20 第六章 第二讲与圆有关的位置关系--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

1．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 2．如图，△ABC内接于，是的直径，过点D作的切线，交的延长线交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（   ） A． B．2 C． D．2 4．如图，菱形的三个顶点均在上，连接，过点作，交的延长线于点．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，△ABC内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ． 9．如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 10．如图，在△ABC的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 11．如图，是过圆心的一条直线，A为圆上一点，过O作，交圆上于一点C，连接，与相切，与交于点E，已知，，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则△ADE的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 13．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 14．如图，已知△ABC中为中的直径，交于点D，E为的中点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，． (1)求证：为的切线； (2)连接交于点M，若，，求的值． 15．如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 16．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有，连接． (1)求证：为的切线； (2)若筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求此时筒车中心O到水面的距离（精确到，参考值：）． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．C 8． 9．(1)见解析；(2)4 10．(1)证明见解析；(2)半径为 11．B 12．B 13． 14．(1)见解析；(2) 15．(1)见解析(2)． 16．(1)见解析；(2) 1．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 2．如图，△ABC内接于，是的直径，过点D作的切线，交的延长线交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、圆周角定理、切线的性质定理、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质等知识，由是的直径， 得到，根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（   ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算长，最后根据勾股定理解题． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，菱形的三个顶点均在上，连接，过点作，交的延长线于点．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 的半径为， ∴， 由勾股定理得，． 故选B． 5．如图，△ABC内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，然后根据圆的切线的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、切线的性质定理、应用切线长定理求解、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，即可求出，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：连接，则， 又∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解题的关键． 先证明得到，根据勾股定理求得，代入比例式即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． 故选：C． 8．如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，根据切线得到，然后根据勾股定理得到长，然后设，得到，，，然后在利用勾股定理求出x的值即可解题． 【详解】解：因为与相切于点， 所以， 在中，． 设，则，，，． 在中，根据勾股定理可得， 解得， 即的长为， 故答案为：． 9．如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 10．如图，在△ABC的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出，可得出结论； （2）由锐角三角函数可求的长，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连OD， 与相切于点D， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径为； 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义是解题关键． 11．如图，是过圆心的一条直线，A为圆上一点，过O作，交圆上于一点C，连接，与相切，与交于点E，已知，，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理．连接，设，，由切线的定义得，用勾股定理解，根据列方程求出x值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， 设，， ， ， ，， 与相切， ， 在中，， ， 整理，得：， 解得，（舍）， ， 故选B． 12．如图，在△ABC中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解、切线的性质定理、根据正方形的性质与判定求线段长、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 13．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、垂线段最短、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 14．如图，已知△ABC中为中的直径，交于点D，E为的中点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，． (1)求证：为的切线； (2)连接交于点M，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理 【分析】（1）连接，易证，可推出，根据三角形内角和定理易证，即可证明； （2）连接，证明，得到，设，则，根据，即，求出；求出，，，根据，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为中的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ∵为中的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 15．如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、证明某直线是圆的切线、求角的正切值 【分析】（1）利用垂径定理得，利用菱形的性质得，利用半径相等得，即可证明，据此即可证明结论成立； （2）设，由题意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，由垂径定理知， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴设， ∵的半径与菱形的边长之比为， ∴在中，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 16．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有，连接． (1)求证：为的切线； (2)若筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求此时筒车中心O到水面的距离（精确到，参考值：）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形等等： （1）连接 并延长交 于，根据为的直径可以得到 ，继而得到 ，根据可证，可以得到，利用等量代换即可证明为的切线； （2）根据，解出 ，根据 为的直径得到 ，进而得出，，又根据 得出，故可得到 ，过作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长即可． 【详解】（1）证明：连接 并延长交 于，连接BM， 为的直径， ， ， ， ， 又∵， ， ， 又， ， ， 为的切线； （2）解：，，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， 过作交于，交PQ于E， 为等腰直角三角形， ， ， ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 与圆有关的位置关系 教材知识 中考考点 课标要求 点与圆的位置关系 点与圆位置关系 1.了解点与圆的三种位置关系，会判断点与圆的位置关系； 2.知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 3.知道什么是三角形的外接圆，掌握三角形外心的概念 确定圆的条件 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 4.了解直线与圆的三种位置关系，会判断直线与圆的位置关系； 切线的判定 5.掌握切线的概念，会判定圆的切线； 6.知道圆的切线的性质，能够根据性质解决有关圆的几何问题； 7.知道圆的切线长定理，了解三角形的内切圆的概念，知道什么是内心. 切线的性质与计算 三角形的内切圆 命题点1 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系由圆的半径（r）和点到圆心的距离（d）共同决定. 点与圆的位置关系 d与r的大小关系 图示 点C在圆内 d＜r 点A在圆上 d＝r 点B在圆外 d＞r 2、确定圆的条件 点的个数 过一点A 过两点A、B 过共线的三点 过不共线的三点A、B、C 图示 —— 确定圆的个数 无数个 无数个 无 一个 3、三角形的外接圆（如图所示） （1）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个； （2）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形； （3）三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径． 1．（2024·广东广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 2．（2023·吉林）如图，在△ABC中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2023·内蒙古）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 5．（2023·湖北十堰）如图，是等边△ABC的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 命题点2 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系由圆的半径（r）和圆心到直线的距离（d）共同确定. 位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 2个 1个 无 d与r的关系 图示 6．（2022·贵州六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 7．（2023·广东广州）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 8．（2023·浙江嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 9．（2023·湖南娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·江苏镇江）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 命题点3 切线的性质 1、圆的切线 与圆有且仅有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线是⊙的切线，点为切点. 角度1 切线性质的计算 11．（2024·山西）如图，已知△ABC，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．（2024·山东泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    13．（2023·河南）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ． 14．（2024·重庆）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 15．（2024·天津）已知△AOB中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 角度2 切线性质的相关证明 16．（2024·江苏盐城）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 17．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 18．（2024·内蒙古通辽）如图，△ABC中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．（2024·贵州）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)写出图中一个与相等的角：______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 20．（2024·黑龙江大庆）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 命题点4 切线长定理 1、切线长定理 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长 定理 具体内容 图示 表示 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角 分别与⊙相切于两点 【要点解读】 有关切线长定理的辅助线作法（如图） ①由圆外一点引出圆的两条切线； ②连接该点与圆心，连接圆心与两个切点； ③运用切线长定理构造两个全等的直角三角形. 21．（2024·四川泸州）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（2023·湖北荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（2023·四川眉山）如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为 ． 24．（2025·江苏南京）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 命题点5 三角形内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆. 2、内心 三角形内切圆的圆心叫做内心，是三角形三个角的角平分线的交点. 3、相关性质 （1）三角形的内心到三角形的三条边的距离相等； （2）如图，. 【知识拓展】 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 利用等面积法可得： 利用等面积法可得： 利用切线长定理可得： 25．（2023·广东广州）如图，△ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 26．（2023·山东聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 27．（2023·江苏镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    28．（2023·湖北）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    29．（2024·上海节选）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接，求证：； (2)已知； ①如图2所示，连接，如果△ADE外接圆的心恰好落在的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长； 命题点6 与切线的判定有关的证明与计算 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图，为⊙的半径，直线是⊙的切线. 2、切线的判定方法 （1）有切点，连半径，证垂直：若直线与圆有一个公共点，则连接这个公共点和圆心得到半径，证明这个半径与该直线垂直. （2）无切点，作垂线，证半径：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心做该直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径. 【要点解读】 圆中常见辅助线的作法 类别 辅助线作法 作用 图示 有弦 过圆心作该弦的垂线，连接圆心与弦的一个端点 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求线段长 有直径 构造直径所对的圆周角 运用圆周角定理的推论得到直角三角形 有的圆周角 连接该圆周角的两边与圆的两个交点 运用圆周角定理的推论得到直径 有切线 连接圆心与切点 运用切线的性质构造直角三角形 30．（2024·甘肃）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)当的半径为2，时，求的值． 31．（2024·湖北）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 32．（2024·湖北武汉）如图，△ABC为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 33．（2024·四川宜宾）如图，△ABC内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 34．（2024·山东济南）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 35．（2024·山东东营）如图，△ABC内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 36．（2024·山东潍坊）如图，已知△ABC内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 37．（2024·山东济宁）如图，△ABC内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线． 38．（2024·四川）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的面积． 1．（2024·云南怒江·一模）平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏盐城·模拟）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·湖北·模拟）△ABC的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 4．（2024·福建）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2022·贵州黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·四川眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 8．（2024·内蒙古包头）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 9．（2024·甘肃临夏）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 10．（2024·广东深圳）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 11．（2023·贵州毕节）如图，是△ABC的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE． （1）求证：； （2）若，，求DB的长． 12．（2023·湖南张家界）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 13．（2024·四川眉山）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 14．（2023·山东淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．（2023·湖北武汉）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 16．（2024·四川内江）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    17．（2024·北京）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 18．（2024·辽宁）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 与圆有关的位置关系 教材知识 中考考点 课标要求 点与圆的位置关系 点与圆位置关系 1.了解点与圆的三种位置关系，会判断点与圆的位置关系； 2.知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 3.知道什么是三角形的外接圆，掌握三角形外心的概念 确定圆的条件 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 4.了解直线与圆的三种位置关系，会判断直线与圆的位置关系； 切线的判定 5.掌握切线的概念，会判定圆的切线； 6.知道圆的切线的性质，能够根据性质解决有关圆的几何问题； 7.知道圆的切线长定理，了解三角形的内切圆的概念，知道什么是内心. 切线的性质与计算 三角形的内切圆 命题点1 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系由圆的半径（r）和点到圆心的距离（d）共同决定. 点与圆的位置关系 d与r的大小关系 图示 点C在圆内 d＜r 点A在圆上 d＝r 点B在圆外 d＞r 2、确定圆的条件 点的个数 过一点A 过两点A、B 过共线的三点 过不共线的三点A、B、C 图示 —— 确定圆的个数 无数个 无数个 无 一个 3、三角形的外接圆（如图所示） （1）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个； （2）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形； （3）三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径． 1．（2024·广东广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、判断点与圆的位置关系、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 2．（2023·吉林）如图，在△ABC中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、用勾股定理解三角形 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 3．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 4．（2023·内蒙古）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、 三角形外接圆的概念辨析、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 5．（2023·湖北十堰）如图，是等边△ABC的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、垂径定理的实际应用、 三角形外接圆的概念辨析、已知圆内接四边形求角度 【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=60°， ∴， ∴∠ADB=∠BDC，故①正确； ∵点是上一动点， ∴不一定等于， ∴DA=DC不一定成立，故②错误； 当最长时，DB为圆O的直径， ∴∠BCD=90°， ∵是等边的外接圆，∠ABC=60°， ∴BD⊥AC， ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∴，故③正确； 如图，延长DA至点E，使AE=DC， ∵四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∵∠BAE+∠BAD=180°， ∴∠BAE=∠BCD， ∵AB=BC，AE=CD， ∴△ABE≌△CBD， ∴BD=BE，∠ABE=∠DBC， ∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE=BD， ∵DE=AD+AE=AD+CD， ∴，故④正确； ∴正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 命题点2 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系由圆的半径（r）和圆心到直线的距离（d）共同确定. 位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 2个 1个 无 d与r的关系 图示 6．（2022·贵州六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可． 【详解】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线的距离为. ∴dr， ∴直线和圆相交． 故选：B 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交． 7．（2023·广东广州）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系、解直角三角形的相关计算 【分析】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系． 【详解】解：∵中，， ， ∴cosA= ∵， ∴AC=4 ∴BC= 当时，与的位置关系是：相切 故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键． 8．（2023·浙江嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断直线和圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 9．（2023·湖南娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】切线的应用、相似三角形——动点问题、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论． 【详解】如下图所示，连接，过点作， 此时点坐标可表示为， ∴，， 在中，， 又∵半径为5， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵左右两侧都有相切的可能， ∴A点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 10．（2023·江苏镇江）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2． 【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限， ∴，随的增大而减小， ∵过定点， ∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点， ∴r的临界点是2， ∴r的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 命题点3 切线的性质 1、圆的切线 与圆有且仅有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线是⊙的切线，点为切点. 角度1 切线性质的计算 11．（2024·山西）如图，已知△ABC，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 12．（2024·山东泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13．（2023·河南）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接， ∵与相切于点A， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 14．（2024·重庆）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 【答案】 8 / 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出． 【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示： ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：8；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 15．（2024·天津）已知△AOB中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 角度2 切线性质的相关证明 16．（2024·江苏盐城）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明； （2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的切线，点C在以为直径的上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）得， ∴即， ∴， ∴的半径为． 17．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．（2024·内蒙古通辽）如图，△ABC中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、圆周角定理 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19．（2024·贵州）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)写出图中一个与相等的角：______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用同角三角函数关系求值、切线的性质定理 【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解； （2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证； （3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：连接， ， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 20．（2024·黑龙江大庆）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； （2）解：∵是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 命题点4 切线长定理 1、切线长定理 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长 定理 具体内容 图示 表示 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角 分别与⊙相切于两点 【要点解读】 有关切线长定理的辅助线作法（如图） ①由圆外一点引出圆的两条切线； ②连接该点与圆心，连接圆心与两个切点； ③运用切线长定理构造两个全等的直角三角形. 21．（2024·四川泸州）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 22．（2023·湖北荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可. 【详解】解：PA，PB是⊙O的切线， 故选：B. 【点睛】本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 23．（2023·四川眉山）如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接OB，在中应用勾股定理求得的半径为3，再根据，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：连接OB， ∵、为的切线， ∴，， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，，即，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线长定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理的应用等内容，作出合适的辅助线是解题的关键． 24．（2025·江苏南京）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 命题点5 三角形内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆. 2、内心 三角形内切圆的圆心叫做内心，是三角形三个角的角平分线的交点. 3、相关性质 （1）三角形的内心到三角形的三条边的距离相等； （2）如图，. 【知识拓展】 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 利用等面积法可得： 利用等面积法可得： 利用切线长定理可得： 25．（2023·广东广州）如图，△ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用、圆周角定理、应用切线长定理求解 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 26．（2023·山东聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵点I是的内心，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键． 27．（2023·江苏镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    【答案】6 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键． 28．（2023·湖北）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与分别相切于点，， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 29．（2024·上海节选）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接，求证：； (2)已知； ①如图2所示，连接，如果△ADE外接圆的心恰好落在的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长； 【答案】(1)见详解 (2)①；【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求特殊三角形外接圆的半径、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； 命题点6 与切线的判定有关的证明与计算 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图，为⊙的半径，直线是⊙的切线. 2、切线的判定方法 （1）有切点，连半径，证垂直：若直线与圆有一个公共点，则连接这个公共点和圆心得到半径，证明这个半径与该直线垂直. （2）无切点，作垂线，证半径：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心做该直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径. 【要点解读】 圆中常见辅助线的作法 类别 辅助线作法 作用 图示 有弦 过圆心作该弦的垂线，连接圆心与弦的一个端点 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求线段长 有直径 构造直径所对的圆周角 运用圆周角定理的推论得到直角三角形 有的圆周角 连接该圆周角的两边与圆的两个交点 运用圆周角定理的推论得到直径 有切线 连接圆心与切点 运用切线的性质构造直角三角形 30．（2024·甘肃）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)当的半径为2，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求角的正切值、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）连接，，证明垂直平分，得出，证明，得出，说明，即可证明结论； （2）根据是的直径，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出，证明，得出即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴点O、B在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 31．（2024·湖北）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】证明某直线是圆的切线、求弧长、全等的性质和SSS综合（SSS）、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． 32．（2024·湖北武汉）如图，△ABC为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、解直角三角形的相关计算、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， 在中，， ， 解得： 33．（2024·四川宜宾）如图，△ABC内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【知识点】证明某直线是圆的切线、已知正切值求边长、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【详解】（1）证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 34．（2024·山东济南）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、圆周角定理 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切． （2）解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 35．（2024·山东东营）如图，△ABC内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】含30度角的直角三角形、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 36．（2024·山东潍坊）如图，已知△ABC内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、根据等边对等角证明、已知正弦值求边长 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 37．（2024·山东济宁）如图，△ABC内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明某直线是圆的切线、三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案； （2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 38．（2024·四川）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂径定理的推论、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证； （2）利用勾股定理求出即可求解； 【详解】（1）证明：∵为⊙O的弦，C为的中点， 由垂径定理的推论可知：， ∵， ∴， ∵为⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·云南怒江·一模）平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴的长可以是． 故选：D． 2．（2023·江苏盐城·模拟）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状、利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断确定圆的条件 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 3．（2024·湖北·模拟）△ABC的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 4．（2024·福建）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】切线的性质定理、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】∵，为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵直线与相切， ∴， ∴ 故选：A． 5．（2022·贵州黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】应用切线长定理求解、求角的正弦值、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函数定义计算即可． 【详解】解：连接OA ∵、分别与相切于点A、， ∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP， ∴∠APD=∠BPD， 在△APD和△BPD中， ， ∴△APD≌△BPD（SAS） ∴∠ADP=∠BDP， ∵OA=OD=6， ∴∠OAD=∠ADP=∠BDP， ∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 在Rt△AOP中，OP=， ∴sin∠ADB=． 故选A． 【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键． 6．（2022·四川眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB． 【详解】连接OB， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=28°， ∴∠AOB=124°， ∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴OA⊥PA，OP⊥AB， ∴∠OAP+∠OBP=180°， ∴∠APB+∠AOB=180°； ∴∠APB=56°． 故选：C 【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题． 7．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 【答案】4 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的内切圆，直线与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 可知该三角形为直角三角形，进而利用等面积法求出内切圆半径正好为1，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点． 【详解】解：如图， 由得该三角形为直角三角形，设，作出的内切圆，设切点为，连接，则，，设， ∵， ∴， 解得：， 进而可知内切圆半径为1，此时正好有3个交点， 当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点，如图， 故答案为：4． 8．（2024·内蒙古包头）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 9．（2024·甘肃临夏）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 10．（2024·广东深圳）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 11．（2023·贵州毕节）如图，是△ABC的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE． （1）求证：； （2）若，，求DB的长． 【答案】（1）证明过程见详解; （2）DB=6. 【知识点】三角形内心有关应用、相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据三角形的内心得到∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，根据圆周角定理推论得到∠DBC=∠CAD，结合三角形的外角性质，进而根据“等角对等边”证明结论； （2）通过证明△DBF∽△DAB，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD， 根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB； （2）由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD, ∴∠DBF=∠DAB. ∵∠D=∠D， ∴△DBF∽△DAB. ∴, ∵DE=DB， ∴, ∵，， ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理.关键是正确理解三角形的内心定义． 12．（2023·湖南张家界）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即，解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 13．（2024·四川眉山）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 14．（2023·山东淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵是的内心， ∴， 设， ∵BD＝10， ∴， ∴,， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键． 15．（2023·湖北武汉）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、求角的正弦值、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 16．（2024·四川内江）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内心有关应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 17．（2024·北京）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、同位角相等两直线平行、切线的性质定理 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为.    【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 18．（2024·辽宁）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求弧长、等边对等角、圆周角定理 【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$