2025年广东省高三下学期模拟测试（二）数学试题

★启用前注意保密 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二） 数学 本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场 号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的 “条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目 选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答 案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑。 1.复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2已知集合4={，刀若+苦<1，sez,yez 则A中元素的个数为 A.7 B.9 C.11 D.13 3.已知平面向量a与b均为单位向量，a+b=√3，则a与a-2b的夹角为 A罗 B号 c.4 D.君 4.正四棱台ABCD-AB,CD,中，A,B,=AM=之AB=2,则四棱台ABCD-A,B,CD 的体积为 A的 B.282 C.56 D.282 3 5.若直线l:x+y-m=0(m>0)被圆C:(x-1)2+(y+1)2=4截得的弦长为√2m,则 m三 A.20 B.√2 C.2 D.22 5 数学模拟测试（二）第1页（共4页）】 6已知a为锐角，且ca+）-5 ,则cos2a= A号 C.- 7.P是正四棱柱ABCD-A,B,C,D1表面上的一个动点，AM1=2AD=4,当直线AP与正 四棱柱六个面所成角的大小相等时，AP与AC1所成角的余弦值为 A.22 3 .号 c.3 n.9 8.已知定义在(0，+0)上的函数f八x),对任意x,y>0满足f八xy)<f(x)+f(y)+1, 且当x>1时，fx)<-1.设m=fe),n=f(x+1),则 A.m>n B.m<n C.m≥n D.m≤n 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种 植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株 高度（单位：c)作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是 A.基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 频率/组距 B.基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值 0.04 为30% 0.025 C.基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计 0.02 值相等 0.01 D.基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计 0.00 值小于80 065060708090100植株高度 10.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论正确的是 A.f(g(x))为奇函数 B.g(f(x))为偶函数 C.f八g(x)在[0，π]上仅有1个零点 D.g(f(x)的最小正周期为π 11.已知曲线C:√x+√y=1,一条不过原点的动直线1与x,y轴分别交于A, B两点，则下列结论正确的是 A.曲线C有4条对称轴 B.曲线C形成封闭图形的面积大于4- C当AB=号时，线段B中点的轨迹与曲线C相切 D.当OA+|OB=1时，直线I与曲线C相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上 12.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(X≤4)=0.7，若P(X≤a)=0.3, 则a= 数学模拟测试（二）第2页（共4页） 13.记双曲线C:号-卡=1a>0,6>0)的离心率为，若直线3-y0与C有公共 点，则离心率e的取值范围为 (请用区间表示) 14. 在平面直角坐标系中，两点P(x,y),Q(x,y2)的“曼哈顿距离”定义为‖PQ!= x1-x2+y1-y2.例如点P(1,2),Q(-2,-1)的“曼哈顿距离”为‖PQ‖= |1-(-2)|+2-(-1)|=6.已知点M在直线y=ex+1上，点N在函数y=nx 的图象上，则|MW的最小值为 ,IMNI的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19 题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题 卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+c,& cos B =8 (1)求ac; (2)若b=2 acos Acos2C+2 ccos Ccos2A,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 已知A,B,C是椭圆：号+y=1上三个不同的点，0是坐标原点 (I)若A,C是W的左、右顶点，求BA·BC的取值范围： (2)若点B在第一象限，是否存在四边形OABC满足OB是该四边形的对称轴，若 存在，请写出A,C的坐标，若不存在，请说明理由， 17.(本小题满分15分) 如图，△ABC,△DBC,△EBC都是等边三角形，点D,E 分别在平面ABC的上方和下方，点O为BC中点. (1)求证：A,D,O,E四点共面： (2)若AD=AB=23,求直线OE与平面ACD所成角的正 弦值的最大值 数学模拟测试（二）第3页（共4页）》 18.(本小题满分17分) 一个质点在数轴上从原点开始运动，每次运动的结果可能是原地不动，也可能是 向左或向右运动一个单位.记质点原地不动的概率为P,向右运动的概率为g,向 左运动的概率为1-p-9,其中pe[0,1),qe(0,1) （1)若p=石9=之，求质点运动3次后停在原点右侧的概率 (2)若p=0. ①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动，求质点运动5次后停在原点右 侧的概率； ②设计游戏规则如下：第一轮游戏，质点从原点开始运动，设置质点向右运动的 概率g=x,若质点运动3次后停在原点右侧，则进入第二轮游戏，否则游戏结束； 第二轮游戏，质点重新从原点开始运动，重新设置质点向右运动的概率q=α-x (0<α<2)，运动3次后，若质点停在原点右侧，则以质点停留位置对应数轴上的 数值作为两轮游戏的最终得分，若质点停在原点左侧或原点处，则两轮游戏的最 终得分为0分（规定游戏一轮结束的得分也是0分）.记两轮游戏最终得分的期望 E(X)=f(x),若f(x)存在极大值点，求a的取值范围 19.(本小题满分17分)》 已知数列{an}中每一项a:∈{0,1|（其中i=1,2,…,m,meN°）构成m数组A= (a1,a2,…,am.定义运算S如下：S(A)=(b,b2,b,b4,…,b2m-1,b2m), 其中当a,=0时，b4-1=1,bx=0;当a=1时，b-t=0,b:=1(i=1,2,…,m)； 用S(A)表示n层嵌套运算S(S(S(A)…),neN°.现取A=(0,1),记S(A) 中相邻两项组成的数对(a,a+1)满足a:=a+1=1的数对个数为B。 (1)写出S(A),S(A),以及B,B2; (2)证明：数列{B。+2-Bn}是等比数列； (3)若C=3到®+号》证明：对在意的eN都有站+右+它名+…+这<名 数学模拟测试（二）第4页（共4页）》 ★启用前注意保密 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二） 数学参考答案 一、 单项选择题 题号 y 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C B D 二、 多项选择题 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 三、填空题 12.0 13.(10,+0) 14. 3 √e+ie 四、解答题 15.解：(1)由余弦定理得a2+c2-b2=2 accos B. …2分 所以02+c-E_2ccsB 2a0=8,…4分 cos B cos B 所以a0=4.…6分 (2)由正弦定理得sinB=2 sin Acos Acos2C+2 sin Ccos Ccos2A,…7分 整理得sinB=sin2Acos2C+sin2Ccos2A=sin(2A+2C),…8分 因为A+B+C=T,所以sin2(A+C)=sin(2T-2B)=-sin2B=-2 sin Bcos B, …9分 所以sinB=-2 sin Beos B, 10分 因为0<B<,所以nB0,解得esB=- …11分 所以nB= 2 12分 所以5a=cnB=分x4×停 ……13分 16.(1)由已知得A(-2,0),C(2,0) 设点B(x,),则片+y2=1,且xe(-2,2), …1分 所以B·BC=(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2, …2分 高三·数学参考答案第1页（共6页） 因为y户=1-若所以风，屁=-4+1-苦=-3 …3分 因为xe(-2,2),所以x2e[0,4),所以B·BCe[-3,0). …5分 (2)方法一：假设存在四边形OABC关于直线OB对称， 则AC10B,且AC的中点M在0B上，…6分 设A(x1,),C(,2),M(x。,6),则+=1， 4 4 +行=1，x1+x2=2x0, 方+y2=2y0, …7分 所以，+-月0， …8分 因为点B在第一象限，且AC⊥OB,所以1≠2， …9分 所以产+(+)二2=0， 4 10分 1-2 X1+妇 所以kc=4为+=4 …11分 因为O,B,M三点共线，所以kon=kw= …12分 所以ca=希之子 …13分 因为-≠-1，与4C10B矛盾，故假设不成立， …14分 所以椭圆上不存在这样的四边形OABC.…15分 方法二：假设存在四边形OABC关于直线OB对称， 则AC⊥OB,且AC的中点M在OB上，…6分 因为点B在第一象限，所以直线AC斜率存在且直线AC不过原点， …7分 设直线AC的方程为y=x+m(k≠0，m≠0)，…8分 「x2+4y2=4 联立得 …9分 y=kx+m, '消去y并整理得(1+42)x2+8hmx+4m2-4=0, 设A(x1,,),C(x2,2),则x1+3=- 8km 1+4,1+为= 2m +4k2 …10分 4km 所以AC的中点为M m 1+4k21+4k2 …11分 因为O,B,M三点共线，所以kw=km= 1 4k' …12分 所以koe kow=(-动)=- ……13分 因为-子≠-1，与AC10B矛盾，故假设不成立， 14分 所以椭圆上不存在这样的四边形OABC. …15分 高三·数学参考答案第2页（共6页）》 17.解：(1)如图1，连接AO,D0,E0,AD和AE,…1分 由△ABC,△DBC是等边三角形可知AB=AC,DB=DC, 因为0为BC中点，所以AO⊥BC,DO⊥BC,…2分 又因为AOnD0=O,A0,D0C平面ADO,所以BC⊥平面 ADO. …3分 同理BC⊥平面AE0,…4分 因为平面AD0与平面AE0有公共点O,且垂直于同一条直 图1 线BC,…5分 所以A,D,O,E四点共面. …6分 (2)如图2，以OA,OB分别为x轴，y轴，以过点O且垂 直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标 系，则A(3,0,0),C(0,-5,0),D(1,0,22), …7分 由(1)得∠AOE为二面角A-BC-E的平面角，·8分 设∠A0E=0,则点E(3cos9,0,-3sin0).…9分 故0元=(3c0s0,0.-3sin0),A元=(-3，-5.0). 图2 Ad=(-2,0,22), 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), [y=-3x, 即 解得 取x=2,得n=(2,-6, 1), 设直线OE与平面ACD所成角为a, 测s血e=c<0成，n>:B2,3na-30+e 3·3 3cos(0+) 3 其中cop=5 3 …13分 当|eos(8+p)川=1时，sina取得最大值号 …14分 所以直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值为 …4…444…… 15分 18.解：(1)质点运动3次后停在原点右侧的情况有4种，分别是：3次向右：1次不 动、2次向右：2次向右、1次向左：2次不动、1次向右. …2分 所以质点运动3次后停在原点右侧的概率 高三·数学参考答案第3页（共6页）》 p=()+(2()+c(-)+)-是 …4分 说明：每1种情况分析、列式正确得1分 (2)①质点运动5次后停在原点右侧的情况有4种：5次向右；第1次向右、后4 次有3次向右1次向左：前2次向右、后3次有1次向右2次向左；第1次向右、 第2次向左、第3次向右、后2次有1次向右1次向左， …6分 所以质点运动5次后停在原点右侧的概率 P=g3+9·C9(1-q)+g2·C9(1-q)2+9·(1-g)·9·C29(1-9) =g3+4g(1-g)+3g(1-g)2+2g3(1-g) =g3(2g2-6g+5).…8分 说明：每1种情况分析、列式正确得1分。 ②第一轮游戏结束进人第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向右：2次向右，1 次向左 其概率为x3+Cx(1-x)=x2(3-2x):…9分 设两轮游戏最终得分的随机变量为X,则X的所有可能取值为0,1,3， 易知X的期望E(X)仅与X=1,3的概率只有关，因为 P(X=1)=x2(3-2x)·[C(a-x)2(x+1-a)]=3x3(3-2x)(a-x)2(x+1-a), P(X=3)=x2(3-2x)(a-x)3,…10分 所以最终得分X的期望 E(X)=3x3(3-2x)(a-x)2(x+1-a)+3·x2(3-2x)·(a-x)月 =3x2(3-2x）·(a-x)2,…11分 0<x<1, 因为0<g<1,所以 即0<<L, 0<a-x<1,la-1<x<a, 所以当0<a≤1时，0<x<a:当1<a<2时，a-1<x<1;…12分 记f八x)=3x(3-2x)(a-x)2 求导得f'(x)=-6x(x-a)(5x2-(6+3a)x+3a). 记g(x）=5x2-(6+3a)x+3a,… …13分 ①当0<a≤1时，0<x<a, 因为g(0)=3a>0,g(a)=5a2-(6+3a)a+3a=a(2a-3)<0,g(2)=8-3a>0, 所以由零点存在定理，存在x1∈(0，a),使得g(x1)=0:存在2e(a,2),使得 g(x2）=0, 当0<x<x1时，f'(x)>0;当x1<x<a时，(x)<0, 所以八x)在(0，，)上单调递增，在(x1,a)上单调递减， 所以：是八x)的极大值点， 所以0<a≤1. 15分 ②当1<a<2时，a-1<x<1. 因为g(0)=3a>0,g(1)=-1<0,g(2)=8-3a>0, 高三·数学参考答案第4页（共6页）》 所以由零点存在定理，存在x3∈(0,1)，使得g(x3)=0；存在x4∈(1,2)，使得 g(x4）=0, 若要使得(x)在(a-1,1)上存在极大值点， 则g(a-1)=5(a-1)2-(6+3a)(a-1)+3a=2a2-10a+11>0, <5,5或u>55 解得a<2 2 因为1<a<2,所以1<a<5-B 2 综上所述0<a<5, …17分 2 19.解：(1)由题意得S(A)=(1,0,0,1),S(A)=(0,1,1,0,1,0,0,1), …2分 所以B1=0,B2=1.…4分 (2)由题得S((0))=(1,0),S((1))=(0,1), 所以S((0,0))=(1,0,1,0),S((0,1))=(1,0,0,1),S((1,0))=(0 1,1,0）,S((1,1)）=(0,1,0,1).…5分 因此S+2(A)中的数对(1,1)必由S'(4)中的数对(1,0)经运算S得到，S(4) 中的数对(1,0)必由S"(A)中的0或数对(1,1)经运算S得到，…6分 因为S“(A)是2+数组，其中有一半的项为0，即2”个0，经过两次运算S能在 S2(A)中产生2个数对(1,1)， ……7分 因为S(A)中数对(1,1)的个数为B。个，经过两次运算S能在S+2(A)中产生B 个数对(1,1)，…8分 所以B。+2=2”+B。,即B+2-B。=2,+…9分 嘴是品2 所以数列|B。2-Bn|是以2为首项，2为公比的等比数列.… 10分 (3)当n为奇数时，B。-B-2=2-2,B-1-B-4=2”-,…,B-B,=2,累加得 B-B=22+24+…+221-4).2-2 1-4 3 因为品=0，所以B2与产气仙为奇数) …11分 当n为偶数时，B-B。-1=2-2,B-2-B。4=2"-4,…,B4-B2=22,累加得 B-B,=22+24+…+22=41-4_2-4 1-4 3 因为品=1，所以B,兰+1兮（红为偶数） 3 ……12分 所以且=号2-号+号×(-11 高三·数学参考答案第5页（共6页） 放.=3B.+）=2*+号×(-1)…1B分 1 21+2 因为当n>1且n为偶数时，CC2+52-)1 2+1+21-1 4 2"+2”1 1 212+2 4小小4…14分 ①当=1时名-号<名： …15分 ②当n>1且n为奇数时， +公店哈+这吃（信++信） 培安声部包哈别云 ③当n>1且n为偶数时，因为对任意的n∈N'都有C.>0,所以 1111 < +c+c6 综上所述，对征套的neN都有亡+安+名公++亡后 …17分 高三·数学参考答案第6页（共6页）