，； 当时，与相矛盾，不符合题意． 所以． …………………………15分 17．(本小题满分15分） 【解】（1）， ，即， …………………………3分 ，， ………………………4分 . …………………………5分 （2）因为，所以， 则，当且仅当时等号成立， …………………………7分 可得， 所以三角形的周长最大值为. …………………………9分 （3）根据题意可得， …………………………10分 平方可得. …………………………11分 整理得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， …………………………13分 所以， 即面积的最大值为. …………………………15分 18．(本小题满分17分） 【解】（1）由图可得，解得， ………………………2分 所以函数， 又由图， 所以，则， …………………………5分 又因为，所以， 则函数的解析式为. …………………………7分 （2）因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， …………………………9分 且当时，；当时，；当时，， 所以，， 故在上的最大值为；最小值为. …………………………12分 （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的可得的图象， 再向左平移个单位得到的图象， 即， …………………………14分 令， 解得，可得的减区间为. ……………………17分 19．(本小题满分17分） 【解】（1）令． 由已知得， 所以 …………………………2分 由，可得， …………………………3分 由，可得． …………………………4分 （2）①设实向量与的夹角为，则， 因为，所以， 即，当且仅当与共线时等号成立． …………………………7分 ②设，（为实数）． ，，． …………………………9分 由①得成立， 当且仅当与共线，即时等号成立． …………………………11分 ③设复向量，，， ， …………………………13分 由得． …………………………15分 又因为，， 所以仍然成立． …………………………17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教B版2019必修第三册——第四册的第十章. 5．难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数，则（    ） A． B． C． D．1 2．的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 5．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若，且，则（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（    ）恰好能抓获毒贩. A．1 B．2 C．3 D．4 7．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 10．已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为 11．已知向量，函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调增区间为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数满足，则的最大值为 . 13．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 14．已知函数．若对于，均有成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本小题满分13分）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若，，求的值. 16．(本小题满分15分）已知函数． (1)若，求； (2)若、为锐角，且，，求及的值； (3)已知，，，求，的值． 17．(本小题满分15分）在中，，，分别为内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求三角形周长的最大值. (3)点在边上，且，，求面积的最大值. 18．(本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间. 19．(本小题满分17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)①求证：对任意的实向量与，都有； ②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教B版2019必修第三册~第四册的第十章. （第七章 三角函数、第八章 向量的数量积与三角恒等变换、第九章 解三角形、第十章 复数） 5．难度系数：0．65． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由，得到，故选A. 2．的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】令，，又，所以函数是偶函数，故选A. 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，所以，，所以，故选D 4．设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为是方程的两根， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则，所以，故选B. 5．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 , 且 ,可得 , 两边平方, 可得 即，可得 ， 解得 ，故选 . 6．如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（    ）恰好能抓获毒贩. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设缉毒船经过恰好能抓获毒贩， 由题意知， 由余弦定理可得， 即， 整理得，解得（负值舍去），故选C 7．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为，故选B. 8．设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即，故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 【答案】BCD 【解析】设， 选项A，若，则，不一定是实数，A错； 选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确； 选项C，是实数，C正确； 选项D，设，则 ，D正确； 故选：BCD． 10．已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】由向量，得，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 11．已知向量，函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调增区间为 【答案】AB 【解析】由题意得，． 的最小正周期，故A正确； 由，知的图象关于点对称，故B正确； 由，知的图象不关于直线对称，故C错． 由，得，， 所以的单调增区间为，故D错； 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 13．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 【答案】 【解析】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得， 所以扇环的面积为. 14．已知函数．若对于，均有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】易知，当时，，易知此时单调递增； 所以为奇函数且在上单增， 对任意成立 对任意成立 对任意成立 对任意成立 对任意成立 对任意成立 令， 对任意成立， 对任意成立，又时，显然恒成立， 对成立且对成立 由对勾函数在，单调递减， ，所以的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(本小题满分13分）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若，，求的值. 【解】（1）因为，， 则，， …………………………2分 所以， ………………………3分 因为是向量的夹角，所以， 因此， …………………………4分 故. …………………………5分 （2）因为， 所以， …………………………7分 所以，即， 所以，又， 所以， …………………………9分 所以， ， …………………………11分 所以. …………………………13分 16．(本小题满分15分）已知函数． (1)若，求； (2)若、为锐角，且，，求及的值； (3)已知，，，求，的值． 【解】（1）因为，， 所以，则， …………………………2分 则，即， …………………………3分 又，则， 所以. …………………………4分 （2）， ， …………………………6分 ，为锐角，即， ，． ，， ，又， ， ，，………………………8分 ． …………………………10分 （3），， ， …………………………11分 则 ， …………………………12分 所以， 即， 且， …………………………13分 又，，当时，，； 当时，与相矛盾，不符合题意． 所以． …………………………15分 17．(本小题满分15分）在中，，，分别为内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求三角形周长的最大值. (3)点在边上，且，，求面积的最大值. 【解】（1）， ，即， …………………………3分 ，， ………………………4分 . …………………………5分 （2）因为，所以， 则，当且仅当时等号成立， …………………………7分 可得， 所以三角形的周长最大值为. …………………………9分 （3）根据题意可得， …………………………10分 平方可得. …………………………11分 整理得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， …………………………13分 所以， 即面积的最大值为. …………………………15分 18．(本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间. 【解】（1）由图可得，解得， ………………………2分 所以函数， 又由图， 所以，则， …………………………5分 又因为，所以， 则函数的解析式为. …………………………7分 （2）因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， …………………………9分 且当时，；当时，；当时，， 所以，， 故在上的最大值为；最小值为. …………………………12分 （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的可得的图象， 再向左平移个单位得到的图象， 即， …………………………14分 令， 解得，可得的减区间为. ……………………17分 19．(本小题满分17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)①求证：对任意的实向量与，都有； ②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立. 【解】（1）令． 由已知得， 所以 …………………………2分 由，可得， …………………………3分 由，可得． …………………………4分 （2）①设实向量与的夹角为，则， 因为，所以， 即，当且仅当与共线时等号成立． …………………………7分 ②设，（为实数）． ，，． …………………………9分 由①得成立， 当且仅当与共线，即时等号成立． …………………………11分 ③设复向量，，， ， …………………………13分 由得． …………………………15分 又因为，， 所以仍然成立． …………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$