精品解析：湖北省咸宁市咸安区统考协作体2024-2025 学年八年级下学期4月期中质量检测数学试题

2024－2025学年八年级下学期4月期中质量检测 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上指定的位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则，算术平方根，合并同类项，二次根式的性质化简各个选项，即可解答． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，算术平方根，合并同类项，根据二次根式的性质化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（　　） A. B. ， C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，判断两较短线段的平方和是否等于较长线段的平方，即可得出结果． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成直角三角形，不符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选A． 4. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 5. 下列命题的逆命题成立的是（　　） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断真假即可，熟练掌握实数的性质，全等三角形的判定，勾股定理逆定理和对顶角的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意； C、逆命题为：如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形为直角三角形，是真命题，符合题意； D、逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，，等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：在正方形的外侧，作等边三角形， 则：， ∴， ∴； 故选：B． 7. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O，则的周长与的周长之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线的性质与判定是解题的关键． 分别作，的中点，，连接，，，根据三角形的中位线的性质得出，，证明四边形为平行四边形，进而推出，进行求解即可． 【详解】解：分别作，的中点，，连接，，，则，， ∵点，分别是边，上的中点， ∴，， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即：的周长的周长的2倍； ∴的周长与的周长之比为； 故选A． 8. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 作于点D，作于点E，作于点F，证明得，同理可证，从而，进而可求出点B 的坐标为． 【详解】解：如图，作于点D，作于点E，作于点F， ∴， ∴． ∵点C的坐标为， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可证，， ∴， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B 的坐标为． 故选B． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交于点G，H；②分别以G，H为圆心，大于 的长为半径画弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于F．已知，，则四边形的周长为（　　） A. 10 B. 5 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．由平行四边形的性质得，证明得，从而，再证明四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴． 由作图可知，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为∶． 故选A． 10. 如图，是等边三角形，边长为2，延长到D，使，延长到E，使，延长到F，使，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，过点作，三线合一结合勾股定理求出的长，进而求出的面积，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作，连接， ∵是等边三角形，边长为2， ∴， ∴， ∵延长到D，使，延长BC到E，使，延长CA到F，使， ∴，， ∴， 同理：， ∴的面积为： ； 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 新定义，例如．则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、新定义，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：． 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴． 故答案为：120． 14. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，先根据勾股定理得到，再根据三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，得出点P的位置是解答本题的关键． 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和去绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）利用完全平方公式计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在四边形中，，交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判断，证明，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18. 学校科技兴趣小组利用无人机测量学校旗杆的高度．无人机在距离地面60米的C处测得旗杆底部B 的俯角为（即），为水平线，测得旗杆顶部A的俯角为（即），请通过以上数据求学校旗杆的高度（精确到0.1米，）． 【答案】25.4米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点A作于F，证明四边形是矩形，然后利用锐角三角函数即可求解． 【详解】解：过点A作于F， ∴， ∴为矩形， ∴（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：学校旗杆高度约为25.4米． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 【答案】（1）16， （2）是直角，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）勾股定理求出各边长，求出周长即可，分割法求出面积即可； （2）连接，勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图可知：四边形的面积； 由勾股定理，得：， ， ∴四边形的周长为：； 【小问2详解】 直角，理由见如下： 连接，由勾股定理，得：， 由（1）知：，， ∴； ∴是直角． 20. 如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． （1）求证：； （2）当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，以及正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键． （1）证明四边形是矩形即可得出； （2）根据正方形的判定方法可知，当时，四边形为正方形． 【小问1详解】 ∵ 平分平分 的外角 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 当时，四边形为正方形，理由； ∵四边形是矩形，， ∴四边形为正方形． 21. 如图，正方形的边长为10，E，F 分别是边，的中点，点G 是线段上一点，将 沿翻折，点D的对应点． 正好落在线段上． （1）求 的度数； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形为矩形，折叠得到，取的中点，连接，证明为等边三角形，得到，进而求出的度数即可； （2）设，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为10，E，F 分别是边，的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 取的中点，连接， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，矩形的判定和性质，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22. 如图，正方形和正方形的顶点重合，正方形的对角线过点，是正方形的对角线． （1）求证：； （2）如图，点是的中点，连接，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明得，，所以，再由勾股定理得，结合，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，先根据正方形的性质，勾股定理和等腰直角三角形的性质求得，，进而求得，由勾股定理求得，再结合点是的中点可得，然后求得，最后根据勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 解：连接， 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 又， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点， 四边形和四边形都为正方形，， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出，证明，得到，进而求出的度数即可； （2）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出的度数，证明，得到，进而求出的度数即可； （3）过点作，设，证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出值，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）在上截取， ∵正方形， ∴， ∴，即：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）在上截取， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴设， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 24. 如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）当 s时，； （2）如图1， 从运动开始， 当t为何值时， ； （3）从运动开始，当t为何值时，四边形为矩形； （4）从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】（1）10 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，求出的长，进而求出的长，当时，易得四边形为平行四边形，得到，列出方程进行求解即可； （2）过点作，过点作，得到四边形，四边形均为矩形，得到，进而求出的长，表示出的长，三线合一得到，列出方程进行求解即可； （3）根据四边形为矩形时，，列出方程进行求解即可； （4）分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， ∴，， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：10； 【小问2详解】 过点作，过点作，则：四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 当四边形为矩形时，则：， 即：， 解得：； 故当时，四边形为矩形； 【小问4详解】 ①当，如图，则：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：； 综上：或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三线合一，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年八年级下学期4月期中质量检测 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上指定的位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（　　） A. B. ， C. D. 4. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 5. 下列命题的逆命题成立的是（　　） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么 D 对顶角相等 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O，则的周长与的周长之比为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交于点G，H；②分别以G，H为圆心，大于 的长为半径画弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于F．已知，，则四边形的周长为（　　） A. 10 B. 5 C. 15 D. 20 10. 如图，是等边三角形，边长为2，延长到D，使，延长到E，使，延长到F，使，则的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 新定义，例如．则________． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的面积为_________． 14. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，，，则________． 15. 如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） ； （2）． 17. 如图，在四边形中，，交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 学校科技兴趣小组利用无人机测量学校旗杆的高度．无人机在距离地面60米的C处测得旗杆底部B 的俯角为（即），为水平线，测得旗杆顶部A的俯角为（即），请通过以上数据求学校旗杆的高度（精确到0.1米，）． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 20. 如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． （1）求证：； （2）当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 21. 如图，正方形的边长为10，E，F 分别是边，的中点，点G 是线段上一点，将 沿翻折，点D的对应点． 正好落在线段上． （1）求 的度数； （2）求线段的长． 22. 如图，正方形和正方形的顶点重合，正方形的对角线过点，是正方形的对角线． （1）求证：； （2）如图，点是的中点，连接，，，求的值． 23. 【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 24. 如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）当 s时，； （2）如图1， 从运动开始， 当t为何值时， ； （3）从运动开始，当t为何值时，四边形为矩形； （4）从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$