第12课 平行四边形及其性质-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第12课 平行线四边形及其性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解平行四边形的概念.会用符号表示平行四边形. 2.理解“平行四边形的对角相等”“平行四边形的对边相等”的性质，并能应用这些性质. 3.了解平行四边形的不稳定性及其实际应用. 4.掌握平行线的“夹在两条平行线间的平行线段相等”“夹在两条平行线间的垂线段相等”的性质. 5.了解两条平行线间的距离的意义，能度量两条平行线间的距离.能运用两条平行线间的距离的意义 解决一些简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行四边形及其性质 1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边平行且相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。 4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。 　　 ( 能力拓展 )考点01 平行四边形及其性质 【典例1】已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点．过点O的直线与AD的延长线和CB延长线分别相交于点E，F．求证：DE＝BF． 【思路点拨】证明△AOE≌△COF（AAS），推出AE＝CF可得结论． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF，AD＝BC，OA＝OC， ∴∠E＝∠F， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴DE＝BF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，点E，F在对角线AC上，BE∥DF，BD平分∠EBC． （1）若∠BAD＝100°，∠ABE＝20°，求∠ADB的度数； （2）若AE＝2，OF＝3，求AC的长． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质求出∠ABC，然后可得∠EBC的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBD，最后利用平行线的性质得出答案； （2）根据平行线的性质可得∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO，证明△BOE≌△DOF（AAS），可得OE＝OF＝3，求出AO，然后根据平行四边形的性质可得答案． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°， ∵∠ABE＝20°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝80°﹣20°＝60°， ∵BD平分∠EBC， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝30°； （2）∵BE∥DF， ∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF＝3， ∴AO＝AE+OE＝2+3＝5， ∴AC＝2AO＝10． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，难度适中，利用AAS证明△BOE≌△DOF是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝80°，则∠A等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．140° 【思路点拨】根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【解析】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D＝80°， ∴∠B＝∠D，AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∴2∠D＝80°， ∴∠D＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠D＝140°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的两个对角相等，邻角互补是解题的关键． 2．如图，在▱ABCD中，下列性质一定正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC≠∠ADC C．BC＝CD D．∠BCD+∠ADC＝180° 【思路点拨】利用平行四边形的性质以及平行线的性质判断即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BCD+∠ADC＝180°． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 3．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AB＝8cm，AD＝10cm，△AOD与△AOB的周长差为（　　）cm． A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】利用平行四边形的对角线互相平分这一性质，确定已知条件中两三角形周长的差也是平行四边形两邻边边长的差，即可求解． 【解析】解：∵在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝8cm，AD＝10cm， ∴OB＝OD． ∴△AOD与△AOB的周长差＝OA+OD+AD﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝2cm， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的角平分线互相平分是解决问题的关键． 4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【思路点拨】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解析】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（　　） A．75° B．53° C．85° D．90° 【思路点拨】根据平行线的性质求出∠OCB＝55°，再根据三角形外角的性质可得结论． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠ACD＝80°， ∵∠BAD＝135°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝135°﹣80°＝55°， ∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠CAD＝55°， ∵∠CBD＝20°， ∴∠COD＝∠CBD+∠BCA＝20°+55°＝75°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质是解题的关键． 6．如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F，若AD＝3，AB＝5，则CF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据角平分线的定义及平行四边形的性质可知△EDA、△FEC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【解析】解：∵AF是∠DAB的平分线， ∴∠DAF＝∠FAB， ∵在▱ABCD中， ∴AD∥BC，CD∥AB，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠BFA＝∠DAF＝∠FAB＝∠DEA， ∵∠DEA＝∠FEC， ∴∠BFA＝∠DAF＝∠FAB＝∠DEA＝∠FEC， ∴△EDA、△FEC是等腰三角形， ∴DE＝DA，CF＝CE， ∵AD＝3，AB＝5， ∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7．如图，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【思路点拨】利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【解析】解：∵AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线， ∴∠DAE＝∠EAB，∠CBE＝∠ABE， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA＝180°， ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∵AE＝3，BE＝2， ∴S△ABE＝×2×3＝3， ∴平行四边形ABCD的面积为：6． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质，得出S△ABE是解题关键． 8．平行四边形ABCD中，∠C：∠D＝5：4，则∠B的度数为　80°　 ． 【思路点拨】由四边形ABCD为平行四边形得AB∥CD，∠B＝∠D，根据平行线的性质可得∠C+∠D＝180°，再由∠C：∠D＝5：4即可求解． 【解析】解：∵AB∥CD，∠B＝∠D， ∴∠C+∠D＝180°， ∵∠C：∠D＝5：4， ∴， ∴∠B＝∠D＝80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 9．如图，在▱ABCD中，BC＝7，AB＝4．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC边于M，N两点；分别以点M，N为圆心，大于MN的一半长为半径画弧，两弧交于点P；画射线BP交AD于点E，则DE的长为　3　 ． 【思路点拨】先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝7，再利用基本作图得到由得BE平分∠ABC，则∠ABE＝∠CBE，再根据等腰三角形的判定及线段的和差求解即可． 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝7， ∴∠AEB＝∠CBE， 由作法得BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE＝4， ∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图、平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 10．如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为　16cm　 ． 【思路点拨】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD＝AB，求出AD+AB＝11cm，再结合BD＝5cm即可解答． 【解析】解：∵平行四边形ABCD的周长为22cm， ∴AD＝BC，CD＝AB，AD+AB+BC+CD＝22cm， ∴AD+AB＝11cm， ∵AC，BD相交于点O且BD为5cm， ∴△ABD的周长为：AD+AB+BD＝11+5＝16（cm）， 故答案为：16cm． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等． 11．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，点F为线段DE上一点，且∠AFD＝∠C．求证：AF＝DC． 【思路点拨】由平行四边形的性质推出AD∥BC，得到∠ADF＝∠CED，由AAS推出△FDA≌△CED． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CED， 在△FDA和△CED中， ， ∴△FDA≌△CED（AAS）， ∴AF＝CD． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出△FDA≌△CED（AAS）． 12．如图，在▱ABCD中，DM⊥AC，BN⊥AC，垂足为M，N． （1）求证：AM＝CN； （2）若∠CDA＝120°，∠ABN＝70°，求∠ACB的度数． 【思路点拨】（1）根据已知条件证明△DAM≌△BCN（AAS），根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得∠ABC＝∠CDA＝120°，进而根据三角形内角和定理可得∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝40°． 【解析】（1）证明：∵▱ABCD中，DM⊥AC，BN⊥AC， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠AMD＝∠CNB， ∴∠DAM＝∠BCN， 在△DAM与△BCN中， ， ∴△DAM≌△BCN（AAS）， ∴AM＝CN； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠CDA＝120°， ∴∠ABC＝∠CDA＝120°， ∵∠ABN＝70°， ∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝40°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD＝10，BD＝12，求AC的长． 【思路点拨】根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD＝6，AC＝2AO， ∵AB＝AD， ∴AO⊥BD， ∴AO＝＝＝8， ∴AC＝2AO＝16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 题组B 能力提升练 14．如图，▱ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC＝90°，且AC：BD＝2：3，若▱ABCD的面积为，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【思路点拨】根据平行四边形的性质可得AC＝2AO，BD＝2OB，设OA＝2x，OB＝3x，根据勾股定理可得AB＝x，然后根据平行四边形的性质即可解决问题． 【解析】解：如图，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2OB， ∵AC：BD＝2：3， ∴OA：OB＝2：3， 设OA＝2x，OB＝3x， ∵∠BAC＝90°， ∴AB＝＝x，AC＝4x， ∵平行四边形ABCD的面积为16， ∴AC•AB＝16， ∴4x•x＝16， ∴x＝2（负值舍去）， ∴AB＝x＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 15．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　） A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm 【思路点拨】由平行四边形的对角线互相平分，可分别求得OB与OC的长，然后由三角形三边关系判定能否组成三角形，继而可求得答案． 【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，如图， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， A、若BD＝6cm，AC＝4cm， 则OB＝3cm，OC＝2cm， ∵OB+OC＝5cm＜10cm， ∴不能组成三角形， 故本选项错误； B、若BD＝8cm，AC＝6cm， 则OB＝4cm，OC＝3cm， ∵OB+OC＝7cm＜10cm， ∴不能组成三角形， 故本选项错误； C、若BD＝10cm，AC＝8cm， 则OB＝5cm，OC＝4cm， ∵OB+OC＝9cm＜10cm， ∴不能组成三角形， 故本选项错误； D、若BD＝12cm，AC＝10cm， 则OB＝6cm，OC＝5cm， ∵OB+OC＝11cm＞10cm， ∴能组成三角形， 故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想解决问题． 16．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（　　） A．3 B．5 C．2 D． 【思路点拨】根据平行四边形的性质和△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，可证明OE是线段AC的中垂线，根据勾股定理即可求出EO的长． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC、BD互相平分， ∴O是AC的中点． ∴OA＝OC＝AC＝3， ∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半， ∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD， ∴CE+DE＝AD， ∵AE+DE＝AD， ∴AE＝CE， ∴OE是线段AC的中垂线， ∴OE⊥BD， ∵AE＝EC＝4，OA＝3， ∴EO＝＝＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 17．如图，P为▱ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H四点，连结AP，FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 【思路点拨】由平行四边形的性质得CD∥AB，AD∥BC，因为EF∥AB，GH∥BC，所以EF∥CD，GH∥AD，则四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形，可证明△PFB≌△BGP，则S△PFB＝S△BGP，同理S△PHD＝S△DEP，S△CDB＝S△ABD，由S▱PFCH+S△PFB+SPHD＝S▱PEAG+S△BGP+S△DEP，得S▱PFCH＝S▱PEAG，则S△PFH＝S△APE＝2.5，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC， ∵EF∥AB，GH∥BC， ∴EF∥CD，GH∥AD， ∴四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形， ∵PG＝BF，BG＝PF，PB＝BP， ∴△PFB≌△BGP（SSS）， ∴S△PFB＝S△BGP， 同理S△PHD＝S△DEP，S△CDB＝S△ABD， ∴S▱PFCH+S△PFB+SPHD＝S▱PEAG+S△BGP+S△DEP， ∴S▱PFCH＝S▱PEAG， ∴S▱PFCH＝S▱PEAG， ∵S△PFH＝S△CHP＝S▱PFCH，S△APE＝S△PAG＝S▱PEAG， ∴S△PFH＝S△APE＝2.5， 故选：B． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形，并且推导出S▱PFCH＝S▱PEAG是解题的关键． 18．在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交边AD于E，且把AD分成3和2两部分，则▱ABCD的周长为 　14或16　 ． 【思路点拨】如图：由▱ABCD，根据平行四边形的对边相等且平行，可得AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，即可得∠AEB＝∠CBE，又因为BE是∠ABC的平分线，则∠ABE＝∠CBE，∠ABE＝∠AEB，故AB＝AE，∠ABC的平分线分对边AD为2和3两部分，所以AE可能等于3或等于2，然后即可得出答案． 【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵∠ABC的平分线分对边AD为3和2两部分， 如果AE＝2，则四边形周长为16； 如果AE＝3，则AB＝DC＝2，AD＝BC＝5， ∴▱ABCD的周长为14； ∴▱ABCD的周长为14或16． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现．解题时还要注意分类讨论思想的应用． 19．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　20　 ． 【思路点拨】作DG⊥BC，AH⊥BC，根据△DCE的面积为6，求出DG，根据两平行线间的距离相等得到AH的长，根据平行四边形的面积公式得到答案． 【解析】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∴AH＝DG， 又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，又BE＝8， ∴CE＝3，又△DCE的面积为6， ∴DG＝4， ∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 20．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 【思路点拨】（1）先由勾股定理可得，，再判定△DOF≌△BOE（ASA），即可得OE＝OF，进而得出EF的长； （2）过点F作FH⊥AB于点H，利用等面积即可得出高． 【解析】解：（1）∵EF⊥AC，AE＝13，OA＝12， ∴． ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OD＝OB，DC∥BA， ∴∠FDO＝∠EBO． 又∵∠FOD＝∠EOB， ∴△FDO≌△EBO（ASA）， ∴FO＝EO， ∴EF＝2EO＝10． （2）如图，过点F作FH⊥AB于点H， ∵， 即， ∴▱ABCD边AB上的高． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 21．如图1，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H． （1）求证：EG＝FH； （2）如图2，连接AC交EF于点O，写出图中四对全等三角形．（△BEG和△DFH除外） 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． （2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：在▱ABCD中， ∵AE∥CF， ∵∠E＝∠F， 又∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠GBE＝∠HDF， ∴在△EBG和△FDH中， ， ∴△EBG≌△FDH（ASA）， ∴EG＝FH； （2）解：在▱ABCD中， ∵AB＝CD，AD＝BC，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∵AB＝CD，BE＝DF， ∴AE＝CF， ∵∠E＝∠F，∠BAC＝∠DCA， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， 在▱ABCD中， ∵∠EAH＝∠FCG， 又∵AE＝CF，∠E＝∠F， ∴在△AEH和△CFG中， ， ∴△AEH≌△CFG（ASA）， ∴AH＝CG， 在▱ABCD中， ∵AH∥CG， ∵∠OAH＝∠OCG，∠OHA＝∠OGC， ∴在△AOH和△COG中， ， ∴△AOH≌△COG（ASA）， ∴四对全等三角形：△AEO≌△CFO、△AEH≌△CFG、△ABC≌△CDA、△AOH≌△COG． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 22．若以A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为　（﹣3，1）或点（1，﹣1）或点（3，1）　 【思路点拨】首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D的位置，进而可得答案． 【解析】解：如图， ∴点D坐标（﹣3，1）或点（1，﹣1）或点（3，1） 故答案为：（﹣3，1）或点（1，﹣1）或点（3，1）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 23．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有 　②④　 ． 【思路点拨】根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可对①进行判断；通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对②进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，可对④进行判断． 【解析】解：在△BEH和△DEC中， ， ∴△BEH≌△DEC（AAS）， ∴EH＝EC， ∵H不是DE的中点， ∴BE＝DE≠2EC，故①错误； ∵∠DBC＝45°，DE⊥BC， ∴△DEB是等腰直角三角形， ∴BE＝DE， ∵BF⊥CD， ∴∠FHD+∠FDH＝90°， ∵∠C+∠FDH＝90°， ∴∠C＝∠FHD， ∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE， ∴∠A＝∠BHE，故②正确； ∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE， ∵∠BDE＞∠HBE， ∴∠BDG＞∠BHD，故③错误； ∵△BEH≌△DEC，AB＝CD， ∴BH＝CD， ∴AB＝BH， ∵BF⊥CD， ∴BG⊥AB， ∴AB2+BG2＝AG2， ∴BH2+BG2＝AG2，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 24．如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G． （1）求证：△AGD≌△CEB； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若平行四边形ABCD的周长为48，EF＝8，求▱ABCD的面积． 【思路点拨】（1）由BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G，得∠ADG＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，由平行四边形的性质得∠ADC＝∠ABC，AD∥CB，AD＝CB，则∠ADG＝∠CBE，∠DAG＝∠BCE，即可根据“ASA”证明△AGD≌△CEB； （2）作EH⊥BC于点H，则EH＝EF＝8，由平行四边形ABCD的周长为48，得2AB+2BC＝48，则AB+BC＝24，所以S△ABC＝S△ABE+S△CBE＝×8（AB+BC）＝96，因为△ABC≌△CDA，所以S△ABC＝S△CDA＝96，则S▱ABCD＝S△ABC+S△CDA＝192． 【解析】（1）证明：∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G， ∴∠ADG＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB，AD＝CB， ∴∠ADG＝∠CBE，∠DAG＝∠BCE， 在△AGD和△CEB中， ， ∴△AGD≌△CEB（ASA）． （2）解：作EH⊥BC于点H， ∵BE分别平分∠ABC，EF⊥AB于点F， ∴EH＝EF＝8， ∵AB＝CD，BC＝DA，且平行四边形ABCD的周长为48， ∴2AB+2BC＝48， ∴AB+BC＝24， ∴S△ABC＝S△ABE+S△CBE＝AB•EF+BC•EH＝×8（AB+BC）＝×8×24＝96， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴S△ABC＝S△CDA＝96， ∴S▱ABCD＝S△ABC+S△CDA＝96+96＝192， ∴▱ABCD的面积是192． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12课 平行线四边形及其性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解平行四边形的概念.会用符号表示平行四边形. 2.理解“平行四边形的对角相等”“平行四边形的对边相等”的性质，并能应用这些性质. 3.了解平行四边形的不稳定性及其实际应用. 4.掌握平行线的“夹在两条平行线间的平行线段相等”“夹在两条平行线间的垂线段相等”的性质. 5.了解两条平行线间的距离的意义，能度量两条平行线间的距离.能运用两条平行线间的距离的意义 解决一些简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行四边形及其性质 1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边平行且相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。 4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。 　　 ( 能力拓展 )考点01 平行四边形及其性质 【典例1】已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点．过点O的直线与AD的延长线和CB延长线分别相交于点E，F．求证：DE＝BF． 【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，点E，F在对角线AC上，BE∥DF，BD平分∠EBC． （1）若∠BAD＝100°，∠ABE＝20°，求∠ADB的度数； （2）若AE＝2，OF＝3，求AC的长． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝80°，则∠A等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．140° 2．如图，在▱ABCD中，下列性质一定正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC≠∠ADC C．BC＝CD D．∠BCD+∠ADC＝180° 3．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AB＝8cm，AD＝10cm，△AOD与△AOB的周长差为（　　）cm． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（　　） A．75° B．53° C．85° D．90° 6．如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F，若AD＝3，AB＝5，则CF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 8．平行四边形ABCD中，∠C：∠D＝5：4，则∠B的度数为　　 ． 9．如图，在▱ABCD中，BC＝7，AB＝4．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC边于M，N两点；分别以点M，N为圆心，大于MN的一半长为半径画弧，两弧交于点P；画射线BP交AD于点E，则DE的长为　　 ． 10．如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为　 　 ． 11．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，点F为线段DE上一点，且∠AFD＝∠C．求证：AF＝DC． 12．如图，在▱ABCD中，DM⊥AC，BN⊥AC，垂足为M，N． （1）求证：AM＝CN； （2）若∠CDA＝120°，∠ABN＝70°，求∠ACB的度数． 13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD＝10，BD＝12，求AC的长． 题组B 能力提升练 14．如图，▱ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC＝90°，且AC：BD＝2：3，若▱ABCD的面积为，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 15．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　） A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm 16．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（　　） A．3 B．5 C．2 D． 17．如图，P为▱ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H四点，连结AP，FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 18．在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交边AD于E，且把AD分成3和2两部分，则▱ABCD的周长为 　 　 ． 19．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 20．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 21．如图1，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H． （1）求证：EG＝FH； （2）如图2，连接AC交EF于点O，写出图中四对全等三角形．（△BEG和△DFH除外） 题组C 培优拔尖练 22．若以A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为　 　 23．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有 　 　 ． 24．如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G． （1）求证：△AGD≌△CEB； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若平行四边形ABCD的周长为48，EF＝8，求▱ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$