2025年中考数学复习之与圆有关的模型（3）定弦定角、定角定高、定点定长确定圆、四点共圆、最大张角

与圆有关的模型（3） 模型1 定弦定角 图示 条件 在△ABC中,AB为定长,∠C=α为定角度 结论 当α<90°时,点 C 在优弧AB上运动(不与点 A,B 重合),∠ACB= ∠AOB 当α=90°时,点 C在⊙O 上运动(不与点 A,B 重合),弦AB为⊙O的直径 当α>90°时,点C在劣弧AB 上运动(不与点A,B重合), ,∠AOB+∠ACB=180° 推论 构成等腰三角形(AC=BC)，即点C为AB的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大 【结论分析】 推论：构成等腰三角形(AC=BC)，即点 C为AB的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大 证明:如图,⊙O 为△ABC的外接圆, 连接OA,OB,OC,过点O 作OD⊥AB于点D,过点C作CE⊥AB于点E, ∵OC+OD≥CE, ∴当且仅当C，O，D三点共线时，CE的值最大，此时点D与点E重合，AC=BC, ∵CE为点C到AB的距离, 又∵AB为定值， ∴当 CE 的值最大时,S△ABC最大. 解题要点 解决定弦定角问题的方法： (1)确定定角； (2)确定定角所对的线段； (3)画出定角和线段所在三角形的外接圆； (4)确定外接圆圆心； (5)根据题意求解. 高频图形 这个模型经常会结合直角三角形、矩形进行考查. 【例1】如图,在矩形ABCD中, ，点E 是矩形内部一点，且AE⊥BE，连接 CE，则线段CE 的最小值为 . 【变式1-1】如图，在边长为4 的等边 C中,点 P 为 内的一个动点，且 则 面积的最大值为 . 【变式1-2】如图, ,D,E是AB,BC上两个动点,连接DE, ,则点 B 到 DE 的距离的最大值为 . 【变式1-3】如图,AD 是△ABC的中线,BC=8,∠DAC=45°,则. 的最大值为 . 【变式1-4】问题提出 (1)如图①，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC 的面积为 ； 问题探究 (2)如图②,在△ABC中,已知∠BAC=30°,求△ABC面积的最大值； 问题解决 (3)如图③，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面 CD 上安装一台摄像头 M 进行观测，并且要求恰好能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点 M 出发的观测角∠AMB=45°.请你通过所学知识进行分析，在墙面 CD 区域上是否存在点 M 满足要求?若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由. 模型 2 定角定高 图示 条件 在△ABC中,AD⊥BC于点 D,其中∠BAC=α(定角),AD是BC边上的高,且AD=h(定高) 结论 构成等腰三角形(AB=AC)时： 1. BC的长最小; 2. △ABC的周长最小; 3. △ABC的面积最小 【结论分析】 结论1：构成等腰三角形(AB=AC)时，BC的长最小 证明:如图①,作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,设⊙O的半径为r, ∵ ∠BAC=α,AD=h,∴∠BOE=∠BAC=α, ∴BC=2BE=2OB·sinα=2r·sinα,OE=r·cosα. ∵OA+OE≥AD(当且仅当点A,O,E三点共线时,等号成立)， ∴r+rcosα≥h, ∴当取等号时r有最小值，即AB=AC时，BC的长最小. 结论2：构成等腰三角形(AB=AC)时，△ABC的周长最小 证明:如图②,延长CB 至点E,使得 BE=AB,延长BC至点 F,使得 CF=CA,连接AE,AF,作△AEF的外接圆⊙O,连接OA,OE,OF, ∴△ABC的周长为AB+BC+CA=BE+BC+CF=EF, ∴ 当 EF 最小时,△ABC的周长最小. ∵BA=BE,CA=CF, ∴∠BAE=∠BEA,∠CAF=∠CFA, ∴∠ABC=2∠BAE,∠ACB=2∠CAF. ∵ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°, ∴当AE=AF时,EF的长最小,即AB=AC时,△ABC的周长最小. 结论3：构成等腰三角形时， 的面积最小自主证明： 【例2】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC 边上的高AD=6,则△ABC周长的最小值为 . 【变式2-1】如图,在▱ABCD 中,AD 与 BC之间的距离为2,点 E 是AD边上一点,且∠BEC=45°,则线段 BC 的最小值为 . 提升 1.如图,在四边形 ABCD 中,连接 AC,BD,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,AE⊥BC于点 E,若AE=3,则BD的最小值为 . 模型3 定点定长确定圆 类型 一点作圆 三点作圆 图示 条件 平面内，点O 为定点，点B 为动点，且OB长度固定 OA=OB=OC 结论 点 B 的轨迹在以点 O 为圆心，OB长为半径的圆上 点A,B,C均在⊙O上 拓展模型1——翻折生圆 条件:在矩形ABCD中,点 E 是AB 边上的定点,点 F 是BC边上一点,将△BEF沿EF 折叠得到△B'EF 结论：点B'的运动轨迹是以点 E 为圆心，BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 拓展模型2——旋转生圆 条件:将△ABC绕点A 逆时针旋转 90°得到△AB'C' 结论：点B(C)的运动轨迹是以点A 为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 【例3】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,D是△ABC外一点,且AD=AC,则∠BDC 的度数为 . 【变式3-1】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为CD边上靠近点C的三等分点，点F为BC上一动点，将 沿EF折叠，点C的对应点为连接 则 的最小值为 . 【变式3-2】如图，在等腰 '中, 将△ABC 绕点 B 逆时针旋转60°得到 ，若 则点 C 运动的路径长为 . 【变式3-3】如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BC=3,点D 在AC边上运动,将△BCD沿BD 翻折,点 C的对应点为C'，若点D从点C到点A的运动过程中，点C'运动的路径长为 . 提升 1.如图,在矩形A BCD中,AB= ,AD=1,点 P 为DC边上一点,将△ADP 沿AP 折叠得到△AEP,点 P 在运动过程中，点D 的运动轨迹为DE, 当线段EC的长度最短时，图中阴影部分的周长是 . 2.如图，在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),点 C为平面内一点,连接BC,AC,BC=1,点M 为线段AC 的中点,连接OM,则 OM的最大值为 . 模型 4 四点共圆 图示 点C，D在AB的同侧 点C，D在AB的异侧 条件 在由点A,B,C,D构成的四边形中,∠ADB=∠ACB=90° 结论 1. 点A,B,C,D在同一个圆上,AB为⊙O的直径; 2.圆内接四边形的对角互补 拓展模型 条件:AB为△ABC和△ABD的公共边,点C,D在AB的同侧,且∠C=∠D 结论：点A，B，C，D在同一个圆上 拓展模型 条件:在四边形ABCD中,∠D+∠B=180°(圆内接四边形对角互补) 结论：点A，B，C，D在同一个圆上 拓展方向 根据相等的角找两角所对的公共边，即能确定四点共圆. 【例4】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,连接AC,BD,若AC=2,∠BCD=135°,则BD的长为( ) 【变式4-1】如图,点 D,E 分别是等边△ABC 的边 BC,AB上的点,连接AD,DE,∠ADE=60°,点 M在AC上,连接DM,∠ADM=60°.若 BE=3,则CM 的长为( ) A. 2 B. C. 3 D. 【变式4-2】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点 P 为对角线BD 上一动点,过点 P 作 PE⊥PF 分别交AB,BC于点E,F,则 的值为 . 【变式4-3】如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．    (1)求证：A，，，四点共圆； (2)求证：为定值． 模型5最大张角 图示 条件 点A，B是∠MDN的边 DN上的两个定点，点P 是边 DM上的动点，则当点P在何处时，∠APB最大 结论 当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大 【结论分析】 结论：当△ABP的外接圆与边 DM相切于点 P时，∠APB最大 证明：如图，作△ABP的外接圆⊙O， 设点 P'是边 DM 上不同于点P 的任意一点， 连接P'A,P'B,P'A与⊙O交于点C,连接BC, ∵ ∠ACB>∠AP'B,∠APB=∠ACB, ∴∠APB>∠AP'B, ∴当△ABP 的外接圆与边 DM 相切于点 P 时,∠APB 最大. 【例5】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,M是CD的中点,P是BC上一个动点,当∠DPM最大时，BP 的长为 。 【变式5-1】如图,在等边△ABC中,点 D 是 BC上一点,BD=4,CD=2 ,点 E 是 AB 上一点,当∠CED 最大时,BE的长为 . 【变式5-2】综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 课后提升 1.如图，是半圆O的直径，点C是半圆O的中点，点D是弧上一点，连接，作于点H，连接．若半圆直径为4，则在点D移动的过程中，的最小值是 ． 2.如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．    3.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究： （）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 应用： （）如图，已知，若等腰直角三角板绕点继续旋转，边与的交点始终在线段上，当点为的三等分点时，直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$