专题14 立体几何外接球与内切球问题十种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）

专题14 立体几何外接球与内切球问题十种考法 一、方法讲解 1.正（长）方体的外接球 墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 对棱相等模型：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线 2. 直柱体的外接球 直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点 补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 作图：构造直角三角形，利用勾股定理 例如：直三棱柱内接一球（棱柱的上下底面为直角三角形） 此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般， 勾股定理：，则 注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球 3.棱锥垂面模型的外接球 如图，平面，求外接球半径． 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 4.面面垂直模型的外接球 若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 5.二面角模型的外接球 多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 6.台体模型的外接球 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 7.棱锥的内切球问题 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 8.圆柱圆锥的内切球模型 圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为，高为，则，， 所以． 圆柱的内切球：不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高与圆柱的底面半径满足，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径 注：求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决 9.圆台与棱台的切接问题 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 10.外接球与内切球的最值问题 关键确定球心的位置以及半径的最值进而确定几何体的表面积、体积以及棱长的最值 二、重难点例题及变式 类型一、正（长）方体的外接球 例．（1）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（  ） A． B． C． D． （2）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 【变式训练1】已知三棱锥V—ABC，满足，，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 【变式训练2】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两垂直，则球心到平面的距离为_______________ 类型二、柱体的外接球 例．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 【变式训练1】已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（  ） A． B． C． D． 类型三、棱锥垂面模型的外接球 例．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（  ） A． B． C． D． 类型四、面面垂直模型的外接球 例．已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为___________ 类型五、二面角模型的外接球 例．在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【变式训练2】已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________ 类型六、台体模型的外接球 例．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线长为，且该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【变式训练2】在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 类型七、棱锥的内切球问题 例．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（  ） A．1 B． C． D． 【变式训练1】已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球的表面积为 ． 【变式训练2】某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（  ） A． B． C． D． 类型八、圆柱圆锥的内切球问题 例．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是___________ 【变式训练2】某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（  ） A． B． C． D． 类型九、圆台与棱台的切接问题 例．已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（  ） A． B． C． D． 类型十、外接球与内切球的最值问题 例．已知一个圆锥的轴截面为锐角三角形，它的内切球体积为，外接球体积为，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是 . 【变式训练2】把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，则四面体ABCD的内切球的半径为（  ） A． B． C． D． 三、能力测试练 1．若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（  ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 4．若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（  ） A． B．2 C． D． 5．（多选）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（  ） A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为 C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为 6.（多选）如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条直径，为底面圆的圆心，设，则（  ） A．过的圆锥的截面中，的面积最大 B．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 C．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 7.已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为 ． 8．已知三棱锥的四个顶点都在球体的表面上，若，且，则球体的表面积为 . 9．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是 . 10．《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 立体几何外接球与内切球问题十种考法 一、方法讲解 1.正（长）方体的外接球 墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 对棱相等模型：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线 2. 直柱体的外接球 直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点 补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 作图：构造直角三角形，利用勾股定理 例如：直三棱柱内接一球（棱柱的上下底面为直角三角形） 此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般， 勾股定理：，则 注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球 3.棱锥垂面模型的外接球 如图，平面，求外接球半径． 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 4.面面垂直模型的外接球 若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 5.二面角模型的外接球 多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 6.台体模型的外接球 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 7.棱锥的内切球问题 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 8.圆柱圆锥的内切球模型 圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为，高为，则，， 所以． 圆柱的内切球：不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高与圆柱的底面半径满足，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径 注：求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决 9.圆台与棱台的切接问题 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 10.外接球与内切球的最值问题 关键确定球心的位置以及半径的最值进而确定几何体的表面积、体积以及棱长的最值 二、重难点例题及变式 类型一、正（长）方体的外接球 例．（1）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 三棱锥的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处,三棱锥的外接球就是长方体的外接球 设长方体的长宽高分别是,则, 所以, 设长方体的外接球半径为，则， 所以外接球表面积为.故选：D. （2）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 【答案】 【解析】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 【变式训练1】已知三棱锥V—ABC，满足，，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】根据三棱锥对棱相等的特点，在长方体中构造三棱锥如下所示： 设该长方体长宽高分别为， 由题可知：，故可得， 又该长方体外接球半径， 也为该三棱锥外接球半径，故该三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【变式训练2】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两垂直，则球心到平面的距离为_______________ 【答案】 【解析】因为两两垂直，所以正三棱锥的外接球就是所在正方体的外接球． 如图，外接球的球心即为正方体的中心，正方体的体对角线就是外接球的直径． 设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，即， 即，，， ．设点到平面的距离为， 由，得， 所以， 所以球心到平面的距离为． 故答案为: 类型二、柱体的外接球 例．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为， 取的中点，可知，且∥， 则，， 可得，， 所以三棱柱的外接球表面积为. 故答案为: 【变式训练1】已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为. 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：.而为的中点， 所以则故选:A. 解法2：设正三棱柱外接球的半径为 因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点， 故此时. 故选:A. 【变式训练2】直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，分别取上下底面正三角形的中心为，取的中点，连接，如下图： 易知点为三棱柱的外接球球心，且平面， 因为平面，所以， 在正中，，易知， 在中，. 故选：B. 类型三、棱锥垂面模型的外接球 例．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 【变式训练1】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 设四棱锥外接球的半径为，则，所以， 故四棱锥外接球的体积． 故选：C 【变式训练2】在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令的外接圆圆心为，球心为， 则平面，而平面，于是， 又球心在线段的中垂面上，此平面与平面平行，取中点 则， 在中，，，则， 的外接圆半径， 所以该棱锥的外接球半径. 故选：A 类型四、面面垂直模型的外接球 例．已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取等边三角形的中心为，连接并延长交于， 则且， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，而平面，故， 故，同理， ，， 故，故为外接球的球心， 且， 故外接球的体积为， 故选：C . 【变式训练1】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取的中点，连接，， 因为，，所以， 因此点就是三棱锥的外接球球心， 在平面内过点作，为垂足， 又平面平面，平面平面，所以平面， 设球半径为，则， 又，则， 因为，，， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的体积为． 故选：C． 【变式训练2】在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为___________ 【答案】 【解析】 如图，取的中点，连接，， 因为，，所以，因此点就是球心， 又，故是等腰直角三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 设球半径为，则，， 又，则， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球O的表面积为． 故答案为：． 类型五、二面角模型的外接球 例．在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取的中点，连接，， 由题意，，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且， 所以，为外接圆的圆心， 又是边长为2的等边三角形，所以， 过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上， 设球的半径为，连接，可得， 在中，， 利用余弦定理可得， 所以，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 【变式训练1】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【答案】 【解析】如图，取中点，连接， 因， 则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故是等边三角形， 分别取与的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为: 【变式训练2】已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________ 【答案】 【解析】如图，设分别为的中点，连接， 则是边长为的等边三角形， 则球心必在线段上，其中， 设球的半径为，在中，, 又,, 所以在中，, 因为，所以.解得， 故球的表面积为. 故答案为: 类型六、台体模型的外接球 例．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线长为，且该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取圆台的一条母线，连接、， 过点在平面内作，垂足为点，如图： 由题意可知，四边形为直角梯形，且，，， 因为，，， 所以四边形为矩形，所以，则， 所以， 设，则， 因为圆台的上、下底面圆周上的点都在同一个球面上， 所以，解得， 则球的半径为， 故该球的表面积为. 故选：D. 【变式训练1】已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【答案】C 【解析】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得， 取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆， 则四边形是等腰梯形，，而， ，整理得，而，则， 设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则， 令分别为正四棱台上下底面的中心，则，， ，， 当球心在线段时，，解得，球的表面积为； 当球心在线段的延长线时，，无解， 所以所求外接球表面积是. 故选：C 【变式训练2】在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 【答案】 【解析】已知，， 设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，分别为上下底面的中心， 因为底面ABCD是边长为4的正方形，则， 已知，根据三角函数关系， 又因为，即， 所以 设正四棱台外接球的球心为O，半径为 设球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面ABCD的距离为 上底面是边长为2的正方形，其外接圆半径， 下底面ABCD是边长为4的正方形，其外接圆半径 根据球心到正四棱台上下底面顶点距离相等 可得：， 则，即， 两边消去，可得，解得， 将代入，得 根据球的表面积公式，将代入可得 故答案为: 类型七、棱锥的内切球问题 例．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 设正四棱锥内切球球心为，其在底面的投影为，则三点共线，内切球半径为，取中点，中点，则正四棱锥内切球半径即为的内切圆半径， 因为底面边长为，所以，， 因为高为，即，则， 所以， 在中，即，解得， 故选：D. 【变式训练1】已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球的表面积为 ． 【答案】 【解析】由题意，设三棱锥的内切球的半径为，球心为， 则由等体积得， 即， 解得．故内切球的表面积为． 故答案为：. 【变式训练2】某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该三棱锥的体积为，表面积为，该三棱锥的内切球的半径为， 则，所以， 故该三棱锥的内切球的直径为. 故选：B. 类型八、圆柱圆锥的内切球问题 例．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为， 则，即， 所以球的表面积为， 故选：B. 【变式训练1】在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是___________ 【答案】 【解析】显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形， 如图，作，垂足为D，则球的半径，， 此时，，， 水面半径， 设加入冰球后水面以下的体积为，原来饮料的体积为，冰球的体积为， 所以饮料的体积为. 故答案为: 【变式训练2】某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，解得， 所以， 设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示， 其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，为切点， 则，则，即，解得， 所以该圆锥的内切球的体积， 故选：A. 类型九、圆台与棱台的切接问题 例．已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为， 则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以， 所以，所以与全等， 所以，同理，所以， 过A作，垂足为G， 则，， 又，所以， 所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：D. 【变式训练1】已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，高为，内切球的半径为， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，， 由，整理得，而，解得，， 因此圆台的高，， 则圆台的体积， 内切球的体积，所以． 故选： C 【变式训练2】已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，      设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为， 由下底面的面积为，则， 圆台的体积， 即，解得或（舍）， 设， 和中，，，两式联立， 解得，， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 类型十、外接球与内切球的最值问题 例．已知一个圆锥的轴截面为锐角三角形，它的内切球体积为，外接球体积为，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的外接球半径为，内切球半径为，圆锥的高为，底面半径为， 母线为，高与母线的夹角为，，如图， 在中，，在中，，则，得. 如图， 在中，，得，又，所以， 所以， 又圆锥的轴截面为锐角三角形，所以， 所以， 故当时，取得最大值，为， 所以. 故选：B. 【变式训练1】已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是 . 【答案】 【解析】当取得最小值时，则球心在正四棱台的下底面内，为上底面的中心，如图所示，    由此可得外接球的半径为，进而可得， 进而可求侧面的斜高. 则侧面的面积， 又， 所以. 故答案为：. 【变式训练2】把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，则四面体ABCD的内切球的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，当平面平面DAC时，三棱锥体积最大， 记E为AC中点，因为，所以, 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面BAC． 设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知， ， 其中，， 因为平面BAC，平面BAC，则，易知， 则， 则， ， 故 故选：C 三、能力测试练 1．若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示， 在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球， 故球的半径为正方体棱长的一半，即， 则该球的表面积为． 故选：A 2．已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，，所以， ， 设外接圆的半径为，则，即， 设三棱锥外接球的半径为，，解得（负值已舍去）； 因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）； 所以. 故选：B 3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，设外接圆的半径为， 四棱锥的外接球的半径为， 则，即， 又侧面底面，底面为正方形， 侧面底面，，平面， 所以平面， 所以， 所以四棱锥的外接球的表面积. 故选：B 4．若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（  ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：C. 5．（多选）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（  ） A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为 C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为 【答案】BD 【解析】如图，不妨设底面，，两两互相垂直， 易得平面平面，又， 因此，由对称性：，解得， 所以A错误； 该阳马的表面积B正确； 都是以为斜边的直角三角形， 则都在以为直径的球上，C错误； 设该阳马内切球的半径为， 则，即，解得D正确. 故选：BD 6.（多选）如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条直径，为底面圆的圆心，设，则（  ） A．过的圆锥的截面中，的面积最大 B．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 C．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】对于选项A：设点是底面圆上异于点的任意一点，则，.且. 当时，，此时的面积最大； 当时，若，则，此时的面积不是最大； 故选项A错误. 对于选项B：当时，，即. 圆锥侧面的展开图的圆心角为. 故选项B正确. 对于选项C：如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长. 当时，，即. 圆锥侧面的展开图的圆心角为， 此时的弦长为， 故选项C错误. 对于选项D：当时，，即. 当时，. 因为， 所以三棱锥的外接球的半径为， 则三棱锥的外接球的表面积为. 故选项D正确. 故选：BD. 7.已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为 ． 【答案】 【解析】作轴截面图如图，设截面的圆心为， 由已知，，，则，， 在中，． 设内切球半径为，由等面积法，, 所以， 得， 所以内切球体积． 故答案为：. 8．已知三棱锥的四个顶点都在球体的表面上，若，且，则球体的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示：取的中点，连接， 因为，所以， 又，，所以， 因为，，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以，又，平面， 所以平面，又是的外心， 所以三棱锥的外接球球心在直线上， 设，则，所以，解得， 所以外接球的半径为， 所以球体的表面积为 故答案为： 9．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是 . 【答案】/ 【解析】显然阳马的外接球与直三棱柱的外接球为同一个球， 则外接球球心到平面ABC的距离为， 由，，，得三角形ABC的外接圆半径， 因此外接球半径，而外接球体积，表面积， 所以阳马的外接球的体积与表面积之比. 故答案为： 10．《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】连接，分别取、、中点、、，连接、、， 由底面是正方形，平面，和均为等边三角形， 故，底面，又，故， 则，故， 由为底面正方形中心，，故羡除外接球球心在直线上， 连接、、，设半径为，，则, 由底面，平面，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故，故， 又，故有，即， 又， 故有，解得， 故，即， 则这个几何体的外接球的体积为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$