专题02 基本图形位置关系重难点题型专训（22大题型+15道提优训练） -2024-2025学年高一年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第二册）

专题02 基本图形位置关系重难点题型专训（22大题型+15道提优训练） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 异面直线的概念及辨析 题型十二 异面直线的判定 题型十三 求异面直线的距离 题型十四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型十五 证明异面直线垂直 题型十六 求异面直线所成的角 题型十七 由异面直线所成的角求其他量 题型十八 判断图形中的线面关系 题型十九 用定义证明线面关系 题型二十 线面关系有关命题的判断 题型二十一 判断图形中的面面关系 题型二十二 面面关系有关命题的判断 知识点一 平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 知识点二 三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 知识点三 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 知识点四 平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点五 异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. (4)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 知识点六 空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 知识点七 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 a 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 知识点八 空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)两种位置关系 平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 1．（23-24高二下·重庆合川·开学考试）下面表述与结论都正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高二·上海·课堂例题）用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）用符号表示下列语句： (1)点A在直线l上，l在平面内； (2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内； (3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外； (4)直线l经过平面外一点M． 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二·全国·课后作业）看图填空： （1）直线直线 . （2）平面平面 . （3）平面平面 . （4）平面平面 . （5）平面平面平面 . （6）直线直线直线 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例3】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·全国·课后作业）空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 2．（24-25高二上·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 个部分. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明． 【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例4】（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 2．（2024高三·全国·专题练习）平面的基本事实的推论 ①推论1：经过一条直线与直线外 ，有且只有一个平面. ②推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面. ③推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例5】（22-23高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 1．（22-23高一下·山东烟台·期末）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间中的4个点最多能确定 个平面. 3．（21-22高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·四川达州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 2．（24-25高二上·辽宁·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例7】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 1．（22-23高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 2．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例8】（22-23高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 2．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是 ． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例9】（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例10】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·全国·课后作业）设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（    ） A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 2．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 3．（22-23高二·全国·课后作业）已知AC的长为定值，点B是直线AC外一点，平面ABC，点M､N分别是和的重心，则当点B和D的位置变化时，线段MN的长是否为定值？请说明理由. 【经典例题十一 异面直线的概念及辨析】 【例11】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）观察你所在的教室． (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 【经典例题十二 异面直线的判定】 【例12】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 2．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）若直线，为异面直线，、为直线上相异两点，、为直线上相异两点，则直线、直线的位置关系是 . 3．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【经典例题十三 求异面直线的距离】 【例13】（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 3．（22-23高一·全国·课后作业）所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 【经典例题十四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例14】（23-24高一下·江苏南京·期末）异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（22-23高一下·山西朔州·期末）设、、是直线，则（    ） A．若，，则 B．若与所成的角等于与所成的角，则 C．若，，则 D．若，则与、与所成的角相等 2．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点P在平面内且不在对角线上，过点P在平面内作一直线m，使与直线的夹角为，且.这样的直线可作 条. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知异面直线所成的角为为空间一定点，求经过点且与所成的角都是的直线的条数． 【经典例题十五 证明异面直线垂直】 【例15】（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 1．（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【经典例题十六 求异面直线所成的角】 【例16】（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 【经典例题十七 由是面直线所成的角求其他量】 【例17】（23-24高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（    ） A．1 B． C．1或2 D．2或 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为 ． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【经典例题十八 判断图形中的线面关系】 【例18】（22-23高一下·浙江台州·阶段练习）“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（2024高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 2．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【经典例题十九 用定义证明线面关系】 【例19】（22-23高一·全国·课后作业）已知直线平面，直线，则（    ） A． B． C．异面 D．相交而不垂直 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知两条相交直线，平面，则b与的位置关系是（    ） A． B．或 C． D．b与相交或 2．（22-23高一下·湖南·阶段练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 3．（22-23高一·全国·课后作业）在正方体中作出与平面的交点． 【经典例题二十 线面关系有关命题的判断】 【例20】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（    ） ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知，是两个互相平行的平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 3．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若两直线a、b互相平行，则a平行于经过b的任何平面； (2)若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线； (3)若两直线a、b都与平面平行，则； (4)若直线a平行于平面，直线b在平面上，则或者a与b为异面直线. 【经典例题二十一 判断图形中的面面关系】 【例21】（23-24高二·上海·课堂例题）平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 1．（22-23高二上·吉林通化·期中）平面满足则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 2．（21-22高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系 . 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 【经典例题二十二 面面关系有关命题的判断】 【例22】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（2025·湖北·一模）已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n满足，，则“，平行”是“m，n不相交”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行：③垂直于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行：其中正确的命题是 （填序号） 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 1．（23-24高一下·福建泉州·期末）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·单元测试）设平面过正方体的顶点，且正方体的棱，，，在平面上的射影相等，那么满足条件的平面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    7．（24-25高二上·四川成都·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为 . 8．（2022高一·全国·专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面 ． ①若m⊥n，n∥α，则m⊥α ②若m∥β，β⊥α则m⊥α ③若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 9．（2024高三·全国·专题练习）设是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 .①；②是异面直线；③没有公共点；④与没有公共点；⑤. 10．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中： （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则且； （4）若，，，则， 所有真命题的序号是 . 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 12．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    13．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 14．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本图形位置关系重难点题型专训（22大题型+15道提优训练） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 异面直线的概念及辨析 题型十二 异面直线的判定 题型十三 求异面直线的距离 题型十四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型十五 证明异面直线垂直 题型十六 求异面直线所成的角 题型十七 由异面直线所成的角求其他量 题型十八 判断图形中的线面关系 题型十九 用定义证明线面关系 题型二十 线面关系有关命题的判断 题型二十一 判断图形中的面面关系 题型二十二 面面关系有关命题的判断 知识点一 平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 知识点二 三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 知识点三 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 知识点四 平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点五 异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. (4)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 知识点六 空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 知识点七 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 a 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 知识点八 空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)两种位置关系 平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可. 【详解】因为直线和平面都是由点形成的， 所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为， 根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为. 故选：B 1．（23-24高二下·重庆合川·开学考试）下面表述与结论都正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据点在线上，；线在平面内，；点在平面内，，和公理1依次判断可得答案． 【详解】解：对，，，所以直线在平面内，即，故错误； 对，直线在平面内，应为，故错误； 对，，，，故正确； 对，，，有可能，故错误． 故选：． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·全国·课后作业）用符号表示下列语句： (1)点A在直线l上，l在平面内； (2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内； (3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外； (4)直线l经过平面外一点M． 【答案】(1)； (2)平面平面=直线l，直线m平面； (3)点A平面，点A直线l，直线l平面； (4)点M平面，点M直线l. 【分析】利用点与直线、点与平面、直线与平面的关系直接求解. 【详解】（1）点A在直线l上，l在平面内，记为：； （2）平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内， 记为：平面平面=直线l，直线m平面； （3）点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面内外， 记为：点A平面，点A直线l，直线l平面； （4）直线l经过平面外一点M， 记为：点M平面，点M直线l. 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照画法原则进行判断即可. 【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 2．（22-23高二·全国·课后作业）看图填空： （1）直线直线 . （2）平面平面 . （3）平面平面 . （4）平面平面 . （5）平面平面平面 . （6）直线直线直线 . 【答案】 直线 直线 直线 【分析】根据图形直接判断即可. 【详解】（1）与交于点，直线直线； （2）平面与平面的交线为，平面平面直线； （3）平面与平面的交线为，平面平面直线； （4）平面与平面的交线为，平面平面直线； （5）平面，平面，平面的公共点是， 平面平面平面； （6）直线，直线，直线的交点为，直线直线直线. 故答案为：；直线；直线；直线；；. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【答案】答案见解析 【分析】用平行四边形代表平面，先画两互相平行的平行四边形，再画第三个平行四边形与这两个平行四边形均相交即可. 【详解】如图，是三个不同的平面，为不同的直线， 其中∥，    【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例3】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 1．（22-23高一下·全国·课后作业）空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 【答案】B 【分析】将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可. 【详解】空间不重合的三个平面， 若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分； 若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分. 所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.              故选：B. 2．（24-25高二上·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 个部分. 【答案】4 【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间最多分成 4个部分. 故答案为：4． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明． 【答案】见解析 【分析】根据题意分析3个平面之间的平行、相交关系分析即可. 【详解】3个平面把空间分成4部分，则这3个平面需要平行；    3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面相交于一条直线或其中2个平面平行与第3个平面相交.      【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例4】（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）平面的基本事实的推论 ①推论1：经过一条直线与直线外 ，有且只有一个平面. ②推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面. ③推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面. 【答案】 一点 相交 平行 【分析】略 【详解】略 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC； （2）延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线. 【详解】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图（1）. （2）延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图（2）. 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例5】（22-23高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 1．（22-23高一下·山东烟台·期末）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 【答案】C 【分析】根据平面的确定方法求解. 【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误； 对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误； 对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确； 对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误， 故选:C. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间中的4个点最多能确定 个平面. 【答案】4 【分析】空间中四点不共面时，确定的平面最多 【详解】当四个点构成四面体（三棱锥）时，确定的面数最多，共4个面． 故答案为：4 3．（21-22高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【答案】20 【分析】根据题意可得，这6个点中任意三点均可确定一个平面，再将所有可能的情况列举求解即可 【详解】由题意，设内的三点为，内的三点为，根据题意可得，6个点中任意三点均可确定一个平面，故一共可由共20个不同的平面 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 1．（24-25高二上·四川达州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误； 对于B，空间四边形不是平面图形，B错误； 对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确； 对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用及相似三角形，证得，由得到，，推出即得. 【详解】 如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题. 解题的关键在于先由，通过两个平面的相交，证明点在交线上，从而确定点的位置. 3．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例7】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 1．（22-23高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【详解】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例8】（22-23高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【分析】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面，再由公理1，3可得的位置． 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】由题意作出图形，并连接，结合已知条件容易证明四边形为等腰梯形，从而由等腰梯形的性质即可求解. 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是 ． 【答案】或 【分析】分别讨论点在上，和外两种情况，即可判断. 【详解】若点是和直线的交点，则，若点在外且，则 故答案为：或 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例9】（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化成点到直线上的点的距离垂线段最短解决. 【详解】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 1．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中点，连接、、，则五边形为过点的截面，再计算截面周长即可. 【详解】如图取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、， 则，又且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接、、， 同理可证，，，所以， 所以四点共面； 所以五点共面； 又，，， 所以截面周长为. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例10】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球相关知识，即可判断． 【详解】考虑平面上个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 若平面内个点两两距离相等，则其中有三个点、、构成等边三角形， 第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心， 则，易知，则，矛盾， 当时，也不成立； 在空间中，个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 当时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等， 必为正四面体的外接球的球心， 将棱长为的正四面体置于正方体中，则正方体的棱长为， 正四面体的外接圆半径为，矛盾， 同理时不成立． 故选：C． 1．（22-23高一下·全国·课后作业）设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（    ） A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 【答案】D 【分析】过点X作直线，构造三角形证明点X到平面、的距离相等可知. 【详解】过点X作直线，记，与所确定的平面为. 因为，， 所以，所以， 又，，所以，所以， 因为X为PQ的中点，所以，所以， 所以，即X在到平面、的距离相等的平面上. 故选：D    2．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【答案】2 【分析】延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 【详解】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以.    故答案为： 3．（22-23高二·全国·课后作业）已知AC的长为定值，点B是直线AC外一点，平面ABC，点M､N分别是和的重心，则当点B和D的位置变化时，线段MN的长是否为定值？请说明理由. 【答案】是定值，理由见解析. 【分析】延长DM交AB于点E，延长DN交BC于点F，连接EF.由三角形重心的性质可得且，由此可得结论. 【详解】解：如图，延长DM交AB于点E，延长DN交BC于点F，连接EF. 因为M､N为重心，所以E､F分别为AB､BC的中点， 所以且. 又中，，得且， 所以且， 即MN的长是与点B､D位置无关的定值. 【经典例题十一 异面直线的概念及辨析】 【例11】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【答案】6 【分析】根据异面直线定义分别列举即可求得答案. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条， 与直线异面的棱有，共6条. 故答案为：6 3．（24-25高一下·全国·课前预习）观察你所在的教室． (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 【答案】(1)（1）平行． (2)既不是平行直线，也不是相交直线． 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可求解. 【详解】（1）平行 （2）既不是平行直线，也不是相交直线． 【经典例题十二 异面直线的判定】 【例12】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【分析】根据新定义、异面直线的定义判断即可. 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）若直线，为异面直线，、为直线上相异两点，、为直线上相异两点，则直线、直线的位置关系是 . 【答案】异面 【分析】利用反证法，即可判断. 【详解】若，不是异面直线，则，是共面直线， 则四点共面，所以，是共面直线， 这与，是异面直线相矛盾，所以，是异面直线. 故答案为：异面 3．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 【经典例题十三 求异面直线的距离】 【例13】（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解. 【详解】由题意，根据异面直线的性质可得，两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由题意三棱锥的对棱相等，可构造长方体使三棱锥的棱长为长方体的面对角线，求出长方体棱长，再当分别为两条棱的中点时，最小，求出即可； 【详解】 由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的长宽高分别为， 则，解得， 由于对棱为异面直线，所以为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当分别为两条棱的中点时最小， 此时， 故选：A. 2．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，证得EF为异面直线AB和CD的公垂线求解. 【详解】如图所示： 分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF， 因为， 所以， 又因为E为中点， 所以，同理， 所以EF为异面直线AB和CD的公垂线， 所以， 故答案为： 3．（22-23高一·全国·课后作业）所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 【答案】取AB中点，中点，则为公垂线， 【分析】取中点，中点，连接，证明是与的公垂线，求出线段的长即得． 【详解】如图，取中点，中点，连接， 由已知，∴，同理， 所以是与的公垂线，与的距离即为线段的长． 且， 所以与的距离即为． 【经典例题十四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例14】（23-24高一下·江苏南京·期末）异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 1．（22-23高一下·山西朔州·期末）设、、是直线，则（    ） A．若，，则 B．若与所成的角等于与所成的角，则 C．若，，则 D．若，则与、与所成的角相等 【答案】D 【分析】根据各选项中的条件判断线线位置关系，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，则与平行、异面或相交，A错； 对于B选项，若与所成的角等于与所成的角，则与平行、异面或相交，B错； 对于C选项，若，，则与平行、异面或相交，C错； 对于D选项，若，则与、与所成的角相等，D对. 故选：D. 2．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点P在平面内且不在对角线上，过点P在平面内作一直线m，使与直线的夹角为，且.这样的直线可作 条. 【答案】2 【分析】 在平面内作m，使m与的夹角为，再利用直线的位置关系即可判断. 【详解】 在平面内作m，使m与的夹角为. ，∴直线m与BD也成角，即m为所求. 且m与BD是异面直线，当时，m只有1条，当时，这样的直线有2条. 故答案为：2. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知异面直线所成的角为为空间一定点，求经过点且与所成的角都是的直线的条数． 【答案】答案见解析 【分析】过上任一点作的平行线，再分别讨论与的关系，结合的大小关系讨论即可. 【详解】如图（4），过上任一点作的平行线，不妨设不在相交直线所确定的平面内，则过点与所成角都为的直线的条数与过点和所成角都为的直线条数相同，记，则． （1）当时，由于过与所成的相等的角，与所成的相等的角，故这时不存在符合题意的直线，即． （2）当或时，显然有． （3）当时，过点有两条直线分别与及所成角相等，故这时． （4）当时，故． （5）当时，因，从而过点有一条直线与都成，再结合情形（3），可得． （6）当时，仿情形（3）可知这时． 【经典例题十五 证明异面直线垂直】 【例15】（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 1．（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。 【详解】取的中点，连接， ∵平面， ∴为在平面内的投影， 又，∴， 由三垂线定理得，， 又，∴. 故答案为:    3．（2023高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】取BC中点为G，连接DG，AG，通过证明，结合可证明结论； 【详解】取BC中点为G，连接DG，AG． 因分别为中点，则． 则四边形是平行四边形，故． 因为，则，所以. 【经典例题十六 求异面直线所成的角】 【例16】（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 1．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角是异面直线与所成角， 设正方体棱长为2，则， 在等腰中，是中点，所以， 所以， 即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】利用异面直线夹角的定义求出余弦值. 【详解】正方体中，，则是异面直线与所成角或其补角， 在中，，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 【答案】 【分析】由题意知，则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理计算夹角即可求解． 【详解】由题意知，则异面直线与所成角即为， 又， 在中，又， ， ． 则异面直线与所成角的大小为． 【经典例题十七 由是面直线所成的角求其他量】 【例17】（23-24高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接. 因为，所以与所成的角为（或其补角）. 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 1．（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（    ） A．1 B． C．1或2 D．2或 【答案】D 【分析】过点作平面于点，则是母线，则或，分类讨论即可求解. 【详解】如图，过点作平面于点，则是母线， 连接底面，， 则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，， 在中，； 当时，在中，， 在中，． 综上，或. 故选：D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】将异面直线与所成的角转化成或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点E，连接. 因为M，N分别是的中点， 所以且，且， 从而（或其补角）即为与所成的角． 又异面直线与所成的角为，所以或， 当时，由余弦定理可知 . 当时，由余弦定理可知 . 故答案为：或. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【分析】根据线线平行可证四边形是平行四边形，即可利用线线角求解. 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 【经典例题十八 判断图形中的线面关系】 【例18】（22-23高一下·浙江台州·阶段练习）“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用集合中对应的符号正确表示即可. 【详解】点在平面上，可表示为：. 直线与相交于点，可表示为：. 所以“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为：，. 故选：    A 1．（2024高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 【答案】D 【分析】假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m∥n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案． 【详解】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l＝O 过O在β内作直线c⊥l，如图所示 因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m 又因为m⊥n，c∩n＝O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l 这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立 所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直； ②假设m∥n，则m∥β，m⊂α，α∩β＝l 所以m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾 故假设不成立，所以m与n不平行． 综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行． 故选：D． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于采用反证法，结合直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，得出的位置关系. 2．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论. 【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或. 故答案为：或. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【答案】作图见解析 【分析】把问题转化成平面平面，再利用即为所求． 【详解】连接，连接延长与相交于，连接交于，再连接交于点，即为所求，如下图： 【经典例题十九 用定义证明线面关系】 【例19】（22-23高一·全国·课后作业）已知直线平面，直线，则（    ） A． B． C．异面 D．相交而不垂直 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义得解. 【详解】由线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线， 因此 故选:A 【点睛】本题考查线面垂直的定义，属于基础题. 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知两条相交直线，平面，则b与的位置关系是（    ） A． B．或 C． D．b与相交或 【答案】D 【解析】设直线相交则可确定一个平面,再由与的关系,判定与的关系. 【详解】解:直线相交则可确定一个平面，若与平行，则；若与不平行，则与相交. 故选: 【点睛】本题考查线面关系的判定，属于基础题. 2．（22-23高一下·湖南·阶段练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 【答案】BD 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 3．（22-23高一·全国·课后作业）在正方体中作出与平面的交点． 【答案】答案见解析 【分析】连、交于，连与交于，即为与平面的交点. 【详解】 连、交于，连与交于．即为所求交点． 证明如下：因为，，平面， 所以平面，所以与平面的交点为. 【经典例题二十 线面关系有关命题的判断】 【例20】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（    ） ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】运用直线与平面位置关系辨析即可. 【详解】如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错误； 如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确； 对于③显然有无数条所以③正确； 而④，也有可能相交，所以④错误. 故选：B 1．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知，是两个互相平行的平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间线面位置关系的有关判定、性质定理，可得正确结论. 【详解】因为，，所以. 又，，所以，， ，平行或异面. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 【答案】④⑥ 【分析】借助垂直与平行的性质逐项分析即可得. 【详解】由，，则，故①错，④对； 由，，则，故③错，⑥对； 可能垂直，也可能平行，故②、⑤错. 故答案为：④⑥. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若两直线a、b互相平行，则a平行于经过b的任何平面； (2)若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线； (3)若两直线a、b都与平面平行，则； (4)若直线a平行于平面，直线b在平面上，则或者a与b为异面直线. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)真命题，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断即可得解. 【详解】（1）假命题，理由如下： 若两直线a、b互相平行，则与经过的平面平行或在经过的平面内. （2）假命题，理由如下： 若直线与平面平行，则与内的任何平行或异面， （3）假命题，理由如下： 若两直线a、b都与平面平行，则直线与相交、平行或异面； （4）真命题，理由如下： 若直线平行于平面，则直线与没有公共点， 又直线在平面内，所以与不可能相交，故与平行或者与异面. 【经典例题二十一 判断图形中的面面关系】 【例21】（23-24高二·上海·课堂例题）平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【答案】C 【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案. 【详解】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C.    1．（22-23高二上·吉林通化·期中）平面满足则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【答案】C 【解析】根据平面与平面间的位置关系判断． 【详解】例如正方体的四个侧面都与底面垂直，它们之间有平行有相交． 故选：C． 2．（21-22高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系 . 【答案】相交 【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可. 【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合， 所以面与面的位置关系是相交. 故答案为：相交 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 【答案】(1)相交 (2)相交 (3)平行 (4)平行 (5)相交 【分析】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可. 【详解】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交. （2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交. （3）由正方体的结构特征得平面平面，， 所以所在的直线与平面平行. （4）由正方体的结构特征得平面平面， 所以平面与平面平行. （5）由正方体的结构特征得平面平面， 而平面平面， 所以平面与平面相交. 【经典例题二十二 面面关系有关命题的判断】 【例22】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线线、线面、面面位置关系的有关知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，若，则m，n可能平行或异面，所以A错误； 对于B选项，若，则m垂直于内的任意直线，，所以B正确； 对于C选项，若，则m，n可能平行或相交或异面，所以C错误； 对于D选项，若，则或，所以D错误. 故选：B 1．（2025·湖北·一模）已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n满足，，则“，平行”是“m，n不相交”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接分析，由当，平行时，直线m，n无公共点，则m，n不相交，可得充分性，当m，n不相交时，若， ，则满足题设条件，但不能推出，平行，说明直线m，n不相交不能推出，平行. 【详解】当，平行时，由，可知直线m，n无公共点，则m，n不相交，故为充分条件； 当m，n不相交时，满足，，，，则满足题设条件，但不能推出，平行，说明直线m，n不相交不能推出，平行； 故选：B. 2．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行：③垂直于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行：其中正确的命题是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】①由直线与平面垂直的性质得： 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故①正确； ②由直线与平面垂直的性质定理得： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故②正确； ③由直线与平面垂直的性质得垂直于同一个平面的两条直线平行，故③正确； ④平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故④错误. 故答案为：①②③. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1）   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. （2）   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 1．（23-24高一下·福建泉州·期末）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意画出截面，再根据正方形的棱长以及梯形的面积公式即可求解. 【详解】解：如图所示： 延长交于点， 则，即为中点， 连接，取中点，连接， 则， ，，，四点共面， ，，， 截面如图所示： 在中，边上的高， 记边上的高为， 则， ， 则所截得的截面面积为：. 故选：D. 2．（23-24高一·全国·单元测试）设平面过正方体的顶点，且正方体的棱，，，在平面上的射影相等，那么满足条件的平面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】将棱，，，在平面上的射影相等，转化为棱，，在平面上的射影相等，即棱，，与平面所成的角相等，再分情况讨论即可. 【详解】解：棱，，，在平面上的射影相等，即棱，，在平面上的射影相等，即棱，，与平面所成的角相等， ①若三条棱在平面的同侧，这样的平面有一个， ②若其中一条和另外两条分别在平面的异侧，这样的平面有三个，故满足条件的平面的个数为4个. 故选：B. 【点睛】本题考查平面个数问题，解题的关键是由题推出棱，，与平面所成的角相等，由此讨论求解. 3．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化成点到直线上的点的距离垂线段最短解决. 【详解】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 4．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 5．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】直线平面，则， 充分性满足， 但时，与可能相交，必要性不满足，因此是充分不必要条件， 故选：B． 6．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      7．（24-25高二上·四川成都·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为 . 【答案】12或 【分析】根据题意，画出相应示意图，且，，，则，，分两种情况求对应线段AB的长. 【详解】由题意，有如下两种情况，且，，，则，， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 所以线段AB的长为12或. 故答案为：12或 8．（2022高一·全国·专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面 ． ①若m⊥n，n∥α，则m⊥α ②若m∥β，β⊥α则m⊥α ③若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 【答案】③ 【分析】由线面的位置关系及性质进行判断求解. 【详解】选项①，②，④中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内， 对于选项③，因为m⊥β，n⊥β，所以，又n⊥α，则m⊥α，故③正确. 故答案为：③ 9．（2024高三·全国·专题练习）设是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 .①；②是异面直线；③没有公共点；④与没有公共点；⑤. 【答案】③（或④） 【分析】由线面位置关系逐一判断即可. 【详解】由，可得，可能平行，也可能是异面直线； ，没有公共点；与没有公共点；与可能平行，也可能相交.故一定正确的结论序号为③④. 故答案为：③（或④） 10．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中： （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则且； （4）若，，，则， 所有真命题的序号是 . 【答案】（3）（4） 【分析】根据直线、平面间的位置关系判断（1）（2），由面面垂直的性质定理与判定定理判断（3）（4）． 【详解】（1）缺少条件直线m需要属于平面，（1）错误； （2）两直线还可以是异面，故（2）错误； （3），，，所以且．（3）正确； （4）设，，过在平面内作直线,在平面内作直线，由面面垂直的性质定理知，又过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条，所以重合，而，则重合，所以，（4）正确． 故答案为：（3）（4） 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论； 【详解】在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 12．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 13．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 14．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过直角三角形和等边三角形的性质，求出，即可证明. （2）取中点，连接,将异面直线与所成角变为与所成的角，利用余弦定理即可求解. （3）根据第二问的求解过程，表示出EF，即可求解. 【详解】（1）设，取中点，连接，， 为等边三角形，为中点， ， 在中，为中点，， 在中，， ， 在中，， . （2）设，取中点，连接，， 取中点，连接，由（1）得，， 在中，为中点， 且， 故异面直线与所成角为与所成的角， 在中，, , 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设,， 异面直线与所成角的余弦值为 由（2）可知， ，故， 在中，， ，故. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1）   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. （2）   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$