19 第六章 第一讲圆的相关概念与性质--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

第一讲 圆的相关概念与性质 教材知识 中考考点 课标要求 圆的基本概念 1.圆的基本概念 理解圆的定义，认识弧、弦、圆心角和圆周角； 了解等圆和等弧的概念，掌握直径是圆中最长的弦 圆的性质与 定理 2.垂径定理 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等； 了解并证明圆周角定理及其推论； 探索并证明垂径定理 3.圆周角定理 4.圆内接四边形的性质 命题点1 圆的相关概念及性质 1、圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，定点称为圆心，定长称作半径. 2、圆的相关概念 类别 定义 示例 弦 连接圆上任意两点的线段 线段AC，线段AB 直径 经过圆心的弦 线段AB 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分 ,, 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆 弦心距 圆心到弦的距离 线段OD 圆心角 顶点在圆心的角 ∠BOC，∠AOC，∠AOB 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角 ∠BAC 等圆 能够重合的两个圆 — 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 — 3、圆的相关性质 （1）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. （2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合. 【要点解读】 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ③大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如弧ABC；小于半圆的弧叫做劣弧,用两个点表示,如弧AC； ④在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余各组量都相等. 1．（2024·江苏连云港）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．（2023·江苏连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 3．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2023·江苏宿迁）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 命题点2 垂径定理及其推论 1、 垂径定理 类别 具体内容 图示 表示 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 2、垂径定理相关的应用 在圆的相关计算中，涉及弦长a、半径r、弦心距 d、弓形高h时，可通过连半径或作弦(非直径)的垂线构造直角三角形，再运用垂径定理和勾股定理求解. 具体内容 数量关系 角度1 垂径定理及其推论的相关计算 5． （2024·新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·广东广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A． 点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 7．（2024·重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 角度2 垂径定理的实际应用 8．（2024·内蒙古通辽）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·山东东营）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 命题点3 圆周角定理及其推论 类别 具体内容 图示 表示 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 AB为圆O的直径 【要点解读】 ①一条弧所对的圆心角只有一个，所对的圆周角有无数个. 11．（2024·湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 12．（2024·云南）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2024·甘肃）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 14．（2024·四川宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山东泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·四川宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 18．（2024·湖北武汉）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·北京）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    20．（2024·四川南充）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 21．（2024·江苏苏州）如图，是的内接三角形，若，则 ． 22．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    23．（2024·江苏连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则 ．    24．（2024·四川眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 命题点4 圆内接四边形的性质 具体内容 图示 表示 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 25．（2024·四川广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 26．（2024·吉林）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·山东济宁）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·山东滨州）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． 1．（2023·甘肃兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．（2024·内蒙古赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·海南）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江绥化）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 6．（2024·甘肃临夏）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·西藏）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 8．（2024·湖北）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏镇江）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    10．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，内接于，是直径，若，则 ． 11．（2024·山东）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 12．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 13．（2024·重庆）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 14．（2024·山东日照）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 3．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 8．如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 9．如图，是的内接三角形，，连接，则 ．    10．如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    11．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 12．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 13．如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    15．如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求的长． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长． 【详解】解：∵ ∴点为的中点， ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键 2．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 3．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：   点在上，为的中点， ， ， ， 根据圆周角定理可知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 4．如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出度数和得出． 5．如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 6．如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7．如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长． 【详解】解：连接，    ∵的半径为2．， ∴， ∴， ∵D，G分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键． 8．如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 9．如图，是的内接三角形，，连接，则 ．    【答案】50 【分析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 10．如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 11．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 【答案】 / / 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 12．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 13．如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理，得  ，由圆周角定理，得； （2）可证得；中，勾股定理求得，于是. 【详解】（1）证明：∵  是的半径 ∴，  （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等） （2）解：∵  又∵ ∴（两角分别相等的两个三角形相似）   ∴（相似三角形对应边成比例） ∵   ∴ 在中     ∴（勾股定理）   即   ∴. 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 14．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 15．如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，则四边形是平行四边形，，作于．得出为的垂直平分线．则．又点在上，即可得证； 过点作于，连接．垂径定理得出，勾股定理得，进而可得，勾股定理求得，证明，可得，根据相似三角形的性质得出，，然后求得，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明，∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 作于．    又∵， ∴为的垂直平分线． ∴点在上． ∴． 即．又点在上， ∴为的切线； （2）解：过点作于，连接．    ∵为的垂直平分线， ∴． ∴．∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴， 又， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 圆的相关概念与性质 教材知识 中考考点 课标要求 圆的基本概念 1.圆的基本概念 理解圆的定义，认识弧、弦、圆心角和圆周角； 了解等圆和等弧的概念，掌握直径是圆中最长的弦 圆的性质与 定理 2.垂径定理 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等； 了解并证明圆周角定理及其推论； 探索并证明垂径定理 3.圆周角定理 4.圆内接四边形的性质 命题点1 圆的相关概念及性质 1、圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，定点称为圆心，定长称作半径. 2、圆的相关概念 类别 定义 示例 弦 连接圆上任意两点的线段 线段AC，线段AB 直径 经过圆心的弦 线段AB 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分 ,, 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆 弦心距 圆心到弦的距离 线段OD 圆心角 顶点在圆心的角 ∠BOC，∠AOC，∠AOB 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角 ∠BAC 等圆 能够重合的两个圆 — 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 — 3、圆的相关性质 （1）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. （2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合. 【要点解读】 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ③大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如弧ABC；小于半圆的弧叫做劣弧,用两个点表示,如弧AC； ④在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余各组量都相等. 1．（2024·江苏连云港）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．（2023·江苏连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成． 【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形， 只有乙是扇形， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键． 3．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 4．（2023·江苏宿迁）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键． 命题点2 垂径定理及其推论 1、 垂径定理 类别 具体内容 图示 表示 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 2、 垂径定理相关的应用 在圆的相关计算中，涉及弦长a、半径r、弦心距 d、弓形高h时，可通过连半径或作弦(非直径)的垂线构造直角三角形，再运用垂径定理和勾股定理求解. 具体内容 数量关系 5．（2024·新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 6．（2024·广东广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 7．（2024·重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 角度2 垂径定理的实际应用 8．（2024·内蒙古通辽）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 9．（2024·四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 10．（2023·山东东营）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 命题点3 圆周角定理及其推论 类别 具体内容 图示 表示 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 AB为圆O的直径 【要点解读】 ①一条弧所对的圆心角只有一个，所对的圆周角有无数个. 11．（2024·湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 12．（2024·云南）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 13．（2024·甘肃）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，根据得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 14．（2024·四川宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 15．（2024·山东泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 16．（2024·四川宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键． 作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示 ∴， ∵由旋转可知， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴． 故选：A 17．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 18．（2024·湖北武汉）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19．（2024·北京）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2024·四川南充）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 21．（2024·江苏苏州）如图，是的内接三角形，若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 23．（2024·江苏连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则 ．    【答案】90 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 24．（2024·四川眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 命题点4 圆内接四边形的性质 具体内容 图示 表示 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 25．（2024·四川广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 26．（2024·吉林）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 27．（2024·山东济宁）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解． 本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是的内接四边形 ∴， ，， ， ，，， ， 解得， ， ． 故选：C 28．（2024·山东滨州）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．1．（2023·甘肃兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，C为的中点， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 2．（2024·湖南长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 3．（2024·内蒙古赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·海南）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·黑龙江绥化）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意； D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6．（2024·甘肃临夏）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 7．（2024·西藏）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2024·湖北）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得，故可得答案 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， 故选：C 9．（2024·江苏镇江）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 10．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 11．（2024·山东）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 13．（2024·重庆）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 【答案】 8 / 【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出． 【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示： ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：8；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 14．（2024·山东日照）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【答案】（1）   （2）证明见解析  （3）   （4） 【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得； （2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得； （4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴, ∵，， ∴ 故答案为：； （2）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，； （4）解：如图，过点A作，使，连接． 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四边形的判定，含30°的直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角 三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$