8.6.2 直线与平面垂直的判定定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

垂线 斜线 射影 8.6.2 直线与平面垂直 第一课时 直线与平面垂直的判定定理 学习目标 1.了解空间中直线与平面的垂直关系. 2.归纳出直线与平面垂直的判定定理并会用定理判定线面垂直.(重点) 3.会求直线与平面所成的角.(难点) 刘雨萌 情景导入 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系(如图)，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. 刘雨萌 新知探究 问题1 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，则旗杆AB与影子BC的位置关系如何？ 提示　始终保持垂直. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 问题2 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 我们能说直线与平面α内的无数条直线垂直，则直线与平面α垂直吗？ 问题3 提示　不能. 刘雨萌 1.直线与平面垂直的定义及画法 知识梳理 定义 如果直线l与平面α内的　　　　　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 ______ 有关 概念 直线l叫做平面α的　　　，平面α叫做直线l的　　　，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做______ 图示 任意一条 符号语言：任意 ，都有 ⊥⊥ l⊥α 垂线 垂面 垂足 刘雨萌 知识梳理 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点垂直于已知平面的直线　　　　　一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的　　　　，垂线段的长度叫做这个点到该平面的 　　　. 有且只有 垂线段 距离 应用：若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可以判断直线与平面内的直线互相垂直，简述为“若线面垂直，则线线垂直”. 刘雨萌 典例分析 例1　 (多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α √ √ √ 直线与平面垂直的定义的理解 直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质. ①是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；②是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”.这是证明线线垂直的一种方法. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 (多选)下列说法正确的是 A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面， 　也可能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α √ √ 刘雨萌 新知探究 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD， DC与桌面接触).观察并思考： （1）折痕AD与桌面垂直吗？为什么？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？为什么？ 问题4 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 线与桌面所在平面 垂直． 刘雨萌 知识梳理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的　　　　　　　　垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，　　　=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言   简记 线线垂直，线面垂直 两条相交直线 m∩n 直线与平面垂直的判定定理 刘雨萌 思考1：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面，你觉得判定定理的优越性体现在哪里？ 思考2：你觉得定义与判定定理的共同特点是什么？ 线线垂直 线面垂直 无限 有限 线不在多，相交就行 刘雨萌 典例分析 例2 (1)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=.求证：PA⊥平面ABCD. (2)已知在三棱锥P-ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 √ 刘雨萌 提升小结 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练2　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1. 刘雨萌 线面角的范围： 图形语言：如图，∠就是斜线与平面所成的角. 垂线 斜线 射影 当直线与平面垂直时，∠ °； 当直线与平面平行或在平面内时， ∠° 新知探究 问题5 当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察并思考铅笔和桌面所成的角应怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角. 刘雨萌 知识梳理 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α　　　，但不与这个平面　　　，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中________   斜足 斜线和平面的　　　，如图中_____ 相交 垂直 直线PA 交点 点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引　　　，过　　　和　　　的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为_________  垂线 垂足 斜足 直线AO 刘雨萌 知识梳理 有关概念 对应图形 直线与平面所成的角　 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中　　　； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是　　；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____ 取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则_____________ ∠PAO 90° 0° 0°≤θ≤90° 刘雨萌 典例分析 例3 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值. 延伸探究　 在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？ 刘雨萌 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角. (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形). (4)答. 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理及应用. (3)直线与平面所成的角. 2.方法归纳：转化与化归、数形结合. 3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直. 刘雨萌 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB √ 2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 √ 3.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为 A.60° B.45° C.30° D.90° √ 刘雨萌 4.如图所示，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于 A. B. C. D. √ 随堂演练 刘雨萌 课后作业 韩语班：教材152页 习题1-4 4班：课后作业35 1-10必做，11-16选做 5班：课后作业35 1-14必做，15-16选做 刘雨萌 $$