精品解析：江苏省徐州市铜山区2024-2025学年高一下学期期中学情调研数学试题

2024~2025学年度第二学期期中学情调研 高一数学试题 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数的最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 记的面积为，角的对边分别为，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在复数范围内，下列命题正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为3 D. 若，则 10. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点为对称 B. 在区间单调递增 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与的图象在上有两个不同的交点 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则_______． 13. 若，则_______． 14. 在等腰中，，在内一点满足，则的值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 16. 已知． （1）求的值； （2）求的大小． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的周长为9，点是边的中点，求线段的长． 18. 如图，某学校有一块边长为的正方形实验田用地，在此正方形的边、上分别取点、（均不与正方形的顶点重合），用栅栏连接、、，设，，. （1）当，时，求所用栅栏的总长度； （2）当时，在内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值； 19. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． （1）试用表示； （2）求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中学情调研 高一数学试题 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：D. 2. 已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而得答案． 【详解】, , 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选A． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3. 已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 4. 在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 在平行四边形中，，，则，， 故. 故选：C. 5. 下列函数的最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简各选项中函数的解析式，再结合三角函数的周期公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，该函数的最小正周期为，A不满足要求； 对于B选项，， 该函数的最小正周期为，B不满足要求； 对于C选项，， 该函数的最小正周期为，C满足要求； 对于D选项，， 该函数的最小正周期为，D不满足要求. 故选：C. 6. 已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由确定，根据正弦函数的零点列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由，可得， 由于函数在上有且只有一个零点， 故，解得， 故选：B 7. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系求出，根据两角和正弦公式结合题意求出，继而求得，再利用二倍角公式即可求得答案. 【详解】由于为锐角，则 由，得， 即，结合， 可得， 故， 故， 故选：D 8. 记的面积为，角的对边分别为，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理和三角形的面积公式可得，分别求出两部分的值域知，即可知的形状. 【详解】由余弦定理可知：， 所以， 所以， 所以， 因为，当且仅当时取等， 又因为的最大值为， 所以此时， 所以，此时， 所以的形状是钝角三角形. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在复数范围内，下列命题正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为3 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取特值可判断AD；设，，由可得或，由此可判断B；由复数模的几何意义可判断C. 【详解】对于A，若，设，，， 所以， 若，，则，不为纯虚数，故A错误； 对于B，设，，则， 若，则，，解得：，即或， 所以，故B正确， 对于C，表示复数在复平面上对应的点到的距离为， 即以为圆心，为半径的圆，表示点到原点的距离， 圆心到原点的距离为，所以的最大值为，故C正确； 对于D，取，，，， 满足，但，故D错误. 故选：BC. 10. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点为对称 B. 在区间单调递增 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与的图象在上有两个不同的交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算可判断A；求出的单调递增区间可判断B；求出与的对称轴可判断C；画出画出与在的图象可判断D. 【详解】对于A，因为， 故的图象关于点为对称，故A正确； 对于B，令，， 所以，， 令，则，而，故B正确； 对于C，令，解得：， 的对称轴为， 令，解得：， 的对称轴为， 令，则， 则，故与的图象没有相同的对称轴，故C错误； 对于D，画出与在的图象，如下图， 可知与的图象在上有两个不同的交点，故D正确. 令 故选：ABD. 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案. 【详解】由题意知是关于的方程的一个根， 则是该方程的另一个根，则， 即，则， 故答案为：1 13. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 14. 在等腰中，，在内一点满足，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，继而利用三角形相似求出,设，，在和中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求出t的值，即可求得答案. 【详解】在等腰中，, 则， 即，设，则； ，结合知, 可得，则∽， 故，而，， 故, 设，在和中，利用余弦定理可得： ，, 即，， 两式相减，则， 在中，利用余弦定理可得：, 即， 即得，则， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先求出，，由平行向量的坐标表示求出，再由模长公式求解即可； （2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案. 【详解】（1）因为， 且与平行， 所以，解得， 所以， 所以． （2）已知与的夹角为， 所以， 因为与垂直， 所以 所以． 16. 已知． （1）求的值； （2）求的大小． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出、，从而求出、，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）首先求出，再由及两角和的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为，所以，解得（负值舍去）； 所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 又因为，所以． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的周长为9，点是边的中点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出答案； （2）由点是的中点可得，对其两边平方则，再由余弦定理可得，两式联立结合的周长，即可求出，进而求出线段的长． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得 所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为点是的中点，所以， 所以 在中， 由余弦定理得， 所以， 所以 又因为的周长为，所以 所以，所以，所以， 所以，所以． 18. 如图，某学校有一块边长为的正方形实验田用地，在此正方形的边、上分别取点、（均不与正方形的顶点重合），用栅栏连接、、，设，，. （1）当，时，求所用栅栏的总长度； （2）当时，在内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值； 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）在、中，分别求出、的长，然后在中利用余弦定理求出的长，可求出的周长，即为所求； （2）求得，，利用三角形的面积公式得出，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质求出的最大值，即可得出面积的最小值. 【小问1详解】 因为，，则， 在中，， 因为， 在中，， 所以在中由余弦定理得 所以， 所以， 所以栅栏总长度为米． 【小问2详解】 在中，，在中，， 所以的面积， ， 因为，所以， 当即时，取得最大值， 此时的面积的最小值为， 所以植蔬菜的区域面积的最小值为平方米． 19. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． （1）试用表示； （2）求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为且，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 因为，所以 令，因为，所以，取 所以， 由（1），得 又因为，所以 所以， 所以 所以 . 故. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式可证明三倍角公式； （2）利用（1）的结果可得，故可求的值； （3）令，结合（1）中恒等式对方程变形可得，故可求原方程的解，结合三角变换公式可证. 【小问1详解】 【小问2详解】 由（1）得， 而，所以， 所以，即， 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $