高一数学月考卷（天津专用，人教A版2019第六章～第九章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章--第九章。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知一组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知数据的平均数和方差分别为4，10，那么数据的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（   ）    A．线段的长是点到平面的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．是二面角的一个平面角 D．是直线与平面所成角 7．三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 8．已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为．现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法不正确的是（    ） A．若删去3，则 B．若删去9，则 C．无论删去哪个数，均有 D．若，则 9．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知z是纯虚数，是实数，那么 . 11．某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为 . 12．在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 13．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 14．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 . 15．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 设复数，. (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求实数的值. 17．（15分） 在中，内角所对的边分别是，. (1)求的值； (2)求的值. 18．（15分） 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，E是的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（15分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； 附：方差计算公式：或 (3)已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总样本的平均数为，样本方差为．试证明：． 20． （16分） 如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷（天津） 全解全析 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由复数， 所以，它在复平面上对应的点为， 故选D. 2．已知一组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】由组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17， 因为，所以该组数据的40%分位数为第4个数据， 即数据的分位数为. 故选B. 3．在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选B 4．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为， 则，，所以， 所以， 所以该圆锥的体积为. 故选C 5．已知数据的平均数和方差分别为4，10，那么数据的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设数据的平均数和方差分别为和， 即，， 则的平均数为， 方差为 由数据的平均数和方差分别为4，10， 所以，，解得. 故选D. 6．如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（   ）    A．线段的长是点到平面的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．是二面角的一个平面角 D．是直线与平面所成角 【答案】C 【解析】对于A选项，因为平面，所以，线段的长是点到平面的距离，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，所以线段的长是点到直线的距离，B对； 对于C选项，因为，， 所以，是二面角的一个平面角，C错； 对于D选项，因为平面，所以，是直线与平面所成角，D对. 故选C. 7．三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】C 【解析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、， 由题意可知，公里，公里，， 由余弦定理可得 公里， （天），故谋臣大约需要天才能到达目的地. 故选C. 8．已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为．现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法不正确的是（    ） A．若删去3，则 B．若删去9，则 C．无论删去哪个数，均有 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，若删去3，根据中位数的定义得，故满足，故A正确 对于B，若删去9，根据平均数的定义得， ，故B错误， 对于C，根据极差的定义，若去掉的数是中的一个， 显然去掉前后极差都是，满足，若去掉1，， 若去掉9，．综上，，故C正确． 对于D，原数据平均数，去掉一个数后平均数保持不变， 即，则剩下的四个数之和为，显然去掉的数只能是5， 由方差的定义得，， ，满足，故D正确． 故选B 9．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由已知和都是等边三角形，是中点，，，又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，同理平面平面， 所以在平面内的射影是，所以是与平面所成的角， 设分别是和的外心，则，， 且，在平面内过作， 过作，与交于点，则平面，同理平面，平面，则，所以是四面体外接球的球心， 由已知，，，又， 所以，，，，，由对称性知，，所以直线与平面BCD所成角的正弦值为， 故选B. 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．已知z是纯虚数，是实数，那么 . 【答案】 【解析】设，则是实数， 所以，则. 故答案为： 11．某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为 . 【答案】100 【解析】由题意，应抽取数学样卷的份数为. 故答案为：100 12．在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 【答案】 【解析】 根据题意，中，，，， 在直观图中， ， 故的面积． 故答案为：． 13．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意可知， 又，， 所以 则向量在向量上的投影向量为； 以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 由，可得，且， 所以， 又，所以； 设，所以，由可得； 又，所以； 因此； 可得， 显然当时取得最小值，最小值为. 故答案为：； 14．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 . 【答案】 7 【解析】①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是； 故答案为：7； 15．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 【答案】 【解析】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为. 故答案为：120. 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 设复数，. (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求实数的值. 【解析】（1）因为复数，， 所以， 因为复数对应的点在实轴上， 所以，得，所以， 所以； （2）因为复数，， 所以 ， 因为为纯虚数，所以，解得. 17．（15分） 在中，内角所对的边分别是，. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得，显然，所以， 又，故， 根据余弦定理可得，可得. （2），，， ，， 所以 18．（15分） 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，E是的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）    底面是矩形的四棱锥中，有， 又由平面，平面,所以， 又因为，平面，所以平面； （2）    取中点为，由E是的中点，可知， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 再过点作，垂足为，连接， 由于又平面， 即平面，又因为平面，所以, 平面与平面夹角即为， 由，，可知， 由可得：，即， 因为平面，平面，所以， 则勾股定理得：， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19．（15分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； 附：方差计算公式：或 (3)已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总样本的平均数为，样本方差为．试证明：． 【解析】（1）由题意知，，且， 所以，． （2）解：，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． （3）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；． 记总样本的平均数为，样本方差为， 由，得， 所以 ． 20． （16分） 如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 【解析】（1）证明：，O点为的中点，． 取的中点M，连接，则，， 底面是平行四边形，， ，． ，∴， ，， 是等边三角形，． 在与中，，． ，． 又，平面，平面， 平面． （2）延长与交于点E，连接． 平面，平面，平面平面． 由，，得，， ，， 取中点F，连接，则． ，为等腰直角三角形． 连接，则， 是平面与平面所成的二面角的平面角． ，，，平面， 平面，， 在中，，， ． 平面与平面所成的二面角的正切值为． （3）设，点A到平面的距离为h． ，，， 等腰底边上的高为，， ． ，点C到的距离为，． ． ，即，． 记与平面所成角为． ， 当且仅当，即时，最大，最大， ． 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（ 共 7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 16 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章--第九章。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知一组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知数据的平均数和方差分别为4，10，那么数据的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（   ）    A．线段的长是点到平面的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．是二面角的一个平面角 D．是直线与平面所成角 7．三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 8．已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为．现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法不正确的是（    ） A．若删去3，则 B．若删去9，则 C．无论删去哪个数，均有 D．若，则 9．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知z是纯虚数，是实数，那么 . 11．某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为 . 12．在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 13．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 14．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 . 15．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 设复数，. (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求实数的值. 17．（15分） 在中，内角所对的边分别是，. (1)求的值； (2)求的值. 18．（15分） 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，E是的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（15分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； 附：方差计算公式：或 (3)已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总样本的平均数为，样本方差为．试证明：． 20．（16分） 如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B B C D C C B B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 11． 100 12． 13． 14． 7 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16（14分） 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】（1）先求出，再由复数对应的点在实轴上，求出的值，从而可求出； （2）先化简，再由为纯虚数可求出实数的值. 【详解】（1）因为复数，， 所以，（2分） 因为复数对应的点在实轴上，（3分） 所以，得，（4分） 所以，（5分） 所以；（7分） （2）因为复数，， 所以（9分） （10分） ，（11分） 因为为纯虚数，（12分） 所以，（13分） 解得.（14分） 17（15分） 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、给值求值型问题 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理计算可得； （2）首先求出，利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，（2分） 显然，所以，（3分） 又，故，（4分） 根据余弦定理可得，（5分） 可得.（6分） （2），，，（8分） ，（10分） ，（12分） 所以（15分） 18（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）利用线面垂直和矩形中的垂直关系，即可得证； （2）利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）    底面是矩形的四棱锥中，有，（1分） 又由平面，平面,所以，（2分） 又因为，平面，所以平面；（4分） （2）    取中点为，由E是的中点，可知，（5分） 又因为平面，所以平面，（6分） 又因为平面，所以，（7分） 再过点作，垂足为，连接， 由于又平面， 即平面，（9分） 又因为平面，所以, 平面与平面夹角即为，（10分） 由，，可知， 由可得：，即，（11分） 因为平面，平面，所以，（12分） 则勾股定理得：，（13分） 所以，（14分） 即平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 19（15分） 【答案】(1)，． (2)平均数：90；方差：38.75． (3)证明见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，列出等式求解即可； （2）由平均数、方差计算公式代入数据求解即可； （3）由方差的计算过公式即可求证； 【详解】（1）由题意知，，且，（2分） 所以，．（3分） （2）解：，故：． 又，，（5分） 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：；（7分） 方差：．（9分） （3）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；． 记总样本的平均数为，样本方差为， （11分） 由，得，（13分） 所以 （14分） ．（15分） 20（16分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算、求二面角、求线面角 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，取的中点M，连接，则由已知可得，结合可证得是等边三角形，则，从而可得，则，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）延长与交于点E，连接，取中点F，连接，，则可证得是平面与平面所成的二面角的平面角，在中求解即可； （3）设，点A到平面的距离为h，利用表示出，记与平面所成角为，表示出化简后利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：，O点为的中点，．（1分） 取的中点M，连接，则，， 底面是平行四边形，， ，． ，∴， ，， 是等边三角形，．（2分） 在与中，，．（3分） ，． 又，平面，平面， 平面．（4分） （2）延长与交于点E，连接． 平面，平面，平面平面． 由，，得，，（5分） ，，（6分） 取中点F，连接，则． ，为等腰直角三角形． 连接，则， 是平面与平面所成的二面角的平面角． ，，，平面，（7分） 平面，， 在中，，， ．（8分） 平面与平面所成的二面角的正切值为．（9分） （3）设，点A到平面的距离为h． ，，，（10分） 等腰底边上的高为，， ．（11分） ，点C到的距离为，． ． ，即，．（13分） 记与平面所成角为． （14分） ，（15分） 当且仅当，即时，最大，最大， ．（16分） 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，考查线面角的求解，第（2）问解题的关键是利用二面角的定义结合已知条件作辅助角找出二面角的平面角，从而进行求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$