高二数学月考卷（天津专用，人教A版2019选必二第五章+选必三全部）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．满足不等式的的值为（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 2．已知变量与的取值如下表： 1 2 3 4 5 5 8 11 且对呈现线性相关关系，则与的经验回归方程必经过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（    ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 6．某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（    ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A． B． C． D． 7．若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 8．已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 9．我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即. 根据以上思路求解: 函数的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种. 11．已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 ． 12．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 13．设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则 ， ． 14．设函数有两个不同极值点，，若，则 ；a的取值范围是 ． 15．已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为 .（，结果保留1位小数） 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知，它的二项式系数之和为64． (1)求n的值； (2)求的值． 17．（15分） 2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 18．（15分） 某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 19．（15分） “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ (3)该科技公司决定再购入台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？ 20．（16分） 若存在一个数m，使得函数定义域内的任意x，都有，则称有下界，m是的一个下界． (1)求函数的下界m的取值范围； (2)判断是否是下界为的函数，并说明理由； (3)若函数是的一个整数下界，求m的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．满足不等式的的值为（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 2．已知变量与的取值如下表： 1 2 3 4 5 5 8 11 且对呈现线性相关关系，则与的经验回归方程必经过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（    ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 6．某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（    ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A． B． C． D． 7．若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 8．已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 9．我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即. 根据以上思路求解: 函数的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种. 11．已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 ． 12．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 13．设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则 ， ． 14．设函数有两个不同极值点，，若，则 ；a的取值范围是 ． 15．已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为 .（，结果保留1位小数） 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知，它的二项式系数之和为64． (1)求n的值； (2)求的值． 17．（15分） 2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 18．（15分） 某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 19．（15分） “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ (3)该科技公司决定再购入台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？ 20．（16分） 若存在一个数m，使得函数定义域内的任意x，都有，则称有下界，m是的一个下界． (1)求函数的下界m的取值范围； (2)判断是否是下界为的函数，并说明理由； (3)若函数是的一个整数下界，求m的最大值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A C B B C D C B D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 6 11． 8 12． 13． /0.375 /0.5 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16（14分） 【答案】(1) (2)728 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出的值， （2）通过赋值法求出的值. 【详解】（1）根据二项式系数之和的性质：可得（2分） ，即，所以．（5分） （2）已知，且， 则．（6分） 令，可得，（7分） 即． （8分） 令，可得，（10分） 即． （11分） 将代入，（12分） 可得，（13分） 移项可得．（14分） 17（15分） 【答案】(1) (2)；残差为 【知识点】根据回归方程求原数据中的值、求回归直线方程、相关系数的计算、残差的计算 【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值； （2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差. 【详解】（1）由表可得：，（1分） ，（2分） 因为，可得，（3分） 又因为，（4分） 可得，（5分） 所以.（7分） （2）由表可知：，（8分） 由（1）可知回归直线方程为，且，（9分） 则，解得，（10分） 此时，，可得，符合题意，（12分） 所以， 对于回归直线方程，令，可得，（14分） 所以5月销售量的残差.（15分） 18（15分） 【答案】(1) (2)应选择方案二. 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由互斥事件和独立事件的概率公式分别列出，的表达式，再比较它们的大小. （2）分别求出两个方案获得奖励的数学期望，即可进行判断. 【详解】（1）因为，（2分） ，（4分） 且，（5分） 所以.（6分） （2）方案一：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，1000，3000，6000.（7分） 且，， ，.（9分） 所以.（10分） 方案二：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，2000，3000，6000.（11分） 且，， ，.（13分） 所以.（14分） 所以.所以甲应该选择方案二.（15分） 19（15分） 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)台或台 (3)能得到提升 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）由题意可知，，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值； （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则，解不等式组，其中，，求出的取值范围，即可得出结论； （3）分析可知，当分布式计算系统中计算机数量为时，至少台计算机同时正常运行；当分布式计算系统中计算机数量为时，至少台计算机同时正常运行.计算出由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率，由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，，（1分） 所以，， ， ， ，（3分） 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为.（4分） （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则．（5分） 且，（6分） 由 （7分） 得，其中，， 即，解得．（8分） 所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台．（9分） （3）当分布式计算系统中计算机数量为时， 若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于， 即至少台计算机同时正常运行． （10分） 当分布式计算系统中计算机数量为时， 若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于， 即至少台计算机同时正常运行． （11分） 记台计算机正常运行的个数为，设，，，，且有． 则由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率，（12分） 由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率为，则： ，（13分） 于是， 而，（14分） 故，即由台计算机组成的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率能得到提升．（15分） 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 20（16分） 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）根据题意，求得，得出函数的单调性，求得其最小值，进而求得实数m的取值范围； （2）令，求得，根据和在上均为增函数，得到在上为增函数，且，得到的单调性，求得其最小值，进而得到答案； （3）求得，设，求得的单调性，结合零点的存在性定理，得到存在，使得在区间上递减，在区间上递增，由，得到，结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的定义域为，（1分） 且， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增，（2分） 所以， （3分） 对任意的，，则，所以，， 因此，函数的下界m的取值范围为.（4分） （2）解：令，其中，可得， 因为函数和在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且，（5分） 当时，，即函数在上单调递减； 当时，，即函数在上单调递增，（7分） 所以，，故，（8分） 所以函数是下界为的函数.（9分） （3）解：由函数，可得， 设，（10分） 则，故在区间上单调递增，（11分） 又由，， 所以必然存在，满足，（12分） 当时，当时， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，（13分） 当时，取得最小值，则，（14分） 由，可得，所以， 又由对勾函数在区间上单调递增，（15分） 所以当时，，所以， 因此，整数 m的最大值为（16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题5分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考（天津） 全解全析 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．满足不等式的的值为（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【解析】由已知得：， 又因为，且,所以， 故选A 2．已知变量与的取值如下表： 1 2 3 4 5 5 8 11 且对呈现线性相关关系，则与的经验回归方程必经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于， 则线性回归方程必过定点. 故选C. 3．设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（    ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0．7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 【答案】B 【解析】依题意，. 故选B 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选B. 5．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【解析】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选C 6．某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（    ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和， 得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB； 设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则， 因此，， 即，，C错误，D正确. 故选D 7．若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 【答案】C 【解析】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选C. 8．已知一道解答题共有两小问，小李有0．6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0．1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0．7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0．46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【解析】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来， 则，，，故，， 所以. 故选B 9．我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即. 根据以上思路求解: 函数的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 两边同时取对数可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即，可得， 所以函数的最小值为. 故选D. 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】6 【解析】先给点涂色，因为有红、黄、蓝3种颜色可供选择，所以点有3种涂色方法； 再给点、涂色，若颜色相同，则需与点不同，有种，则点、只有1种； 若颜色不同，则点、无法保证同一条棱的两个顶点不同色， 则共有种 故答案为： 11．已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 ． 【答案】8 【解析】由题意可得：，， 可知经验回归方程为过样本中心点， 则，可得． 故答案为：8. 12．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 【答案】 【解析】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得， 所以，新的回归直线方程为， 当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 13．设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则 ， ． 【答案】 /0.375 /0.5 【解析】在4到19这16个整数中与10互质的整数有，共6个，因此； 若为整数的存在，则当时，或满足题意； 当时，满足题意；当时，满足题意； 当时，满足题意的不存在，因此， 所以. 故答案为：； 14．设函数有两个不同极值点，，若，则 ；a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 由函数有两个不同极值点，， 则有两个不同的正根，， 有，，且， 解得. 故答案为：；. 15．已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为 .（，结果保留1位小数） 【答案】 【解析】由已知可得， 所以， 同理， 代入，得， 所以，所以，则， 令，则， 当时，z取最大值，此时． 故答案为：. 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 已知，它的二项式系数之和为64． (1)求n的值； (2)求的值． 【解析】（1）根据二项式系数之和的性质：可得，即，所以． （2）已知，且， 则． 令，可得，即． 令，可得，即． 将代入，可得，移项可得． 17．（15分） 2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 【解析】（1）由表可得：，， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以. （2）由表可知：， 由（1）可知回归直线方程为，且， 则，解得， 此时，，可得，符合题意， 所以， 对于回归直线方程，令，可得， 所以5月销售量的残差. 18．（15分） 某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 【解析】（1）因为， ，且， 所以. （2）方案一：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，1000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 方案二：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，2000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 所以.所以甲应该选择方案二. 19．（15分） “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ (3)该科技公司决定再购入台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？ 【解析】（1）由题意可知，，所以，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则． 且， 由得，其中，， 即，解得． 所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台． （3）当分布式计算系统中计算机数量为时， 若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于， 即至少台计算机同时正常运行． 当分布式计算系统中计算机数量为时， 若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于， 即至少台计算机同时正常运行． 记台计算机正常运行的个数为，设，，，，且有． 则由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率， 由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率为，则： ， 于是， 而， 故，即由台计算机组成的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率能得到提升． 20．（16分） 若存在一个数m，使得函数定义域内的任意x，都有，则称有下界，m是的一个下界． (1)求函数的下界m的取值范围； (2)判断是否是下界为的函数，并说明理由； (3)若函数是的一个整数下界，求m的最大值． 【解析】（1）解：由函数的定义域为，且， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以， 对任意的，，则，所以，， 因此，函数的下界m的取值范围为. （2）解：令，其中，可得， 因为函数和在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 当时，，即函数在上单调递减； 当时，，即函数在上单调递增， 所以，，故， 所以函数是下界为的函数. （3）解：由函数，可得， 设，则，故在区间上单调递增， 又由，， 所以必然存在，满足， 当时，当时， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，取得最小值，则， 由，可得，所以， 又由对勾函数在区间上单调递增， 所以当时，，所以， 因此，整数 m的最大值为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$