空间向量与立体几何 专项训练——2025届高三数学二轮复习

专题：空间向量与立体几何 参考答案 1.【答案】C 【解析】若三点共线， 则即无解，故错误. 若三点共线， 则即无解，故错误. 因为 所以所以 所以三点共线，故正确. 因为 所以若三点共线， 则即无解，故错误. 故选. 2.【答案】C 【解析】设由点在直线上，可得存在实数使得 即可得 所以 则 根据二次函数的性质，可得当时， 取得最小值此时. 故选. 3.【答案】B 【解析】若，，则，而由，并不能得到 ，因此  是  的必要不充分条件；若，则，而由，，不一定与 垂直，因此 是 的充分不必要条件，故选B. 4.【答案】D 【解析】分析 本题考查球的表面积公式，先由勾股定理得出利用直角三角形的性质得知的中点为外接球的球心． ‍解答 解：如图所示， ‍, 由勾股定理可得, ‍， 设的中点为， 则, 则为外接球的球心，且球的半径, 故它的外接球的表面积, 故选． 5.【答案】A 【解析】 ， ‍， ‍， ‍． ‍， ‍ ‍， ‍. 故选． 6.【答案】C 7.【答案】C 【解析】如图，连接并延长，分别交的延长线与， 连接交于，连接交于， 连接，则五边形即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状， 故选． ‍ 8.【答案】A 【解析】如图，根据圆锥的性质得底面圆所以即为母线与底面所成的角.设圆锥的高为则所以所以母线的长则故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.故选. 9.【答案】B；C 【解析】因为异面直线与的夹角为所以过点且与直线的夹角均为的直线只有条，故错误；因为平面与平面的夹角为所以过点且与平面的夹角均为和的直线各有条，分别记作若过点且与平面的夹角均为则在的两侧各有条，所以共有(条)，故正确；点为平面外一点，过点作以为顶点，底面在上且母线与的夹角为的圆锥，则圆锥的母线所在直线与平面的夹角均为 因此可以作无数条， 故正确错误．故选． 10.【答案】 【解析】解：选项，因为，，，分别为，，，的中点， 则，，，，，，四点共面，故正确； 选项，因为平面，平面， 所以，又，， 则平面，又平面， 所以平面平面，选项正确； 选项，由题意，四棱锥的表面积为 ‍ ‍ ‍，选项错误； 选项，因为、为、的中点，所以， 则即为异面直线与所成角， 在中，，， 所以， 即异面直线与所成角的正切值为，选项正确． 故选： 根据空间中点，直线，平面的位置关系，可判定选项，，利用三角形及梯形的面积公式，判定选项，用异面直线所成角的定义及求法，判断选项 本题考查了平面垂直，四点共线，以及异面直线所成角的求法，属中档题． 11.【答案】A；B；C 【解析】对A，根据题意，双曲线的渐近线方程为：，右顶点为（，），易知直线与渐近线平行，而直线过点（，），如图： ‍ 通过数形结合及渐近线的定义可知，直线与双曲线有一个交点，A正确； 对B，由题意，，在 中，由正弦定理： 即 所以，B正确； 对C，由题意，直线过圆心（，），所以， 因为，，所以 当且仅当时取，C正确； 对D，如图所示，以为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， ‍ 则所以， 易知，平面 ，平面，所以平面 则点到平面的距离即为直线到平面的距离，设其为， 设平面的法向量为 ，所以，令，则， 所以 ，D错误 故选ABC. 12.【答案】 【解析】在直角中，，， 折叠后的图形如图所示：， ‍三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，， ‍在中，， 再折叠前，如图所示：作于点， 则在折叠过程中，随着点不断靠近点，点也不断靠近点， ‍， ‍， 故答案为： ‍ 13.【答案】 【解析】解：向量和共线， ‍， 解得， ‍． 故答案为：． 由向量和共线，列出方程出，由此能求出的值． 本题考查代数式的值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14.【答案】 【解析】解：由于，不一定相交，故不一定成立，故①错误； 由面面平行的性质定理，易得②正确； 由线面平行的性质定理，我们易得③正确； 故答案为：②③． 由空间中面面平行关系的判定方法，线面平行的判定方法及线面平行的性质定理，逐一分析，即可得到答案． 本题考查判断空间线面的关系，属于基础题，熟练掌握线线、线面、面面平行或垂直的判定及性质定理是解决此类问题的基础． 15.【答案】(1)垂直于圆锥的底面在圆锥的底面内，又为的直径，.平面平面平面.平面平面平面. (2)设圆锥的母线长为底面半径为圆锥的侧面积为底面积为由得为正三角形，又.连接(图略)，在三棱锥中，面积最大时，三棱锥的体积最大，此时.过作于点则.平面平面平面平面平面即为点到平面的距离.点为的中点点到平面的距离为. 【解析】(1)推导出从而平面由此能证明平面平面 (2)设圆锥的母线长为底面半径为可证当面积最大时，三棱锥的体积最大，此时过作于点根据等面积法求出利用为的中点，得出点到平面的距离为. 16.【答案】(1)平面平面，，是等边三角形，是的中点，，又平面平面，平面，又平面，平面平面． (2)由得平面，同理可得：平面，，，．．设的交点为的交点为，过作于，，，，，，．． 17.【答案】(1)作，交于，连结，则异面直线与所成角为，中，，是等边三角形，，当时，异面直线与所成角的大小为． (2)如图，，解得，． 18.【答案】延长到，使得，则为平行四边形， ‍就是异面直线与所成的角， ‍直三棱柱中，， ‍三角形为等边三角形， ‍. ‍ 【解析】延长到，根据异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成的角，而三角形为等边三角形，可求得此角． 19.【答案】(1)分别为棱的中点,平面，平面， 平面； (2)因为，所以，同理：，又，所以平面，又平面，所以平面平面. 【解析】(1)借助三角形的中位线得出线线平行，进而利用线面平行的判定定理作出判定即可； (2)利用等腰三角形的中线得出线线垂直，利用线面垂直的判定定理得出线面垂直，进而得出面面垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题：空间向量与立体几何 学校:______姓名:______班级:______考号:______ 一、单选题(共8小题,每小题5分,满分40分) 1.已知空间向量且则一定共线的三点是(    ) A. B. C. D. 2.已知空间直角坐标系中，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.若 表示两个两个不同的平面，为平面内的一条直线，则(    ) A.“”是“”的充分不必要条件 B.“”是“”的必要不充分条件 C.“”是“”的必要不充分条件 D.“”是“”的充要条件 4. 在四面体中，，则它的外接球的面积 A. B. C. D. 5.如图在一个 的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则 的长为( ) A. B. C. D. 6.三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知两两垂直，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为(    ) A. B. C. D. 7.一封闭的正方体容器分别为的中点，如图所示．由于某种原因，在处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是(    )边形 A. B. C. D. 8.已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题(共3小题,每小题6分,满分18分) 9.(多选题)已知异面直线与的夹角为平面与平面的夹角为直线与平面的夹角为点为平面外一定点，则下列结论正确的是(    ) A.过点且与直线的夹角均为的直线有条 B.过点且与平面的夹角均为的直线有条 C.过点作与平面的夹角为的直线，可以作无数条 D.过点作与平面的夹角为的直线，可以作条 10.如图，在四棱锥中，，，，，平面，设，，，的中点分别为，，，，则 A.，，，四点共面 B.平面平面 C.四棱锥的表面积为 D.异面直线与所成角的正切值为 11.下列命题正确的为(    ) A.直线与双曲线有一个交点 B.设为椭圆上一点，为焦点，若，，则离心率为 C.若直线：（，始终平分圆：的周长，则的最小值为 D.正方体的棱长为，则直线到平面的距离为 三、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分) 12.在直角中，，上有一动点（异于，），将沿折起，使得三棱锥的顶点在底面上的投影恰好落在线段上，则长度的范围      13.已知向量和共线，则     ． 14.设，，为两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，给出下列三个命题： ①若，，，，则； ②若，，则； ③若，，，，则 其中命题正确的有 ______ 填序号 四、解答题(共5小题,满分77分) 15.如图所示为圆锥顶点为底面圆心，圆锥的侧面积是底面积的倍为的直径，在底面内以线段为直径作点为上异于点的动点. (1)证明：平面平面； (2)已知当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 16. 如图，直三棱柱的底面为正三角形，分别是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若为中点，且，设三棱锥的体积为，三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为，求的值． 17.如图所示的三棱锥的三条棱两两互相垂直，，点在棱上，且． ‍ (1)当时，求异面直线与所成角的大小； (2)当三棱锥的体积为时，求的值． 18. 直三棱柱中，若，，求异面直线与所成的角 19. 如图，在三棱锥中，已知点分别为棱的中点. ‍ (1)求证：平面； (2)若求证：平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$