精品解析：浙江省湖州市长兴县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024学年第二学期长兴县龙山中学教育集团共同体期中素养测试 八年级数学 试题卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2，请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：（本题有10小题，每题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的．不选、多选或错选均不得分，） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 比较，3，的大小，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 6. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 蛟蛟同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 10. 如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 二、填空题：（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 12. 若关于的一元二次方程kx2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是_______________. 13. 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差____． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，则的长为______． 15. 已知是一元二次方程的两个根，则的值等于_______． 16. 如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则_______． 三、解答题：（本题有8小题，共66分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 选择合适的方法解下列方程： （1）． （2）． 19. 知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则 （1）如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． （2）个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级各1000名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）八年级抽取的学生的竞赛成绩：． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 a 7.4 中位数 b 8 众数 7 c 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；_______；_______． （2）估计该校八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数； （3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由． 21. 在中，分别是边的中点，延长到点D，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点O，若，求的长． 22. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若一元二次方程满足，求k的值． 23. 随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． （1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 24. 已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． （1）如图，连接并延长交的延长线于点，求证：； （2）如图，若，求； （3）如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期长兴县龙山中学教育集团共同体期中素养测试 八年级数学 试题卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2，请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：（本题有10小题，每题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的．不选、多选或错选均不得分，） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 2. 下面各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义，涉及二次根式性质，根据二次根式性质将选项中的二次根式化简即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； D、是最简二次根式，选项符合题意； 故选：D． 3. 下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和，先得到多边形的内角和为，然后根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和是， ∴这个多边形的内角和也是， 设多边形的边数为n， 则， 解得：， 故选：B． 4. 比较，3，的大小，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出，3，的平方，即可比较大小． 【详解】解：，32＝9，， ∵7＜8＜9， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是先算出3个数的平方，再比较大小． 5. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法中的假设，反证法的第一步是假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选C． 6. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到等式右边，再根据完全平方公式进行配方，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键． 7. 如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故选：C． 8. 龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意，得，即， 故选C． 9. 蛟蛟同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查平均数、中位数、众数及方差的计算，理解题意，熟练掌握这些基础知识点的计算方法是解题关键，根据平均数、中位数、众数及方差的计算方法依次判断即可． 【详解】解：设这6个数的平均数为a， 则将这个数也混到数据中了， 重新计算平均数为：， ∴一定不变的量是平均数， 中位数、众数无法判断， 设6个数据分别为， 则 7个数据分别为， 则 差的平方和不变，分母变大了，故新方差变小了． 10. 如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定为等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形的性质确定，根据三角形的中位线的性质确定，再结合平行四边形的性质可判断②正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；④根据平行四边形的性质，可得． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵为中点， ∴． 故①正确． ②∵，是中点， ∴． ∵分别是中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 故②正确． 如下图所示，连结和． ③如上图所示：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵分别是中点， ∴． ∴，即． ∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 故③正确． ④∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵为的中点， ∴，故④正确 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键． 二、填空题：（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义， 必须， 解得：， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程kx2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】∵一元二次方程有实数根, ∴ , 解得：k≥－4且k≠0． 故答案是：k≥－4且k≠0． 【点睛】主要运用一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 13. 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由方差的计算公式，可知这组数据为、、、，然后根据平均数和方差的定义，求解即可． 【详解】解：计算公式：， 这组数据为、、、， 这组数据的平均数为：， ， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得出，则，再由，则，则，从而求出．本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对边相等． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 的平分线交于点， ， ， ， ，， ． 故答案为2． 15. 已知是一元二次方程的两个根，则的值等于_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可．此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 16. 如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】阴影部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值．本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 【详解】解：设平行四边形的面积为S，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ∵ ∴， 即， 解得， 故答案为：4． 三、解答题：（本题有8小题，共66分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟知运算法则是正确解答此题的关键． （1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先用乘法公式计算，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 选择合适的方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，. 19. 知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则 （1）如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． （2）个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：如图所示： ． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级各1000名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）八年级抽取的学生的竞赛成绩：． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 a 7.4 中位数 b 8 众数 7 c 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；_______；_______． （2）估计该校八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数； （3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由． 【答案】（1） （2）100 （3） 解：八年级的学生成绩更优异，理由：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数，众数和合格率都高于七年级的，所以八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 【解析】 【分析】（）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； （）用乘以不合格率即可求解； （）根据平均数、中位数、众数比较即可判断； 本题考查了条形统计图和统计表，平均数、中位数、众数，看懂统计图表是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级名学生中竞赛成绩不合格的人数为人； 【小问3详解】 略 21. 在中，分别是边的中点，延长到点D，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点O，若，求的长． 【答案】（1） 证明：分别为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，，即可求证； （2）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， 在平行四边形中，， 在中，， ． 22. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若一元二次方程满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：当，即时，原方程为， 解得：； 当，即时，， ∴方程有实数根． 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程，解分式方程． （1）分和，两种情况讨论，当，是一元一次方程，有解；当时，求出，即可得证； （2）利用公式法求得，，由代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，，且， ， 解得：或， 经检验或是原方程的解． 故k的值为或． 23. 随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． （1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】（1） （2）应该再增加3个工厂． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了列一元二次方程求解即可； （2）设应该再增加m个工厂，根据每季度生产汽车27万辆，列一元二次列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x； 解得：（舍），， 【小问2详解】 解：设应该再增加m个工厂， （舍）， 答：应该再增加3个工厂． 24. 已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． （1）如图，连接并延长交的延长线于点，求证：； （2）如图，若，求； （3）如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，由（1）可得推出，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为直角三角形，设，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $