17.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2024-2025学年 沪科版数学八年级下册

∗17.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 　班级__________姓名____________总分___________ 本节应掌握和应用的知识点 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) (１)内容:如果ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两个根为x１、x２,那么x１＋x２＝－, x１·x２＝．【来源：21·世纪·教育·网】 (2)变形:当a＝１时,方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)可化为x２＋px＋q＝０的形式, 则有:x１＋x２＝ －p ,x１.x２＝q ．21·世纪*教育网 (3) 由根与系数的关系求得一元二次方程中待定系数的值,必须使得b２－４ac≥０． 基础知识和能力拓展精练 一、选择题 1．已知m，n是方程x2＋2 x＋1＝0的两根，则代数式的值为(　　) A. 9 B. 4 C. 3 D. 5 2．下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( ) A. x²+x+2=0 B. x²+x-2=0 C. x²-x+2=0 D. x²-x-2=0 3．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（　　） A. -4 B. -2 C. 4 D. 2 4．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是(　　) A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 2 5．若关于x的一元二次方程（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且，则的值是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】 A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣5 6．已知，则的最小值是（  ）。 A. 6 B. 3 C. -3 D. 0 7．设a，b是方程x2+x﹣2025=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A. 2022 B.2023 C. 2024 D. 2025 8．对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是（　　） A. 当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根 B. 当c=0时，方程至少有一个根为0 C. 当a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数 D. 当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号 9．设， 是方程x2﹣x﹣2024=0的两个实数根，则 x13＋2025x2－2024=( ) . A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10．若是方程的两个根，且，则的值为（ ） A. 或2 B. 1或 C. D. 1 二、填空题 11．若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根为__________． 12．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____． 13．已知， 是一元二次方程的两个实数根，如果， 满足不等式，且为整数，则__________．【版权所有：21教育】 14．已知在等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长为方程x2－10x＋m＝0的根，则m＝_________． 15．若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＝ 　　　　　． 16．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③＜a2＋b2.则正确结论的序号是______(填序号)． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ． （1）求的取值范围； （2）若， 满足，且为整数，求的值． 18．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2．21*cnjy*com （1）若，求的值； （2）求的最大值． 19．关于x的一元二次方程有两个不等实根，． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根，满足，求k的值． 20．已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根． （1）求x1，x2 的值； （2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值． 21．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值． (1)x12＋x22； (2) ； (3)x12＋x22－3x1x2. 22．已知关于x的方程有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 23．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。 （1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由。 （2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？ 参考答案 1．C 【解析】由题意得m+n=-2,mn=1， . 所以选C. 2．D 【解析】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误； B．两根之和=－1，故错误； C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误； D．两根之和=1，故正确． 故选D． 3．D 【解析】试题解析: 设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则 解得t=2. 故选D. 点睛：一元二次方程两根分别是 4．B 【解析】由根与系数的关系知，x1+x2=, x1-x2=， x1－x1x2＋x2＝1－a, , , a=, 代入原方程，a=1时，有两个相等的实数根. 所以a=-1. 选B. 点睛：一元二次方程根与系数的关系： ax2+bx+c=0(a, , 如果题目中有关于两个根的和，两个根的积，可以利用一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值. 5．D 【解析】试题解析：∵a、b为方程（p≠0）的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵，∴，∴p=﹣3．版权所有 当p=﹣3时，△=9﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意． ====﹣5．故选D． 6．A 【解析】试题分析：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0， ∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根， ∴m＋n＝2a，mn＝2， ∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值， ∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6， 故选A． 点睛：本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 7．C 【解析】解：∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，a2+a﹣2017=0，∴a2=﹣a+2017，∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b=2017﹣1=2016．故选C． 点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则， ．也考查了一元二次方程的解． 8．D 【解析】解：A．正确．当a＞0，c＜0时，△=b2﹣4ac＞0，则方程一定有实数根； B．正确．当c=0时，则ax2+bx=0，则方程至少有一个根为0； C．正确．当a＞0，b=0，c＜0时，方程两根为x1，x2，x1+x2==0，则方程的两根一定互为相反数；www-2-1-cnjy-com D．错误．当ac＜0时，方程的两个根异号，当ac＞0时，方程的两个根同号． 故选D． 9．C 【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2024，再计算x31=x21+2024x1=2025x1– 2024，则原式可化简2025（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解. 解：∵x1是方程x2–x–2024=0的实数根， ∴x21=x1+2024， ∴x31=x21+2024x1=x1+2024+2024x1=2025x1+2024， ∴原式=2025x1+2024+2025x2-2024=2025（x1+x2）， ∵x1，x2是方程x2-x-2024=0的两实数根， ∴x1+x2=1， ∴原式=2025. ∴故选C． 考点：一元二次方程的解；根与系数的关系． 10．D 【解析】试题解析：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根， ∴x1+x2=2m，x1•x2=m2﹣m﹣1． ∵x1+x2=1﹣x1x2， ∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0， 解得：m1=﹣2，m2=1． ∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根， ∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0， 解得：m≥﹣1． ∴m=1． 故选D． 考点：根与系数的关系． 11．-6 【解析】试题解析: 设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则 解得t=−6. 故答案为： 点睛：一元二次方程两根分别是 12．0 【解析】根据题意得α+β=3，αβ =﹣4， 所以原式=α（α+β）﹣3α=3α﹣3α=0， 故答案为：0． 13．-2或-1 【解析】根据题意得x1+x2=1，x1x2=， ∵7+4x1x2>x12+x22， ∴7+4x1x2>(x1+x2)2−2x1x2， 即7+6x1x2>(x1+x2)2， ∴7+6⋅>1，解得m>−3， ∴−3<m⩽−， ∴整数m的值为−2，−1. 14．25或16 【解析】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案为：25或16．www.21-cn-jy.com 点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=，也考查了三角形三边的关系．2-1-c-n-j-y 15．-1 【解析】∵一元二次方程： 的两根是， ∴， ∴. 点睛：不解方程，求含有一元二次方程两根的代数式的值时，通常分两步完成：（1）由方程得到： 、的值（前提是“根的判别式△ ”）；（2）把要求值的代数式变形为用含“”和“”表达的形式，再代值计算即可.原创作品 视频 16．①② 【解析】Δ＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，故方程有两个不相等的实数根，即x1≠x2，故①正确.∵x1·x2＝ab－1＜ab，∴②正确.∵x1＋x2＝a＋b，∴ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2（ab－1）＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，故③错误.综上，正确的结论有①②. 点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式及根与系数的关系的应用：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ，x1x2= ． 17．（1）k＜3（2）0，1，2 【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4（k-2）＞0，然后解不等式即可； （2）由根的定义知: ，由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k-2，再代入不等式，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值． 试题解析：（1）依题意可知: ，解得； （2）由根的定义知: ， ， 由根与系数的关系知: , ， 若， 满足， 则 ， ， ， ， 又由（1）知， ， 为整数， 的值为 0，1， 2． 18．（1）；（2）3. 【解析】试题分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．21·cn·jy·com （2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值． 试题解析：：∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0， ∴m＜1， 结合题意知：-1≤m＜1． （1）∵x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3， ∴ 解得：m1=，m2=（不合题意，舍去） ∴ （2） =-2（m-1）-m2 =-（m+1）2+3． 当m=-1时，最大值为3． 19．（1）k＞；（2）k=2． 【解析】试题分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，求出k的取值范围；2·1·c·n·j·y （2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．【出处：】 试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0， 解得：k＞； （2）∵k＞， ∴x1+x2=-（2k+1）＜0， 又∵x1•x2=k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1， ∵|x1|+|x2|=x1•x2， ∴2k+1=k2+1， ∴k1=0，k2=2， 又∵k＞， ∴k=2． 20．（1）x1 = p，x2 = m + 2－p； （2）当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）． 【解析】试题分析：（1）化简方程，用分解因式法求出两根； （2）直角三角形的面积为x1x2，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后利用二次函数可以求出什么时候有最大值．21*cnjy*com 试题解析：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m， ∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0， （x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0， 即 （x－p）（x + p－m－2）= 0， ∴ x1 = p， x2 = m + 2－p． （2）∵ 直角三角形的面积为x1x2=p(m+2-p) = = =， ∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）． 21．（1），（2）-, （3）. 【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，然后把要求值的代数式进行变形，把得到的数值代入即可求值.21cnjy.com 试题解析： 由题意得：x1＋x2＝，x1·x2＝－ ； （1）x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝()2-2×（-）＝ ； （2）= ＝ =- ； （3）x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=()2-5×（-）= . 22．（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是-3． 【解析】试题分析：（1）根据题意得不等式即可得到k≤， （2）根据题意得x1+x2=2（k-1），x1x2=k2即可得到结论． 试题解析：（1）根据题意得[-2（k-1）]2-4k2≥0， 解得：k≤， （2）根据题意得x1+x2=2（k-1），x1x2=k2， ∵k≤， ∴2（k-1）＜0，x1+x2＜0， ∴-2（k-1）=k2-1， 解得：k1=1，k2=-3， ∵k≤， ∴k=-3． 23．（1）是倍根方程， ； （2） 或 【解析】(1)方程x －3x＋2＝0可变形为(x-1)(x-2)=0∴x-1=0或x-2=0 ∴方程的两个根分别为，∵2=1×2 ∴方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程” (2) ∵方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程,且有一根为2.设另一根为，则=1或4，当=1时， 解得： .当=4时， ，解得： ， 综上所述得： 或 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$