精品解析：上海市青浦高级中学2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷

上海市青浦高级中学2024学年第二学期期中质量检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1. 以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 2. 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，根据线面平行可得，则，进而得到，解得即可. 【详解】解：由题意可得，则 解得 【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示. 3. 曲线在点处的切线与轴交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；令即可求得所求点坐标. 【详解】，曲线在处的切线斜率， 切线方程为：，即，令，解得：， 切线与轴交点坐标为. 故答案为：. 4. 从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）. 【答案】 【解析】 【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复， 由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为. 故答案为：. 5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】 根据平均数的算法，可得，将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序，以及中位数的概念，可得结果. 【详解】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是，故； 乙班学生成绩的中位数是，故. ∴． 故答案为：13 【点睛】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题. 6. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求导即得解. 【详解】解：由题得 所以. 故答案为： 7. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 8. 已知等比数列中，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可求的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得或． 当时，，所以； 当时，，所以． 故答案为：或. 9. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式计算． 【详解】记至少有一次成功的概率为事件，实验甲、乙、丙成功分别为事件 由题意，，， ． 故答案为：． 10. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆O半径为r，利用半径表示出a和圆上第一象限的八等分点的坐标，代入双曲线方程可得b，然后可得离心率. 【详解】设圆O半径为r，双曲线方程为 因为，所以 由题意可知，，代入方程，得 解得，所以 故答案为： 11. 若对恒成立，则的取值范围是__________; 【答案】 【解析】 【分析】设，利用导数研究其单调性，将问题转化为，即，设，再利用导数求其最大值，最后求出的取值范围． 【详解】解：设，则， 在上单调递增， 由对恒成立， 得，即， 则，即． 设，则， 当时，，当时，， 故． 的取值范围是． 故答案为：． 12. 在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题4分，第15、16题5分） 13. 若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，写出事件包含的情况，得到，A错误；B选项，写出事件包含的情况，结合A选项，得到，B错误；C选项，写出事件包含的情况，故，C错误；D选项，写出事件和包含的情况，得到，D正确. 【详解】A选项，事件包含的情况有， 事件：至少有一颗点数为6包含的情况有 ， 故，事件与事件不为互斥事件，A错误； B选项，事件包含的情况有 ， 故，事件与事件不为互斥事件，B错误； C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况， 故， 事件包含的情况为，故， 故，故事件与事件不相互独立，C错误； D选项，事件包含的情况有 ， ，共18种情况， 故， 事件包含的情况有：， 故， 因为，所以事件与事件相互独立，D正确. 故选：D 16. 定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（ ）. A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假． 【详解】记， 易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称， 从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹， 由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同）， 由得， 时，或， 所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线， 当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线， （实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可） 命题均正确， 故选：A． 【点睛】方法点睛：用方程确定曲线的性质，例如对称性，在曲线方程中用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，如果同时用替换，替换，方程不变，则说明曲线关于原点对称，同样如果互换后方程不变，曲线则关于直线对称等等，通过方程中变量的变化范围得出曲线点的坐标的变化范围，即曲线的范围，由变量变化的趋势得出曲线的变化趋势． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式将和改成的等式，联立方程组求出，从而得到等差数列的通项公式； （2）将代入，得到的通项公式，证明是等差数列，利用等差数列的求和公式求出，将代入，解关于的一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，，， ，， 联立，解得， 所以， 的通项公式； 【小问2详解】 ，，， ，， 数列是以为首项，8为公差的等差数列， ， ，，， ，为正整数，， 正整数的最小值10. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 证明：平面与直线相交于点，平面平面， 四边形是菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出平面，然后根据平面平面，利用线面平行的性质定理证出； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 19. 王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； （3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 【答案】（1）74.5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，根据组中值可求平均数； （2）根据对立事件可求2人的测试成绩至少1个在内的概率； （3）根据分层方差和总体方差的关系式可求第二组和第四组所有学生成绩的方差. 【小问1详解】 由题意得，解得 所以平均数等于 【小问2详解】 由题意，内有8人，内有2人， 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为. 【小问3详解】 设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 由题意，第二组、第四组分别有10人和8人， 所以成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. 20. 已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标； （3）作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式直接求解； （2）由题设设，进而分或两种情况讨论求解即可； （3）假设存在定点满足题意，先讨论的斜率存在时，设的方程为，，首先与椭圆方程联立并结合直线与直线的斜率之和为得，其次求得直线的方程为并于直线的方程联立求得点，再次根据得当时，为定值，最后说明直线的斜率存在也满足即可. 当直线斜率不存在时，设，， 则，，此时，满足题意． 所以存在定点，使得为定值且定值为． 【小问1详解】 由题意，，所以离心率 【小问2详解】 由题意，，，，所以直线的方程为：， 设，显然有或两种情况， ①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则， 因为， 由，得：，解得（舍去）或， 所以，点的坐标是 ②当时，此时， 则， 因为， 由，得：， 解得（舍去）或 综上所述，点的坐标是或 【小问3详解】 假设存在定点满足题意， 当的斜率存在时，设直线的方程为，， 由得， 由题意，，即①． ， ， 所以，代入①，得：， 所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2 直线的方程为，直线的方程为 由，得：，即 所以 所以当时，为定值，. 当直线斜率不存在时，设，， 则，，此时，满足题意． 所以存在定点，使得为定值且定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于利用分类讨论的思想，求得对应的的范围，进而舍去不满足的解；第三问解题的关键在于根据已知条件求得直线的方程为中的参数，点，难点在于数学运算. 21. 已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”. （1）试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由； （2）若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围. （3）已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值. 【答案】（1）不是；理由见解析 （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）取反例即可判断； （2）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，转变为函数最值问题可解； （3）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，利用导数求解可得. 【小问1详解】 函数不是其定义域上的“M一类函数”. 理由如下： 的定义域为，存在，使得， 故不是其定义域上的“M一类函数” 【小问2详解】 ，所以. 若函数在上为“M一类函数”， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 因为在上的值域为， 所以，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 ， 依题意有对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，，即； 当时，， 令，则， 令，则， 易知时，时，， 即在上是减函数，在上是增函数， 而， 即时，，于是，则在上是减函数， 故，从而. 综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为0. 【点睛】本题实质上属于恒成立问题，常用参变分离法，从而将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数求最值即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦高级中学2024学年第二学期期中质量检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1. 以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 2. 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则____ 3. 曲线在点处的切线与轴交点坐标为__________． 4. 从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）. 5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为_______． 6. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______. 7. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 8. 已知等比数列中，，则______． 9. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示） 10. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________． 11. 若对恒成立，则的取值范围是__________; 12. 在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题4分，第15、16题5分） 13. 若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 16. 定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（ ）. A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小. 19. 王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； （3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 20. 已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标； （3）作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”. （1）试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由； （2）若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围. （3）已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $