10.4一次函数与二元一次方程练习题（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

10.4一次函数与二元一次方程 题型一 根据一次函数图像求二元一次方程组的解 1．直线与相交于点，则关于的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数与（k，b，m，n是常数且）的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．如图，函数和的图像交于点，则根据图像可得，关于、的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ． 5．函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图像如图所示，则以方程组的解为坐标的点关于原点对称的点的坐标是 ． 题型二 求两条直线的交点坐标 1．两直线解析式分别为y＝5x—8与y＝—3x，则两直线与x轴围成的三角形面积为（    ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 2．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 3．已知，直线与直线． (1)求两直线交点C的坐标； (2)求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求直线、的函数表达式； （2）连接，直接写出的面积． 题型三 用图像法解二元一次方程组 1．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 2．（1）利用一次函数的图象解二元一次方程组． （2）求图中两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 3．(1)请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y1=x﹣1和y2=﹣2x+5画出函数的图象； (2)根据图象直接写出的解为　 　； (3)利用图象求两条直线与x轴所围成图形的面积． 4．用图象法解下列方程组： （1）    (2) 1．若直线 y ＝ x +2k +1与直线y= x+2 的交点在第一象限，则 k 的取值范围是（　　） A． <k< B．- <k< C．k> D．k> 2．如图，直线与在第二象限交于点，交轴、轴分别于，两点．，则方程的解为 ． 3．如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点A，B的坐标分别为，，直线与直线相交于点P．    (1)直线的表达式为__________． (2)连接，求的面积； (3)若直线上存在一点E，使得的面积是的面积的4倍，求点E的坐标． 1．先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是（    ） A．            B．            C．            D． （2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 2．如图，直线：与轴相交于点，直线：经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，一次函数的图象与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）若点是轴上一点，且的面积等于，求点的坐标； （3）若直线与的三边恰好有两个公共点．直接写出的取值范围 ． 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有 ．（填序号） 2．如图直线与直线相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.4一次函数与二元一次方程 题型一 根据一次函数图像求二元一次方程组的解 1．直线与相交于点，则关于的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，二元一次方程组的知识，解题的关键是根据函数图象，求出点的坐标，根据函数图象可得，可得交点就是两函数组成的二元一次方程组的解，即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴点， ∵变形为；变形为， ∴关于的二元一次方程组的解为． 故选：B． 2．已知一次函数与（k，b，m，n是常数且）的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组的解为两直线的交点坐标解答即可． 【详解】解：∵一次函数与（k，b，m，n是常数且）的图象交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 3．如图，函数和的图像交于点，则根据图像可得，关于、的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解． 【详解】解：∵函数和的图像交于点， ∴方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图像的关系，满足解析式的点就在函数的图像上，在函数的图像上的点，就一定满足函数解析式．函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的综合，解题的关键是根据一次函数的性质，求出点的坐标，再根据变形为，，变形为，可得点即为方程组的解． 【详解】∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 故答案为：． 5．函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图像如图所示，则以方程组的解为坐标的点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】(－3，－4) 【分析】先求出函数图象交点的坐标即为两函数解析式组成的方程组的解, 再根据关于原点对称的点的坐标特点即可求解. 【详解】解:函数k=kx+b与y=mx+n的图象,同时经过点(3,4),因此x=3,y=4同时满足两个函数的解析式, 所以方程组的解就是的交点坐标,由图知交点坐标(3,4),则关于原点对称的点的坐标是(-3,-4). 故答案为: (-3,-4). 【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系, 方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值,而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式,因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标. 题型二 求两条直线的交点坐标 1．两直线解析式分别为y＝5x—8与y＝—3x，则两直线与x轴围成的三角形面积为（    ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 【答案】B 【分析】先求出y＝5x—8与y轴的交点于点A，再求出两个直线的交点于点B，即可得出底OA与高BD，从而求出所要求三角形的面积． 【详解】解：令，即， 解得：， 则交点为， ∵两条直线有交点， ∴有， 解得：， 则交点为， 过点B作x轴的垂线交于点D， 则 可得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点以及一次函数与二元一次方程组的关系，清楚函数的坐标特征并能找到对应图形是解题的关键． 2．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 【详解】解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 3．已知，直线与直线． (1)求两直线交点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)C点坐标为 (2)2 【分析】（1）联立两直线的表达式求出交点C的坐标即可； （2）求出两直线于y轴的交点坐标，进一步得到的长度，即可得到答案． 【详解】（1）将直线与直线组成方程组得， ， 解得． 即C点坐标为． （2）当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数图象的交点问题、一次函数与坐标轴的交点、直线与坐标轴围成图形的面积，熟练掌握求解方法是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求直线、的函数表达式； （2）连接，直接写出的面积． 【答案】（1）直线：，直线：；（2）2 【分析】（1）代入点的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求得直线l1与y轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD即可求得． 【详解】解：（1）把，代入得，解得， ∴直线：； 把，代入得，解得， ∴直线：. （2）设直线l1与y轴的交点为D，则D（0，1）， ∴BD＝3﹣1＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝＝2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题型三 用图像法解二元一次方程组 1．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 2．（1）利用一次函数的图象解二元一次方程组． （2）求图中两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先利用描点法画出直线y=-x+4和y=2x+1，根据函数图像交点坐标为函数解析式组成的方程组的解，所以写出它们的交点坐标即可得到二元一次方程组 （2）先确定A、B点坐标，然后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）画出直线y＝﹣x+4和y＝2x+1，如图， 两直线的交点坐标为（1，3）， 所以方程组 的解为 ； （2）如图，A（﹣，0），B（4，0）， 所以两条直线与x轴所围成的三角形的面积＝×（4+）×3＝． 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图像的交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．学会数形结合的解题思想是关键. 3．(1)请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y1=x﹣1和y2=﹣2x+5画出函数的图象； (2)根据图象直接写出的解为　 　； (3)利用图象求两条直线与x轴所围成图形的面积． 【答案】(1)见解析；(2)；(3). 【分析】（1）分别令x=0求出y的值，再另y=0求出x的值，再分别描出此两点，画出函数图像即可； （2）方程组的解即为两函数图像的交点坐标； （3）先计算出两条直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】(1)如图， (2)的解为； 故答案为； (3)解方程﹣2x+5=0得x=，则直线y=﹣2x+5与x轴的交点坐标为（，0）， 解方程x﹣1=0得x=1，则直线y=x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0）， 所以两条直线与x轴所围成图形的面积=×（﹣1）×1=． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图像，解题关键是利用数形结合． 4．用图象法解下列方程组： （1）    (2) 【答案】（1）；（2）． 【分析】先把每个方程组中的两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】（1）由y-2x=1，得y=2x+1；由x+2y=2，得y=-x+1； 在同一平面直角坐标系内作出y=2x+1的图象L1和y=-x+1的图象L2， 如下图所示，观察图象得，L1与L2交于点P（0，1）， 所以方程组的解是． （2）由x+y=3，得y=-x+3，由2x-3y=6，得y=x-2； 在同一平面直角坐标系中作出一次函数y=3-x和y=x-2的图象， 如图所示，交点坐标为（3，0）， 所以方程组的解是． 【点睛】此题考查了一次函数和二元一次方程（组），在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点． 1．若直线 y ＝ x +2k +1与直线y= x+2 的交点在第一象限，则 k 的取值范围是（　　） A． <k< B．- <k< C．k> D．k> 【答案】A 【分析】由两直线的解析式组成方程组，求得方程组的解即为交点坐标，再根据交点在第一象限确定k的取值范围． 【详解】由函数的解析式组成方程组可得： 解方程组得： 又因为它们的交点在第一象限， 所以 解得 <k<. 故选A. 【点睛】解答本题的关键:二元一次方程组的解即为交点的坐标，再根据交点在第一象限和第一象限点的坐标特点列一元一次不等式组，解不等式组即可. 2．如图，直线与在第二象限交于点，交轴、轴分别于，两点．，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，则，进而求得即可． 【详解】解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， 当时，由得，则， ∵， ∴，即， ∴，则， 将代入中，得，则， ∴方程的，解为， 故答案为：． 3．如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解； （2）先求出直线与轴的交点的坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积； （3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 方程组的解为； （2）解：对于直线， 令，则， 解得：， ， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ， ； （3）解：由题意得： 直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为， ， ， 即：， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点A，B的坐标分别为，，直线与直线相交于点P．    (1)直线的表达式为__________． (2)连接，求的面积； (3)若直线上存在一点E，使得的面积是的面积的4倍，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）通过解方程组即可得到点P的坐标，然后根据三角形面积公式求得的面积； （3）设点E的坐标为，依据的面积是的面积的4倍，求得的面积，然后根据或，即可得出或3，进而得到或． 【详解】（1）解：设直线的表达式为． 由点A，B的坐标分别为，， ∴，解得， 所以直线AB的表达式为． 故答案为． （2）解：由题意，得，解得， ∴点P的坐标为， ∴． （3）解：直线中，令，则， ∴， 设点E的坐标为， ∵的面积是的面积的4倍， ∴， ∴或， ∴或，解得或3， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积、坐标与图形等知识点，两函数图像的交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 1．先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是（    ） A．            B．            C．            D． （2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 【答案】B；；或 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可得到答案； （2）令，消去即可得到答案； （3）当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，设，将用含的式子表示，设，得到，即可得到答案．当点B在第三象限时，同理可求得点B的坐标，进而即可求得答案． 【详解】（1）解：将代入函数， ，成立，故在函数图象上，选项A不符合题意； 将代入函数， ，不成立，故不在函数图象上，选项B符合题意； 将代入函数， ，成立，故在函数图象上，选项C不符合题意； 将代入函数， ，成立，故在函数图象上，选项D不符合题意； 故选：B． （2）令， 消去得， 故解析式为； （3）设， 如图1，当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 易知， ，， ， ， ， 设， ， 消去得； 当点B在第三象限时，过点A作直线轴于点A，过点P作于点G，过点B作于点H，设与y轴交于点M， 同理可得，， ， 设， ， 消去得； 综上所述，点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合题，用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，添加K型全等图形的辅助线是解答本题的关键． 2．如图，直线：与轴相交于点，直线：经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）∵直线：与直线：交于点， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵直线：与轴相交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小．    【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，一次函数的图象与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）若点是轴上一点，且的面积等于，求点的坐标； （3）若直线与的三边恰好有两个公共点．直接写出的取值范围 ． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立一次函数成方程组，通过解方程组即可求出点的坐标； （2）利用坐标系中面积的计算方法:，求出，进而求出点的坐标； （3）结合函数图象，可知直线与的三边恰好有两个公共点时．在与之间，且不包括这两条直线，进而得解． 【详解】（1）依题意，设直线的解析式为：． 又∵，在直线上， ∴，． 解得. ∴直线解析式为． 联立解析式，得，解得． ∴； （2）， ， ， ， 或； （3）． 结合图象，当过点O或过点B时，与的三边恰好有一个公共点， 当过点时，． 当过点O时，． ∴当时，直线与的三边恰好有两个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组、坐标系中三角形的面积、一次函数图象与平移问题．确定两条直线的交点坐标可通过解二元一次方程组来进行． 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】根据一次函数的图象即可判断结论①；根据一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方即可判断结论②；由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，据此即可判断结论③；根据两个一次函数的交点坐标即可判断结论④；将两个一次函数的交点坐标代入函数解析式，即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，随的增大而增大，故结论①正确； ∵一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方， ∴，故结论②正确； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴此时，故结论③错误； 由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为， ∴关于，的方程组，即方程组的解为，故结论④正确； 将点代入两个一次函数的解析式，得：， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了判断一次函数的增减性，一次函数的图象，比较一次函数值的大小，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 2．如图直线与直线相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数与函数关于y轴对称，函数与函数关于y轴对称，故它们的交点也关于y轴对称即可求解． 【详解】解：∵的图像与的图像关于y轴对称， 的图像与的图像关于y轴对称， ∴直线与直线的交点也关于y轴对称，且对称后的坐标为(-1，-2)，, ∴方程组的解为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，使用数形结合的方法即可求解． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$